Danielewski-Fläche – Wikipedia
In der Mathematik stellt eine Danielewski-Fläche eine Verallgemeinerung des Raumes dar und hat aus Sicht der komplexen Analysis ähnliche Eigenschaften wie .
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Danielewski-Fläche ist eine algebraische Fläche, welche algebraisch isomorph ist zu einer Hyperfläche , die als Nullstellenmenge eines Polynoms definiert ist, wobei ein Polynom in einer Variablen ist.
Elementare Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Im Spezialfall ist isomorph zu .
- Genau dann, wenn das Polynom nur einfache Nullstellen hat, ist nicht nur eine algebraische Fläche, sondern auch eine Komplexe Mannigfaltigkeit, da sie keine Singularitäten aufweist.
- Sei mit paarweise verschiedenen . Dann gilt:
- d. h. besteht im Prinzip aus und Kopien von , die daran angeklebt sind.
Automorphismengruppe
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die Gruppe der holomorphen Automorphismen einer Danielewski-Fläche, welche keine Singularitäten aufweist, verhält sich ähnlich wie im bekannten Spezialfall , das bedeutet, sie ist "groß" in dem Sinne, dass sich die die Gruppe erzeugenden Elemente nicht explizit angeben lassen. Wie im Fall von lässt sich aber eine dichte Teilmenge der Automorphismengruppe mit Hilfe von verallgemeinerten Scherungen konkret beschreiben.