Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen. Es wird der dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.
- Operatoren wie
werden nicht kursiv geschrieben. - Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
.
Ausnahme:
Die imaginäre Einheit
und die #Vektorinvariante
werden in Abgrenzung zu den Indizes nicht kursiv geschrieben. ![{\displaystyle p,q,r,s\in \{1,2,\ldots ,9\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67f04da0c7100d378aeabd1cbe2382af0ebce5c2)
![{\displaystyle u,v\in \{1,2,\ldots ,6\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a7cef55472b9bf89eeb0b01c1030246a868d3f)
- Alle anderen Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen.
- Vektoren:
- Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum
. - Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet.
Ausnahme #Dualer axialer Vektor ![{\displaystyle {\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1013e8695183599633093784579c69129379c7c6)
- Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von
ist ê1,2,3. - Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in
mit einem Pfeil versehen. - Dreiergruppen von Vektoren wie in
oder
bezeichnen eine rechtshändige Basis von
. - Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B.
ist dual zu
.
- Tensoren zweiter Stufe werden wie in A mit fetten Großbuchstaben notiert. Die Menge aller Tensoren wird mit
bezeichnet. Tensoren höherer Stufe werden mit einer hochgestellten Zahl wie in
geschrieben. Tensoren vierter Stufe sind Elemente der Menge
. - Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
- Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in
wird über diesen Index summiert:
. - Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in
wird über diese summiert:
. - Ein Index, der nur einfach vorkommt wie
in
, ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
.
Formelzeichen | Abschnitt in der Formelsammlung | Wikipedia-Artikel |
![{\displaystyle \mathrm {Sp,tr,I} _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/400136f12d8d237337689f33d1ed6f5c6e27f08c) | #Spur | Spur (Mathematik), Hauptinvariante |
![{\displaystyle \mathrm {I} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86557baa2d3aa8319e59051fa3a5ce040b70d304) | #Zweite Hauptinvariante | Hauptinvariante |
| #Determinante | Determinante, Hauptinvariante |
sym | #Symmetrischer Anteil | Symmetrische Matrix |
skw, skew | #Schiefsymmetrischer Anteil | Schiefsymmetrische Matrix |
adj | #Adjunkte | Adjunkte |
cof | #Kofaktor | Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix |
dev | #Deviator | Deviator, Spannungsdeviator |
sph | #Kugelanteil | Kugeltensor |
Formelzeichen | Elemente |
![{\displaystyle \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc) | Reelle Zahlen |
![{\displaystyle \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9add4085095b9b6d28d045fd9c92c2c09f549a7) | Komplexe Zahlen |
![{\displaystyle \mathbb {V} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff4ef4769e1c31b86792140f48d99ba83ebd2358) | Vektoren |
| Tensoren zweiter Stufe |
| #Tensoren vierter Stufe |
![{\displaystyle \delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta _{j}^{i}={\begin{cases}1&\mathrm {falls} \quad i=j\\0&\mathrm {sonst} \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5848b08018d21399dca43f661ded59381f6c60e5)
Für Summen gilt dann z. B.
![{\displaystyle v_{i}\delta _{ij}=v_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d02bdff673155c5412b6519aed8bc501b48b8d)
![{\displaystyle A_{ij}\delta _{ij}=A_{ii}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd1010266d2918ffe3478d6a2c0285e4af196fc8)
Dies gilt für die anderen Indexgruppen entsprechend.
