Golomb-Lineal – Wikipedia

Ein Golomb-Lineal oder Golomb-Maßstab (häufig auch englisch Golomb Ruler nach dem englischen Fachbegriff) ist in der Zahlentheorie ein Lineal mit Markierungen an ganzzahligen Positionen, bei dem es keine zwei Paare von Markierungen mit dem gleichen Abstand zueinander gibt. Golomb-Lineale haben ihren Namen von Solomon W. Golomb, einem US-amerikanischen Professor für Mathematik und Elektrotechnik an der Universität von Südkalifornien.

Ein Golomb-Lineal kann definiert werden als endliche Menge ${\displaystyle M\subset \mathbb {Z} }$ mit der Eigenschaft: wenn ${\displaystyle a,b,c,d\in M}$ mit ${\displaystyle a\neq b}$ und ${\displaystyle |a-b|=|c-d|}$, dann ist ${\displaystyle \{a,b\}=\{c,d\}}$.

Golomb-Lineale werden anhand ihrer Ordnung und ihrer Länge kategorisiert. Die Ordnung eines Golomb-Lineals ist dabei definiert durch die Anzahl der Markierungen, die Länge durch den größten Abstand zweier Markierungen. Da Parallelverschiebung und Spiegelung bei Golomb-Linealen als triviale Operationen angesehen werden, wird die erste Markierung üblicherweise bei 0 gesetzt und diejenige, die den kleinsten Abstand von einer Endmarkierung hat, an der kleineren der beiden möglichen positiven Positionen (sodass die erste und die zweite näher beieinander sind als die vorletzte und die letzte Markierung). Außerdem sollen die Abstände keinen gemeinsamen Teiler haben, sonst könnte man das Lineal um diesen Faktor verkürzen ([0,2,8,12] → [0,1,4,6]).

Ein Golomb-Lineal muss nicht alle Abstände bis zu seiner Länge messen können, es müssen also nicht alle Abstände zwischen den Markierungen – aufsteigend geordnet – eine lückenlose Zahlenreihe (1,2,3,4,5,…) ergeben. Wenn das jedoch der Fall ist, wird es ein perfektes Golomb-Lineal genannt. Es existieren keine perfekten Golomb-Lineale mit einer Ordnung größer als vier.^[1] Ein Golomb-Lineal ist optimal, wenn es keine kürzeren Lineale derselben Ordnung gibt. Optimale Golomb-Lineale für eine gegebene Ordnung zu finden ist, im Gegensatz zum Erstellen von Linealen mit Golomb-Eigenschaft, eine rechenintensive Aufgabe. Mittels verteilten Rechnens wurden bislang optimale Golomb-Lineale bis zur Ordnung 28 durch das distributed.net-Projekt bestätigt. Das Projekt bestätigte zuletzt nach einer Gesamtdauer von über 8 Jahren das bis dahin kürzeste bekannte Lineal für die Ordnung 28.^[2]

Die Suche nach einem optimalen Lineal der Ordnung 29 ist mit Stand 2022 von distributed.net nicht geplant, da der Aufwand zu hoch erscheint.^[2]

Golomb-Lineale finden Anwendung beim Entwurf von Gruppenantennen wie beispielsweise Radioteleskopen. Antennen in [0,1,4,6] Golomb-Anordnung findet man häufig bei Mobilfunkmasten. Auch die Anordnung von Feldsensoren in Kernspintomographie nutzt Eigenschaften von Golomb-Maßstäben.

Bei beiden Anwendungen ist das Ziel, mit einer Minimalzahl an Elementen (Antennen, Sensoren) eine Maximalzahl an unterschiedlichen Abständen und im Dreidimensionalen eine Maximalzahl an verschiedenen Abstrahl- und Empfangswinkeln zu erreichen. Sind die verwendeten Golomb-Lineale optimal, wird auch noch die Ausdehnung des Messsystems bzw. der Gruppenantenne minimiert, was die Handhabbarkeit verbessert oder einen Einsatz überhaupt erst ermöglicht.

Die Tabelle zeigt die Werte für alle derzeit bekannten optimalen Golomb-Lineale bis zur Ordnung 28, wobei äquivalente Lineale (das heißt in umgekehrter Reihenfolge zu einem der angegebenen) nicht enthalten sind. Die ersten Vier stellen dabei perfekte Golomb-Lineale dar.

• Was ist eigentlich ein Optimaler Golomb-Maßstab? (englisch)
• Golomb rulers (englisch)
• Folge A003022 in OEIS

1. ↑ Modular and Regular Golomb Rulers. Abgerufen im 1. Januar 1 
2. ↑ ^{a b c} Completion of OGR-28 project. Abgerufen am 23. November 2022 (englisch). 
3. ↑ Paul Erdős, Paul Turan: On a problem of Sidon in additive number theory, and on some related problems. In: J. London Math. Soc. 16:212--215, 1941.
4. ↑ ^{a b c d} Rulers, Arrays, and Gracefulness Ed Pegg Jr. November 15, 2004. Math Games.
5. ↑ ^{a b c d e f g h i j k l m n o p q r} James B Shearer: Table of lengths of shortest known Golomb rulers. IBM, 19. Februar 1998, archiviert vom Original am 25. Juni 2016; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch). 
6. ↑ In Search Of The Optimal 20 & 21 Mark Golomb Rulers (archived). Mark Garry, David Vanderschel, et al, 26. November 1998, archiviert vom Original am 6. Dezember 1998; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch). 
7. ↑ distributed.net - OGR-24 completion announcement. 1. November 2004; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch). 
8. ↑ distributed.net - OGR-25 completion announcement. 25. Oktober 2008; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch). 
9. ↑ distributed.net - OGR-26 completion announcement. 24. Februar 2009; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch). 
10. ↑ distributed.net - OGR-27 completion announcement. 25. Februar 2014; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch).