In der Mathematik spielen arithmetische Gruppen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie, Differentialgeometrie, Topologie, Algebraischen Geometrie und in der Theorie der Lie-Gruppen. Es handelt sich um arithmetisch definierte Gitter in Lie-Gruppen; klassische Beispiele sind die Modulgruppe
und allgemein die Gruppen
für
. Arithmetizität ist stets in Bezug auf eine umgebende Lie-Gruppe definiert. Nach einem Satz von Margulis sind alle irreduziblen Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom Rang
ohne kompakten Faktor immer arithmetische Untergruppen.
Sei
eine nichtkompakte halbeinfache Lie-Gruppe,
eine Untergruppe.
heißt arithmetisch, wenn es
- eine über
definierte zusammenhängende lineare algebraische Gruppe
und - einen Isomorphismus
(für geeignete kompakte Normalteiler
)
gibt, so dass
kommensurabel zu
ist.
Anmerkung: Eine über
definierte lineare algebraische Gruppe ist – per Definition – eine durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definierte Untergruppe
. Wenn
eine über
definierte lineare algebraische Gruppe ist, dann ist nach dem Satz von Borel und Harish-Chandra
ein Gitter in
. Folglich ist jede arithmetische Gruppe ein Gitter in der Zusammenhangskomponente der umgebenden Lie-Gruppe.
- Nach Definition ist klar, dass
und auch zu
kommensurable Gruppen arithmetisch sind.
- Bezeichne
die Gruppe der ganzen Gaußschen Zahlen.
ist eine arithmetische Untergruppe von
, denn es ist
für die kanonische Einbettung
.
- Sei
, wobei
die Diagonalmatrix
bezeichnet und sei
. Dann ist
eine arithmetische Untergruppe von
, denn
ist durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definiert.
- Im Folgenden wollen wir die Definition auf eine Klasse von weniger offensichtlichen Beispielen anwenden, nämlich auf die Hilbertschen Modulgruppen.
Sei
![{\displaystyle k=Q\left[{\sqrt {D}}\right]=\left\{a+b{\sqrt {D}}:a,b\in \mathbb {Q} \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112084c49ce18c0de6dc867b53d64e0603320890)
ein reeller quadratischer Zahlkörper – für eine quadratfreie ganze Zahl
mit
– und
sein Ganzheitsring. Es gibt zwei durch
definierte Einbettungen
und dementsprechend zwei Einbettungen
.
Wir betrachten die halbeinfache Lie-Gruppe
![{\displaystyle G=SL(2,\mathbb {R} )\times SL(2,\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0119310c327b91e85d7e195d980c97fb18a852e4)
und die Untergruppe
![{\displaystyle \Gamma =\left\{(\sigma _{+}(A),\sigma _{-}(A)):A\in SL(2,O_{k})\right\}\subset G}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f8a684c05f67cdba3aa6111624004afb7f8a75)
und wollen zeigen, dass
eine arithmetische Gruppe ist.
Wir betrachten zunächst die algebraische Varietät
![{\displaystyle \mathrm {H} :=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:d=a,c=bD\right\}\subset Mat(2,\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb00ebacda9d75284a9bfa6ee0827505bd31815)
und den durch
definierten Homomorphismus :
.
Dann ist
.
Wir bemerken, dass es einen bijektiven (additiven und multiplikativen) Homomorphismus
mit
,
also
für alle
gibt, nämlich
.
Nun betrachten wir die lineare algebraische Gruppe
.
(Hier sind
2x2-Blöcke in einer 4x4-Matrix.)
Wir definieren einen Gruppen-Homomorphismus
durch
.
bildet tatsächlich nach
ab: offensichtlich liegen die Blöcke der Bildmatrizen in
, außerdem ist
mit
.
Aus der Bijektivität von
folgt, dass auch
bijektiv und mithin ein Isomorphismus ist.
Wegen
beweist das die Arithmetizität von
.
Alle arithmetischen Untergruppen von
kann man mittels Divisionsalgebren, mittels unitärer Gruppen oder mittels einer Kombination dieser beiden Methoden konstruieren.
