Ganzes Element – Wikipedia
Im mathematischen Teilgebiet der kommutativen Algebra ist der Begriff eines ganzen Elementes in einer Ringerweiterung eine Verallgemeinerung des Begriffes eines algebraischen Elementes in einer Körpererweiterung.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es sei ein Ring und eine -Algebra. Dann heißt ein Element ganz über , wenn es ein Polynom mit Leitkoeffizient 1 gibt, so dass gilt, also wenn es ein und Koeffizienten gibt mit
- .
Die Menge der über ganzen Elemente von heißt der ganze Abschluss von in .
Falls der ganze Abschluss von in mit übereinstimmt, heißt ganz abgeschlossen in . Stimmt der ganze Abschluss von in jedoch mit überein, ist also jedes Element von ganz über , so heißt ganz über .
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Ist eine Ringerweiterung, dann ist insbesondere eine -Algebra. Ist ganz über , so spricht man von einer ganzen Ringerweiterung.
- Ein Integritätsring, der ganz abgeschlossen in seinem Quotientenkörper ist, wird als normaler Ring bezeichnet.
- Der ganze Abschluss der ganzen Zahlen in einem algebraischen Zahlkörper wird als der Ganzheitsring von bezeichnet.
- Ist und , so ist der ganze Abschluss von in gegeben als
Charakterisierung ganzer Elemente in Ringerweiterungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei eine Ringerweiterung, . Dann sind äquivalent:[1]
- ist ganz über ,
- ist als -Modul endlich erzeugt,
- es gibt einen Teilring , sodass und als -Modul endlich erzeugt ist.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Der ganze Abschluss von in ist eine -Unteralgebra von .
- Ganzheit ist eine transitive Relation. Genauer gilt für eine Ringerweiterung , dass genau dann ganz über ist, wenn ganz über und ganz über ist.[2]
- Eine -Algebra ist genau dann endlich, wenn sie endlich erzeugt und ganz ist.[3]
- Sei eine Ringerweiterung, der ganze Abschluss von in und eine multiplikativ abgeschlossene Teilmenge. Dann ist auch der ganze Abschluss von in , wobei mit die Lokalisierung nach der Menge bezeichnet.[4]
- Ganzabgeschlossenheit ist eine lokale Eigenschaft.
- Sei eine ganze Ringerweiterung und nullteilerfrei. Dann ist genau dann ein Körper, wenn ein Körper ist.[5]
- Ist eine ganze Ringerweiterung. Dann gibt es einen Zusammenhang zwischen Primidealketten in und darunterliegenden Primidealketten in . Dies ist die Aussage der Sätze von Cohen-Seidenberg.
- Falls ein Unterring des Körpers ist, dann ist der ganze Abschluss von in der Durchschnitt aller Bewertungsringe von die enthalten.[6]
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Chapter 5, ISBN 0-201-00361-9
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.1.
- ↑ M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.4.
- ↑ M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, S. 60
- ↑ M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.6.
- ↑ M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Proposition 5.7.
- ↑ M.F. Atiyah und I.G. MacDonald: Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley Series in Mathematics, 1969, Korollar 5.22.