Poincaré-Abbildung eines getriebenen Duffing-Oszillators Der Duffing-Oszillator , benannt nach Georg Duffing , ist ein nichtlinearer Oszillator . Er kann als Erweiterung des harmonischen Oszillators , dessen Potential das lineare hookesche Gesetz zu Grunde liegt, um eine kubische Rückstellkraft betrachtet werden. Sein Verhalten wird durch folgende Differentialgleichung mit den zeitlichen Ableitungen von x beschrieben:
x ¨ + δ x ˙ + α x + β x 3 = γ cos ( ω 0 t ) {\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=\gamma \cos(\omega _{0}t)} δ {\displaystyle \delta } ist die Dämpfung, γ , ω 0 {\displaystyle \gamma ,\omega _{0}} sind die Amplitude und Frequenz der Anregung, α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } sind systemspezifische Parameter, welche die nichtlineare, rücktreibende Kraft charakterisieren.
Die Zustandsraumdarstellung des homogenen Duffing-Oszillators x ¨ + δ x ˙ + α x + β x 3 = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}+\alpha x+\beta x^{3}=0} ist
[ x ˙ 1 x ˙ 2 ] = [ x 2 − δ x 2 − α x 1 − β x 1 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\-\delta x_{2}-\alpha x_{1}-\beta x_{1}^{3}\\\end{bmatrix}}} Für den stationären Fall gilt
[ 0 0 ] = [ x 2 − δ x 2 − α x 1 − β x 1 3 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\-\delta x_{2}-\alpha x_{1}-\beta x_{1}^{3}\\\end{bmatrix}}} und damit
x 2 = 0 {\displaystyle x_{2}=0\,} und α x 1 + β x 1 3 = 0 {\displaystyle \alpha x_{1}+\beta x_{1}^{3}=0} . Die Gleichung liefert für x 1 {\displaystyle x_{1}\;} drei stationäre Lösungen
x 1 0 = 0 , x 1 1 , 2 = ± − α β {\displaystyle x_{1_{0}}=0,x_{1_{1,2}}=\pm {\sqrt {-{\frac {\alpha }{\beta }}}}} Diese sind nur dann reell, wenn α β < 0 {\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}<0} ist. Zur Beurteilung, welche dieser stationären Lösungen stabil sind, wird das Differentialgleichungssystem um diese Punkte linearisiert. Die Jacobi-Matrix des Systems
J = [ 0 1 − α − 3 β x 1 2 − δ ] {\displaystyle {\textbf {J}}={\begin{bmatrix}0&1\\-\alpha -3\beta x_{1}^{2}&-\delta \\\end{bmatrix}}} hat für x 1 0 {\displaystyle x_{1_{0}}\;} die Eigenwerte
λ 0 = − δ ± δ 2 − 4 α 2 {\displaystyle \lambda _{0}={\frac {-\delta \pm {\sqrt {\delta ^{2}-4\alpha }}}{2}}} und für x 1 1 , 2 {\displaystyle x_{1_{1,2}}\;} die Eigenwerte
λ 1 = − δ ± δ 2 + 8 α 2 {\displaystyle \lambda _{1}={\frac {-\delta \pm {\sqrt {\delta ^{2}+8\alpha }}}{2}}} . Die Bedingung α β < 0 {\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}<0} liefert zwei Fälle.
Fall 1: α > 0 {\displaystyle \alpha >0\;} und β < 0 {\displaystyle \beta <0\;}
λ 0 {\displaystyle \lambda _{0}\;} hat negative Realteile, d. h. dieser Punkt ist stabil. λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}\;} hat einen positiven Realteil, d. h. diese Punkte sind instabil. Fall 2: α < 0 {\displaystyle \alpha <0\;} und β > 0 {\displaystyle \beta >0\;}
λ 0 {\displaystyle \lambda _{0}\;} hat einen positiven Realteil, d. h. dieser Punkt ist instabil. λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}\;} hat negative Realteile, d. h. diese Punkte sind stabil. Die Differenzialgleichung
x ¨ + δ x ˙ − a x + b x 3 = 0 {\displaystyle {\ddot {x}}+\delta {\dot {x}}-ax+bx^{3}=0} mit δ > 0 , a > 0 , b > 0 {\displaystyle \delta >0,a>0,b>0\;} beschreibt den stabilen Duffing-Oszillator.