Sei
eine Körpererweiterung von
mit
und sei
der Ganzheitsring von
. Sei
mit
und
für das nichttriviale Element
und alle
.
Wir betrachten die Divisionsalgebra
und
.
Dann ist
eine arithmetische Untergruppe von
.
Sei
mit
und sei
das nichttriviale Element der Galoisgruppe. Sei
eine hermitesche Matrix.
Wir betrachten
.
Dann ist
eine arithmetische Untergruppe von
.
Sei
mit
und sei
das nichttriviale Element. Sei
eine Divisionsalgebra über
, so dass
zu einem Antiautomorphismus von
fortgesetzt werden kann. Sei
eine hermitesche Matrix, d. h.
.
Dann ist
eine arithmetische Untergruppe von
.
Sei
eine algebraische Gruppe. Ein Torus ist eine abgeschlossene, zusammenhängende Untergruppe
, die (über
) diagonalisierbar ist, das heißt, es gibt einen Basiswechsel
, so dass
aus diagonalisierbaren Matrizen besteht.
Der Torus heißt
-spaltend, wenn man
wählen kann. Zum Beispiel ist
kein
-spaltender Torus in
, die Gruppe der Diagonalmatrizen (mit Determinante 1) aber doch. Der
-Rang einer algebraischen Gruppe ist die maximale Dimension eines
-spaltenden Torus. Zum Beispiel ist
oder
.
Ein Torus heißt
-spaltend, wenn er über
definiert ist und man
wählen kann.
Für eine arithmetische Gruppe
gibt es per Definition eine über
definierte zusammenhängende lineare algebraische Gruppe
und einen Isomorphismus
, so dass (modulo kompakter Gruppen) das Bild von
zu
isomorph ist. Der
-Rang von
wird definiert als die Dimension eines maximalen
-spaltenden Torus in
. (Man beachte, dass
nur von
abhängt, dass aber verschiedene arithmetische Untergruppen
einer Lie-Gruppe
unterschiedlichen
-Rang haben können, weil die zu wählenden algebraischen Gruppen
sich unterscheiden.)
Man sieht leicht, dass
. Die arithmetische Untergruppe
hat also
-Rang
. Der
-Rang der oben besprochenen Hilbertschen Modulgruppe ist hingegen der
-Rang der oben konstruierten Gruppe
. Man kann zeigen, dass
ein maximaler
-spaltender Torus in
ist, mithin
.
Sei
eine nichtkompakte halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor,
eine maximal kompakte Untergruppe und
ein arithmetisches Gitter. Die Killing-Form definiert eine riemannsche Metrik auf
, man erhält einen symmetrischen Raum. Der
-Rang von
lässt sich interpretieren als die Dimension eines maximalen flachen Unterraumes (d. h. einer einfach zusammenhängenden total-geodätischen Untermannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant
) in
.
Der Quotient
ist ein lokal symmetrischer Raum. Der
-Rang von
lässt sich interpretieren als die maximale Dimension eines flachen Unterraumes in einer endlichen Überlagerung von
oder als die kleinste Zahl
, so dass ganz
in endlichem Abstand von einer endlichen Vereinigung
-dimensionaler flacher Unterräume ist. Insbesondere ist
, falls
kompakt ist.
Satz (Margulis): Ein irreduzibles Gitter
in einer halbeinfachen Lie-Gruppe
ist arithmetisch dann und nur dann, wenn
unendlichen Index in seinem Kommensurator hat, also wenn
.
Satz: Sei
eine halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor mit
. Dann ist jedes irreduzible Gitter
arithmetisch.
Erläuterungen: Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe
mit
, wobei das Volumen bzgl. des Haarmaßes berechnet wird. Ein Gitter heißt irreduzibel, falls es keine Zerlegung
mit Gittern
gibt.
Margulis bewies diesen Satz als eine Folgerung aus dem von ihm bewiesenen Superstarrheitssatz.[1]
- ↑ Margulis, G.A.: Arithmeticity of the irreducible lattices in the semisimple groups of rank greater than 1. Invent. Math (1984) 76 - 93. doi:10.1007/BF01388494