![{\displaystyle \epsilon _{ijk}={\hat {e}}_{i}\cdot ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})={\begin{cases}1&{\text{falls}}\;(i,j,k)\in \{(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2)\}\\-1&{\text{falls}}\;(i,j,k)\in \{(1,3,2),(2,1,3),(3,2,1)\}\\0&{\text{sonst, d.h. bei doppeltem Index}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/841e6669653447e20d762bf2271c3827e238a95c)
![{\displaystyle \epsilon _{ijk}\epsilon _{lmn}={\begin{vmatrix}\delta _{il}&\delta _{jl}&\delta _{kl}\\\delta _{im}&\delta _{jm}&\delta _{km}\\\delta _{in}&\delta _{jn}&\delta _{kn}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b064740c16cb38fbec98678262bf3e587b9f57b)
![{\displaystyle \epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0688d9c2f79e627159c59369faa411f918900f7f)
![{\displaystyle \epsilon _{ijk}\epsilon _{jkl}=2\delta _{il}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c19fdd496aac1b1bb4902d8935bca57006d76827)
![{\displaystyle \epsilon _{ijk}\epsilon _{ijk}=6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9674b4c35ceefbba4d9f8079f1f06325c77dde78)
Kreuzprodukt:
![{\displaystyle a_{i}{\hat {e}}_{i}\times b_{j}{\hat {e}}_{j}=\epsilon _{ijk}a_{i}b_{j}{\hat {e}}_{k}=\epsilon _{ijk}a_{j}b_{k}{\hat {e}}_{i}=\epsilon _{ijk}a_{k}b_{i}{\hat {e}}_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0e04ccc8a0f45ca671ecbeb85b39c049c092279)
![{\displaystyle \epsilon _{ijk}{\hat {e}}_{k}={\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab36c5f1a8a650bcff461c1c0c227efa8b1de71)
Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren
![{\displaystyle {\vec {a}}=a_{i}{\hat {e}}_{i}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fad13b14e2dc1df4a5b31561ec27660d8425f98)
Drei Vektoren
können spaltenweise in einer 3×3-Matrix
arrangiert werden:
![{\displaystyle M={\begin{pmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a3da5a0e09f7936aa6fc5ff9652c0722619dd04)
Die Determinante der Matrix
![{\displaystyle |M|={\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba72d5d0ba1b0047c356fd1a2308da9ba8ae638)
ist
Also gewährleistet
, dass die Vektoren
eine rechtshändige Basis bilden.
Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn
![{\displaystyle M^{\top }M={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2f2464dc349b1b9ebc9bffdb17adb1b8d0bbca)
worin
die transponierte Matrix ist. Bei der hier vorausgesetzten Rechtshändigkeit gilt dann zusätzlich
.
Basisvektoren
Duale Basisvektoren
Beziehungen zwischen den Basisvektoren
![{\displaystyle {\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47009eb787798be9030ec026d51ef08d9d5a71b8)
![{\displaystyle {\vec {g}}^{1}={\frac {{\vec {g}}_{2}\times {\vec {g}}_{3}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}},\quad g^{2}={\frac {{\vec {g}}_{3}\times {\vec {g}}_{1}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}},\quad g^{3}={\frac {{\vec {g}}_{1}\times {\vec {g}}_{2}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65fff5af26f0053da15a4e1292370c47ced5817e)
![{\displaystyle {\vec {g}}_{1}={\frac {{\vec {g}}^{2}\times {\vec {g}}^{3}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3})}},\quad g_{2}={\frac {{\vec {g}}^{3}\times {\vec {g}}^{1}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3})}},\quad g_{3}={\frac {{\vec {g}}^{1}\times {\vec {g}}^{2}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05de46b692d765650ecc0cb22853eaa2cfd4fd2)
mit dem Spatprodukt
![{\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}):={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})={\begin{vmatrix}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b0c4ea34866af3fad8c50b58bb861db59d9076)
Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Zeilen der Inversen oder den Spalten der #transponiert #Inversen
:
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}{\vec {g}}^{1}&{\vec {g}}^{2}&{\vec {g}}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\vec {g}}_{1}&{\vec {g}}_{2}&{\vec {g}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af88e1004942cad510dab4603291cf4363091e2)
In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren
zu sich selbst dual:
![{\displaystyle {\hat {e}}_{i}={\hat {e}}^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c530bc53f800d589738e259ba0470a63dbb299e4)
![{\displaystyle {\vec {v}}=v_{i}{\hat {e}}_{i}\quad \rightarrow \;v_{i}={\vec {v}}\cdot {\hat {e}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d859a5bc470b668d706a026a67facfa2e6834f7)
![{\displaystyle {\vec {v}}=v^{i}{\vec {g}}_{i}\quad \rightarrow \;v^{i}={\vec {v}}\cdot {\vec {g}}^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5576ced1b1b8dfa6fd8c556ad34b841b3682059)
![{\displaystyle {\vec {v}}=v_{i}{\vec {g}}^{i}\quad \rightarrow \;v_{i}={\vec {v}}\cdot {\vec {g}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc469bce8644a75ffb7943ce724733f9c37d3150)
