Baer-Summe – Wikipedia

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Baer-Summe zweier zentraler Gruppenerweiterungen eine neue Erweiterung derselben Gruppe.

Seien

${\displaystyle \phi _{1}\colon E_{1}\to G}$ und ${\displaystyle \phi _{2}\colon E_{2}\to G}$

zwei zentrale Erweiterungen mit „Parametrisierungen“ (d. h. Gruppenisomorphismen)

${\displaystyle \iota _{1}\colon A\to Ker(\phi _{1}),\iota _{2}\colon A\to Ker(\phi _{2})}$.

Sei

${\displaystyle E_{1}\times _{G}E_{2}=\left\{(x,y)\in E_{1}\times E_{2}\colon \phi _{1}(x)=\phi _{2}(y)\right\}}$.

Der durch

${\displaystyle \phi (x,y):=\phi _{1}(x)=\phi _{2}(y)}$

gegebene Homomorphismus

${\displaystyle \phi \colon E_{1}\times _{G}E_{2}\to G}$

ist surjektiv mit Kern ${\displaystyle A\times A}$. Definiere

${\displaystyle E=(E_{1}\times _{G}E_{2})/\left\{(\iota _{1}(a),-\iota _{2}(a))\colon a\in A\right\}}$.

${\displaystyle \phi }$ faktorisiert über ${\displaystyle E}$ und gibt eine zentrale Erweiterung mit Kern ${\displaystyle A}$, die als Baer-Summe der beiden zentralen Erweiterungen bezeichnet wird.

Die Baer-Summe ist kommutativ und assoziativ, neutrales Element ist die triviale Erweiterung und das inverse Element einer durch einen Isomorphismus ${\displaystyle \iota }$ parametrisierten zentralen Erweiterung ist dieselbe zentrale Erweiterung mit entgegengesetzter Parametrisierung ${\displaystyle -\iota }$.

• J. Rosenberg: Algebraic K-Theory and Applications, Graduate Texts in Mathematics 147, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1994