Der Begriff gute Primzahl wird in der Mathematik in unterschiedlichen Bedeutungen verwendet. Die häufigsten Verwendungen beziehen sich auf den Vergleich einer Primzahl mit geeigneten Mittelwerten von Primzahlen aus der Umgebung.
Die n-te Primzahl
heißt gut, falls für alle Paare von Primzahlen
und
, wobei
von 1 bis
geht, gilt:
![{\displaystyle p_{n}^{2}\;>\;p_{n-i}\cdot p_{n+i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/917eedc356bb2f78168a222da323712567e54b90)
Es gibt unendlich viele gute Primzahlen. Die ersten lauten
- 5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 97, … (Folge A028388 in OEIS)
Diese Definition geht auf Paul Erdős und Ernst Gabor Straus zurück.[1]
Beispiel 1:
Es soll geprüft werden, ob 11 eine gute Primzahl ist.
11 ist die 5. Primzahl:
. Also ist zu prüfen:
![{\displaystyle 11^{2}=121>7\cdot 13=91}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50fe5ee99e8c1ea3ba7c8b92222d10efd9852252)
![{\displaystyle 11^{2}=121>5\cdot 17=85}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ad4828f5322c78f13c4c29aeb860c9b08915bb)
![{\displaystyle 11^{2}=121>3\cdot 19=57}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3a996a92792b5c833cdabf9a133c236cc9e006)
![{\displaystyle 11^{2}=121>2\cdot 23=46}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31b24f280bbd679c8343934ae35478b478be86d)
Also ist 11 eine gute Primzahl.
Beispiel 2:
Es soll geprüft werden, ob 13 eine gute Primzahl ist.
13 ist die 6. Primzahl:
. Da
,
gilt nicht
. Daher ist 13 keine gute Primzahl.
Eine Primzahl heißt gut, wenn sie größer ist als das geometrische Mittel des unmittelbar benachbarten Primzahlpaares.
Die n-te Primzahl
also heißt gut, falls
.
Auch nach dieser Definition gibt es unendlich viele gute Primzahlen, die ersten davon lauten
- 5, 11, 17, 29, 37, 41, 53, 59, 67, 71, 79, 97, 101, … (Folge A046869 in OEIS)
Die 79 ist in diesem Sinne eine gute Primzahl, weil
.
Sie ist aber keine gute Primzahl im ersten Sinne, weil für das vorhergehende Primzahlpaar gilt
.
- Eric W. Weisstein: Good Prime. In: MathWorld (englisch).
- Folge A028388 in OEIS: Liste der ersten 10000 guten Primzahlen (im ersten Sinn) auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Folge A046869 in OEIS: Liste der ersten 10000 guten Primzahlen (im zweiten Sinn) auf On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- ↑ Richard Kenneth Guy: Good Primes and the Prime Number Graph. In: Unsolved Problems in Number Theory. 2. Auflage. Springer, New York 1994, S. 32 f, §A14. (Google books)
formelbasiert | Carol ((2n − 1)2 − 2) | Doppelte Mersenne (22p − 1 − 1) | Fakultät (n! ± 1) | Fermat (22n + 1) | Kubisch (x3 − y3)/(x − y) | Kynea ((2n + 1)2 − 2) | Leyland (xy + yx) | Mersenne (2p − 1) | Mills (A3n) | Pierpont (2u⋅3v + 1) | Primorial (pn# ± 1) | Proth (k⋅2n + 1) | Pythagoreisch (4n + 1) | Quartisch (x4 + y4) | Thabit (3⋅2n − 1) | Wagstaff ((2p + 1)/3) | Williams ((b-1)⋅bn − 1) | Woodall (n⋅2n − 1) |
Primzahlfolgen | Bell | Fibonacci | Lucas | Motzkin | Pell | Perrin |
eigenschaftsbasiert | Elitär | Fortunate | Gut | Glücklich | Higgs | Hochkototient | Isoliert | Pillai | Ramanujan | Regulär | Stark | Stern | Wall–Sun–Sun | Wieferich | Wilson |
basisabhängig | Belphegor | Champernowne | Dihedral | Einzigartig | Fröhlich | Keith | Lange | Minimal | Mirp | Permutierbar | Primeval | Palindrom | Repunit-Primzahl ((10n − 1)/9) | Schwach | Smarandache–Wellin | Strobogrammatisch | Tetradisch | Trunkierbar | Zirkular |
basierend auf Tupel | Ausbalanciert (p − n, p, p + n) | Chen | Cousin (p, p + 4) | Cunningham (p, 2p ± 1, …) | Drilling (p, p + 2 oder p + 4, p + 6) | Konstellation | Sexy (p, p + 6) | Sichere (p, (p − 1)/2) | Sophie Germain (p, 2p + 1) | Vierling (p, p + 2, p + 6, p + 8) | Zwilling (p, p + 2) | Zwillings-Bi-Kette (n ± 1, 2n ± 1, …) |
nach Größe | Titanisch (1.000+ Stellen) | Gigantisch (10.000+ Stellen) | Mega (1.000.000+ Stellen) | Beva (1.000.000.000+ Stellen) |