![{\displaystyle ({\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{k})({\vec {g}}^{k}\cdot {\vec {g}}^{j})={\vec {g}}_{i}\cdot ({\vec {g}}^{j}\cdot {\vec {g}}^{k}){\vec {g}}_{k}={\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e28f285951f2b4103d14c7c1fab2efb3b19187a)
Wechsel von
Basis
mit dualer Basis
nach
Basis
mit dualer Basis
:
![{\displaystyle {\vec {v}}=v_{i}\,{\vec {g}}^{i}=v_{i}^{\ast }\,{\vec {h}}^{i}\quad \rightarrow \;v_{i}^{\ast }=({\vec {h}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j})v_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c39e1852ee543a889e29c86281bd17d55c6d4ef0)
Matrizengleichung:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}v_{1}^{\ast }\\v_{2}^{\ast }\\v_{3}^{\ast }\end{pmatrix}}=&{\begin{pmatrix}{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{3}\\{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{3}\\{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\\=&{\begin{pmatrix}{\vec {h}}_{1}&{\vec {h}}_{2}&{\vec {h}}_{3}\end{pmatrix}}^{\top }{\begin{pmatrix}{\vec {g}}^{1}&{\vec {g}}^{2}&{\vec {g}}^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33e398a545671b2635ae605a0bdf77c8598714b7)
Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:
Abbildung
![{\displaystyle {\vec {a}}\otimes {\vec {g}}=\mathbf {T} \in {\mathcal {L}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5427c433d73df3b025d5388250d8b43d9e71074)
Multiplikation mit einem Skalar:
![{\displaystyle x({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=(x{\vec {a}})\otimes {\vec {g}}={\vec {a}}\otimes (x{\vec {g}})=x{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26509d6816ff665626baae4233ce193b5ba872c1)
Distributivität:
![{\displaystyle (x+y){\vec {a}}\otimes {\vec {g}}=x{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}+y{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86d9ac5ee0125009e73bc269fca78e8110f62629)
![{\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})\otimes {\vec {g}}={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}+{\vec {b}}\otimes {\vec {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5097c5885f69ffc1886127464c34d164bd72686b)
![{\displaystyle {\vec {a}}\otimes ({\vec {g}}+{\vec {h}})={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}+{\vec {a}}\otimes {\vec {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1d9a5fe15d698b26a7b471064b22ce96d336841)
Skalarprodukt:
![{\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}}):({\vec {b}}\otimes {\vec {h}})=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})({\vec {g}}\cdot {\vec {h}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86e8bc139d192bbe5be110bc0616a3ace556a50)
Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe #Dyade und den folgenden Abschnitt.
Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird
zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von
dargestellt werden:
mit Komponenten
.
Die Dyaden
und
bilden Basissysteme von
.
Abbildung
![{\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }:={\vec {g}}\otimes {\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe5191f87dd6c7fc88a19cc03180a0a9f6be335)
![{\displaystyle (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})^{\top }=A_{ij}({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{i})=A_{ji}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02e7fc5f9bd7d381306adbba0c035045cf19f3a8)
![{\displaystyle (A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})^{\top }=A^{ij}({\vec {g}}_{j}\otimes {\vec {a}}_{i})=A^{ji}({\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {a}}_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273ceacec07b3c273fe3647e56535bb832b34b09)
![{\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{\top }\right)^{\top }=\mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56021b854992886d23b72aefbc9c846859f1a46e)
![{\displaystyle (\mathbf {A+B} )^{\top }=\mathbf {A} ^{\top }+\mathbf {B} ^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/442b6b9872c0922905613d7834c9839c2cca7948)
![{\displaystyle (\mathbf {A\cdot B} )^{\top }=\mathbf {B} ^{\top }\cdot \mathbf {A} ^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e03b4197a7444ae1b0a119e85dc161e29918f44e)
Abbildung
oder
Dyaden:
![{\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot {\vec {h}}:=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1ac51649d88a81ff1f05eeaed447c7ff8a9fb6a)
![{\displaystyle {\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}}):=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}){\vec {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b9b6a97f04e8dd0641834fcb73ed2b376609b1)
![{\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot {\vec {h}}={\vec {h}}\cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ee4fbf908ee09af165e0f46411fe9ee9b24b79)
![{\displaystyle {\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }\cdot {\vec {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3d0e136d463bd469a9ebbdf26971e31609b10d)
Allgemeine Tensoren:
