Animation der Astroide Animation Astroide als Hüllkurve Astroide als Hüllkurve einer Familie von Ellipsen, bei denen a + b = const. Die Astroide (auch Sternkurve genannt) ist eine ebene Kurve , die sich mit einem Parameter t ∈ [ 0 , 2 π ] {\displaystyle t\in [0,2\pi ]}
x = a ( cos t ) 3 {\displaystyle x=a(\cos t)^{3}\ } y = a ( sin t ) 3 {\displaystyle y=a(\sin t)^{3}\ } oder durch die implizite Gleichung
x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 {\displaystyle x^{\frac {2}{3}}+y^{\frac {2}{3}}=a^{\frac {2}{3}}\quad } ( x 2 + y 2 − a 2 ) 3 + 27 a 2 x 2 y 2 = 0 {\displaystyle \quad (x^{2}+y^{2}-a^{2})^{3}+27a^{2}x^{2}y^{2}=0} beschreiben lässt, wobei a {\displaystyle a} reelle Zahl ist. Sie ist die Kurve, die ein Punkt auf einem Kreis mit Radius 1 4 a {\displaystyle {\tfrac {1}{4}}a} a {\displaystyle a} Hypozykloide .
Für ihren Flächeninhalt A {\displaystyle A}
A = 3 8 π a 2 {\displaystyle A={\frac {3}{8}}\pi a^{2}} Die Länge ℓ {\displaystyle \ell } ℓ = 6 a {\displaystyle \ell =6a} 0 ≤ t ≤ π 2 {\displaystyle 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}} Bogenlänge
s ( t ) = 3 2 a sin 2 ( t ) {\displaystyle s(t)={\frac {3}{2}}a\sin ^{2}(t)} und für den Krümmungsradius
ρ ( t ) = 3 2 a sin ( 2 t ) {\displaystyle \rho (t)={\frac {3}{2}}a\sin(2t)} Die Astroide ähnelt auch dem Karo auf gewöhnlichen Spielkarten.
Schwerpunkte der Astroiden Intervall x S {\displaystyle x_{\mathrm {S} }} y S {\displaystyle y_{\mathrm {S} }} Ebenes Kurvenstück 0 ≤ t ≤ π 2 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}} 2 5 a {\displaystyle {\tfrac {2}{5}}a} 2 5 a {\displaystyle {\tfrac {2}{5}}a} 0 ≤ t ≤ π {\displaystyle \pi } 0 2 5 a {\displaystyle {\tfrac {2}{5}}a} Ebene Figur 0 ≤ t ≤ π 2 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}} 256 315 π a {\displaystyle {\tfrac {256}{315\pi }}a} 256 315 π a {\displaystyle {\tfrac {256}{315\pi }}a} 0 ≤ t ≤ π {\displaystyle \pi } 0 256 315 π a {\displaystyle {\tfrac {256}{315\pi }}a} Drehkörper * 0 ≤ t ≤ π 2 {\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}} 21 128 a {\displaystyle {\tfrac {21}{128}}a} 0
*Bei Rotation um die X-Achse ( z S = 0 ) {\displaystyle (z_{S}=0)}
Eine Verallgemeinerung ist die schiefe Astroide, die sich durch die Parametergleichungen
x = a ( cos t ) 3 {\displaystyle x=a(\cos t)^{3}\ } y = b ( sin t ) 3 {\displaystyle y=b(\sin t)^{3}\ } oder durch die implizite Gleichung
( x a ) 2 3 + ( y b ) 2 3 = 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{a}}\right)^{\frac {2}{3}}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{\frac {2}{3}}=1} beschreiben lässt. Die Evolute einer Ellipse ist ebenfalls eine schiefe Astroide.
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![{\displaystyle t\in [0,2\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbc9ed8510c75442ce1d2e73f021258fc7e04c6)