![{\displaystyle A_{ij}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\cdot {\vec {v}}=A_{ij}({\vec {v}}\cdot {\hat {e}}_{j}){\hat {e}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5dba32fa3732decbe300cc3ba588de04160834f)
![{\displaystyle A^{ij}({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})\cdot {\vec {v}}=A^{ij}({\vec {v}}\cdot {\vec {g}}_{j}){\vec {a}}_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5639e47cf629f1bd8bbd8b901aa4ed966127d91a)
![{\displaystyle {\vec {v}}\cdot A_{ij}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})=A_{ij}({\vec {v}}\cdot {\hat {e}}_{i}){\hat {e}}_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80af71281e1907529d1704a6b7daadfdd8a8bc07)
![{\displaystyle {\vec {v}}\cdot A^{ij}({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j})=A^{ij}({\vec {v}}\cdot {\hat {a}}_{i}){\vec {g}}_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b35543e4399d03fdacbc3b049c92ce89ae98dd34)
Symbolisch:
![{\displaystyle \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}={\vec {v}}\cdot \mathbf {A} ^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d607dc139d0890a9ac10eaaff277dd200b16e5)
![{\displaystyle {\vec {v}}\cdot \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\top }\cdot {\vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8302b30a25b1882b55c3628c1be1b447550dbfe2)
Abbildung
![{\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot ({\vec {h}}\otimes {\vec {u}}):=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}\otimes {\vec {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917a4b6fa62350d2a9ac8314f6339376b85d1391)
![{\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot \mathbf {A} ={\vec {a}}\otimes ({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}\cdot \mathbf {A} ={\vec {a}}\otimes (\mathbf {A} ^{\top }\cdot {\vec {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6f54a02fbcd09dcca83b05b6ced076503ef1eae)
![{\displaystyle \mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=(\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\otimes {\vec {g}}=\mathbf {A} \cdot {\vec {a}}\otimes {\vec {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364d4e82902be07d973d06dccb2be4c18fae0849)
![{\displaystyle (A_{ik}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{k})\cdot (B_{lj}{\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{j})=A_{ik}B_{kj}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c0051de4f770fba53f6f5e48d92f7601e358f66)
![{\displaystyle \left(A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\right)\cdot \left(B^{kl}{\vec {h}}_{k}\otimes {\vec {u}}_{l}\right)=A^{ij}({\vec {g}}_{j}\cdot {\vec {h}}_{k})B^{kl}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {u}}_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66e640a3e8240a282386b851360312b31b3f1478)
Abbildung
Definition über die #Spur:
![{\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}}):({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}):=\mathrm {Sp} (({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }\cdot ({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}))=({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})({\vec {g}}\cdot {\vec {h}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f65db693eba5a6b91b7fd1df9b459f666cacce5c)
![{\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} :=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathbf {B} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa86e050e129c4b241c9132bbfe578ab6b6cbef8)
Eigenschaften:
![{\displaystyle \mathbf {A} :\mathbf {B} =\mathbf {B} :\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\top }:\mathbf {B} ^{\top }=\mathbf {B} ^{\top }:\mathbf {A} ^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4fb3221987ccda37314b7f23080a5df62d8bd35)
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{\top }:\mathbf {B} =\mathbf {A} :\mathbf {B} ^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4bcee264fd9c9bec41cfd6382c8ecb8545cef1b)
![{\displaystyle \mathbf {A} :(\mathbf {B\cdot C} )=(\mathbf {B} ^{\top }\cdot \mathbf {A} ):\mathbf {C} =(\mathbf {A\cdot C} ^{\top }):\mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96de0ac685bcd75fefcc41c6e14c0afb2de5e33a)
![{\displaystyle (\mathbf {A\cdot B} ):\mathbf {C} =\mathbf {B} :(\mathbf {A} ^{\top }\cdot \mathbf {C} )=\mathbf {A} :(\mathbf {C\cdot B} ^{\top })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18ca0597ebf1f3bd7db258c6aa4ba2bfddb2f453)
![{\displaystyle ({\vec {u}}\otimes {\vec {v}}):\mathbf {A} ={\vec {u}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4745442a5feae540040f3731695e0a033f98c4f5)
Abbildung
oder
Dyaden:
![{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\otimes {\vec {g}})=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\otimes {\vec {g}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}\otimes {\vec {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/032de75550c81295294d15c585ecdd9f7e444e74)
![{\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\times {\vec {h}}={\vec {a}}\otimes ({\vec {g}}\times {\vec {h}})={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}\times {\vec {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a845cb1e3030dbbaef33818f320a9bb35d3c998)
![{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}\otimes {\vec {g}}=-[({\vec {b}}\otimes {\vec {g}})^{\top }\times {\vec {a}}]^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ee045447b66e661f78e485fb51f163a478719f7)
![{\displaystyle {\vec {a}}\otimes {\vec {g}}\times {\vec {h}}=-[{\vec {h}}\times ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})^{\top }]^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2078c4ef7f0d54314cfe20bcae8529cfd95705ef)
![{\displaystyle a_{j}{\hat {e}}_{j}\times (A_{kl}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l})=a_{j}A_{kl}({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})\otimes {\hat {e}}_{l}=\epsilon _{ijk}a_{j}A_{kl}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6881749e3af8b59217ec00384615afe6c9ff633e)
![{\displaystyle (A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\times a_{k}{\hat {e}}_{k}=A_{ij}a_{k}{\hat {e}}_{i}\otimes ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})=\epsilon _{jkl}A_{ij}a_{k}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bf3965df00146a1bef8edae93c55fcb9bcc1e64)
Allgemeine Tensoren:
![{\displaystyle ({\vec {a}}\times \mathbf {A} )\cdot {\vec {g}}:={\vec {a}}\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {g}})={\vec {a}}\times ({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} ^{\top })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a42b2b303c9800ca18f2e6040bef2fbf982556f)
![{\displaystyle {\vec {b}}\cdot ({\vec {a}}\times \mathbf {A} ):=({\vec {b}}\times {\vec {a}})\cdot \mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe7b9a39e78ceed1a76a54490fd7d9577702b5f)
![{\displaystyle {\vec {g}}\cdot (\mathbf {A} \times {\vec {a}}):=({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )\times {\vec {a}}=(\mathbf {A} ^{\top }\cdot {\vec {g}})\times {\vec {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f642e89c825b7e8b0aeb51c5915c5840ac639f1b)
![{\displaystyle (\mathbf {A} \times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}=\mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/589de3e994dd4bdece04e0323979dd9bd936fb74)
![{\displaystyle {\vec {a}}\times \mathbf {A} =-\left(\mathbf {A} ^{\top }\times {\vec {a}}\right)^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404b78b1d92b454ae02c6d873a7c4a072b0da99b)
![{\displaystyle \mathbf {A} \times {\vec {a}}=-\left({\vec {a}}\times \mathbf {A} ^{\top }\right)^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daceaa3113a4486f2931745eb2b6951f2355414e)
Symmetrische Tensoren:
Insbesondere Kugeltensoren:
Schiefsymmetrische Tensoren:
#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix mit dem #Einheitstensor:
![{\displaystyle ({\vec {a}}\times \mathbf {1} )\cdot {\vec {g}}={\vec {a}}\cdot ({\vec {g}}\times \mathbf {1} )={\vec {a}}\cdot (\mathbf {1} \times {\vec {g}})={\vec {a}}\times {\vec {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83fb4a7d1a8f56a89034d5203b6c56e6b942322)
Mehrfach:
![{\displaystyle ({\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times \mathbf {A} ))\cdot {\vec {g}}={\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times (\mathbf {A} \cdot {\vec {g}}))=({\vec {a}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\vec {g}}){\vec {b}}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\mathbf {A} \cdot {\vec {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cb628b561f8cce919e87ad0b98ed72e77c8576)
![{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times \mathbf {A} )={\vec {b}}\otimes {\vec {a}}\cdot \mathbf {A} -({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})\mathbf {A} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e4c22d8f53e50bd850998a29457c6fc0c32a05d)
Meistens ist aber:
![{\displaystyle (\mathbf {A} \cdot {\vec {a}})\times {\vec {g}}\neq \mathbf {A} \cdot ({\vec {a}}\times {\vec {g}})=(\mathbf {A} \times {\vec {a}})\cdot {\vec {g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd693fbebeab024fb48e8bf20b7deb1662d7e74)
![{\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {g}}\cdot \mathbf {A} )\neq ({\vec {a}}\times {\vec {g}})\cdot \mathbf {A} ={\vec {a}}\cdot ({\vec {g}}\times \mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/222ed06929dce1ea9902068605be1f2b853e9a3d)
Abbildung
![{\displaystyle \mathbf {A\times B} ={\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:(\mathbf {A\cdot B} ^{\top })=-{\stackrel {3}{\mathbf {E} }}:(\mathbf {B\cdot A} ^{\top })=-\mathbf {B\times A} \in \mathbb {V} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335d7fc2acf50060fc1e795321ed56b659b7b561)
mit #Fundamentaltensor 3. Stufe
.
![{\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\times ({\vec {b}}\otimes {\vec {h}})=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}\times {\vec {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/233ad0a8444f537c1d7d5b0bd8455bd162d50642)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{ik}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{k})\times [B_{jl}({\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{l})]=A_{ik}B_{jk}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j})=\ldots \\&\ldots ={\begin{pmatrix}A_{21}B_{31}-A_{31}B_{21}+A_{22}B_{32}-A_{32}B_{22}+A_{23}B_{33}-A_{33}B_{23}\\A_{31}B_{11}-A_{11}B_{31}+A_{32}B_{12}-A_{12}B_{32}+A_{33}B_{13}-A_{13}B_{33}\\A_{11}B_{21}-A_{21}B_{11}+A_{12}B_{22}-A_{22}B_{12}+A_{13}B_{23}-A_{23}B_{13}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea9e6b7895db1d6c78cb573be56abd33d93cfc1)
Zusammenhang mit #Dualer axialer Vektor und #Vektorinvariante:
![{\displaystyle \mathbf {A\times B} =-2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A\cdot B} ^{\top }}}}={\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A\cdot B} ^{\top })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11b630c12f5c47ca51a7710c0240a59a765d8845)
Mit #Einheitstensor:
![{\displaystyle \mathbf {1\times A} =2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} }}}=-{\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828f5306802cc895950d12fb2454bc2fdf6441a2)
Mehrfachprodukte:
![{\displaystyle (\mathbf {A\cdot B} )\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times (\mathbf {C\cdot B} ^{\top })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1237f9a9cfb960301f585db18e9891180bf244)
![{\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B\cdot C} )=(\mathbf {A\cdot C} ^{\top })\times \mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f098cae58e2a6df536a9968fedbd302e59078f)
Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:
![{\displaystyle \mathbf {A\times B} =\mathbf {A} \cdot \!\!\times (\mathbf {B} ^{\top })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/347a827c426d4b311dfd796692adf565b265257b)
Abbildung
![{\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot \!\!\times ({\vec {h}}\otimes {\vec {u}})=-({\vec {u}}\otimes {\vec {h}})\cdot \!\!\times ({\vec {g}}\otimes {\vec {a}}):=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}\times {\vec {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f98c76eb08301296550e60f21741b517a45211)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&A_{ik}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{k})\cdot \!\!\times [B_{lj}({\hat {e}}_{l}\otimes {\hat {e}}_{j})]=A_{ik}B_{kj}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j})=\ldots \\&\ldots ={\begin{pmatrix}A_{21}B_{13}-A_{31}B_{12}+A_{22}B_{23}-A_{32}B_{22}+A_{23}B_{33}-A_{33}B_{32}\\A_{31}B_{11}-A_{11}B_{13}+A_{32}B_{21}-A_{12}B_{23}+A_{33}B_{31}-A_{13}B_{33}\\A_{11}B_{12}-A_{21}B_{11}+A_{12}B_{22}-A_{22}B_{21}+A_{13}B_{32}-A_{23}B_{31}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce5db296cfa14b66cc0845927afbe48b3943a73)
Das Skalarkreuzprodukt mit dem #Einheitstensor vertauscht das dyadische Produkt durch das Kreuzprodukt:
![{\displaystyle \mathbf {1} \cdot \!\!\times ({\vec {a}}\otimes {\vec {b}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6178be1d55ed3904ada6f1eaa3af5c21e9240c5a)
Allgemein:
![{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \!\!\times \mathbf {B} =-(\mathbf {B} ^{\top })\cdot \!\!\times (\mathbf {A} ^{\top })}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5756c8cfd377861b125664f606885f033a934df8)
![{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \!\!\times (\mathbf {B\cdot C} )=(\mathbf {A\cdot B} )\cdot \!\!\times \mathbf {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74ac8237b4a886cb6b70105b9820e20e811c5fb)
![{\displaystyle (\mathbf {A\cdot B} )\cdot \!\!\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \!\!\times (\mathbf {B\cdot C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/643700a3987814a8e0713f28859b6ee280d866e5)
Zusammenhang mit dem #Kreuzprodukt von Tensoren:
![{\displaystyle \mathbf {S} \cdot \!\!\times \mathbf {T} =\mathbf {S\times (T^{\top })} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b854beb9724f92fe58863b8c7ab6a1073b2bf870)
Zusammenhang mit #Vektorinvariante und #Dualer axialer Vektor:
![{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \!\!\times \mathbf {B} ={\vec {\mathrm {i} }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=-2{\stackrel {A}{\overrightarrow {\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1684e9bb89b50ecc9dbf1fc2d48cd68cd11ab3bb)
Siehe auch #Äußeres Tensorprodukt #
Abbildung
![{\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\times \!\!\times ({\vec {h}}\otimes {\vec {b}}):=({\vec {g}}\times {\vec {h}})\otimes ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=({\vec {g}}\otimes {\vec {a}})\#({\vec {h}}\otimes {\vec {b}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da7769a1e8ab842607efc29f4f3325098b326248)
![{\displaystyle A_{ij}({\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\times \!\!\times [B_{kl}({\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l})]:=A_{ij}B_{kl}({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{k})\otimes ({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{l})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b04a1d5ecd7d95b8604e343287771adabfb7093)
![{\displaystyle \mathbf {A} \times \!\!\times \mathbf {B} =\mathbf {A} ^{\top }\#\mathbf {B} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a2e892c4f4891aff3337422d664446c19114cc8)
Abbildung
![{\displaystyle ({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\#({\vec {b}}\otimes {\vec {h}}):=({\vec {a}}\times {\vec {b}})\otimes ({\vec {g}}\times {\vec {h}})=({\vec {g}}\otimes {\vec {a}})\times \!\!\times ({\vec {b}}\otimes {\vec {h}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22be4e628119feb6a4c78f308ab959920ac2e8a8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j})\#(B_{kl}{\hat {e}}_{k}\otimes {\hat {e}}_{l})=A_{ij}B_{kl}({\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{k})\otimes ({\hat {e}}_{j}\times {\hat {e}}_{l})\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \;\;\;=\epsilon _{ikm}\epsilon _{jln}A_{ij}B_{kl}{\hat {e}}_{m}\otimes {\hat {e}}_{n}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11f40d299b532695652c3b803691b895f466af5)
Mit der Formel für das Produkt zweier #Permutationssymbole:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \#\mathbf {B} =&[\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathrm {Sp} (\mathbf {B} )-\mathrm {Sp} (\mathbf {A\cdot B} )]\mathbf {1} \\&+[\mathbf {A\cdot B} +\mathbf {B\cdot A} -\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {B} -\mathrm {Sp} (\mathbf {B} )\mathbf {A} ]^{\top }\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f30aa56e3900ae28a4a8e1574d73d05da236c6c3)
Grundlegende Eigenschaften:
![{\displaystyle \mathbf {A} \#\mathbf {B} =\mathbf {B} \#\mathbf {A} =(\mathbf {A} ^{\top }\#\mathbf {B} ^{\top })^{\top }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d43d9f9dcd105a14f3b447842d4b6057f9908e4a)
![{\displaystyle (\mathbf {A+B} )\#\mathbf {C} =\mathbf {A} \#\mathbf {C} +\mathbf {B} \#\mathbf {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71bbfc8d3fe54f553e23525810179ad2a34f749b)
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