Eine Hurwitzquaternion (oder Hurwitz-Ganzzahl ), benannt nach Adolf Hurwitz , ist eine Quaternion , deren vier Koeffizienten entweder alle (rational-)ganzzahlig oder alle halbzahlig (Hälften ungerader ganzer Zahlen) sind – Mischungen von Ganzzahlen und Halbzahlen sind also unzulässig. Die Menge aller Hurwitzquaternionen ist
H := { ξ = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k ∣ ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ Z 4 ∪ ( 1 2 + Z ) 4 } {\displaystyle H:=\left\{\xi =x_{0}+x_{1}\,\mathrm {i} +x_{2}\,\mathrm {j} +x_{3}\,\mathrm {k} \;\mid \;(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in \mathbb {Z} ^{4}\,\cup \,\left({\tfrac {1}{2}}+\mathbb {Z} \right)^{4}\right\}} . Sie bildet in ihrem Quotientenkörper , dem Divisionsring (Schiefkörper ) der Quaternionen mit rationalen Koeffizienten
S := { ξ = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k ∣ x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ∈ Q } {\displaystyle S:=\{\xi =x_{0}+x_{1}\,\mathrm {i} +x_{2}\,\mathrm {j} +x_{3}\,\mathrm {k} \;\mid \;x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {Q} \}} , eine maximale Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -Ordnung. S {\displaystyle S} ist der kleinste Unterkörper des Quaternionenschiefkörpers H {\displaystyle \mathbb {H} } mit nicht-kommutativer Multiplikation. Andererseits ist seine Vervollständigung (Komplettierung) für die Betrags -Metrik gerade wieder H {\displaystyle \mathbb {H} } .
Eine Lipschitzquaternion (oder Lipschitz-Ganzzahl ), benannt nach Rudolf Lipschitz , ist eine Quaternion , deren Koeffizienten alle ganzzahlig sind. Die Menge aller Lipschitzquaternionen
L := { ξ = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k ∣ x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ∈ Z } {\displaystyle L:=\{\xi =x_{0}+x_{1}\,\mathrm {i} +x_{2}\,\mathrm {j} +x_{3}\,\mathrm {k} \;\mid \;x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}\in \mathbb {Z} \}} ist ein (nicht-kommutativer) Unterring von H {\displaystyle H} (aber kein Ideal !). L {\displaystyle L} und H {\displaystyle H} haben denselben Quotientenkörper S {\displaystyle S} .
Im Unterschied zu L {\displaystyle L} ist H {\displaystyle H} maximal als Ganzheitsring und zusätzlich ein euklidischer Ring , d. h., H {\displaystyle H} kennt eine Division mit kleinem Rest und einen euklidischen Algorithmus .
Der Artikel behandelt die wichtigsten algebraischen Eigenschaften inklusive Symmetrien von H {\displaystyle H} und deren geometrische Auswirkungen. Ferner lässt sich exemplarisch verfolgen, inwieweit Begriffe, die man von den kommutativen Ringen her kennt und die häufig nur dort definiert werden, fürs nicht-kommutative Umfeld angepasst werden können.
Der Schiefkörper S {\displaystyle S} „erbt“ die i {\displaystyle \mathrm {i} } , j {\displaystyle \mathrm {j} } , k {\displaystyle \mathrm {k} } und alle einschlägigen Rechenregeln von H {\displaystyle \mathbb {H} } , den Quaternionen mit reellen Koeffizienten. Bezüglich der Definitionen wird auf den entsprechenden Artikel verwiesen.
S {\displaystyle S} ist ein 4-dimensionaler Vektorraum über seinem Skalarkörper Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , wie es H {\displaystyle \mathbb {H} } über R {\displaystyle \mathbb {R} } ist. Vom Vektorraum gewinnt man die Addition und die Skalarmultiplikation : Q × S → S {\displaystyle \colon \mathbb {Q} \times S\to S} , bei der der Skalar r ∈ Q {\displaystyle r\in \mathbb {Q} } die Quaternion komponentenweise multipliziert. Diese Multiplikation stimmt in ihrem Definitionsbereich mit der Quaternionen-Multiplikation überein, da r {\displaystyle r} als r + 0 i + 0 j + 0 k {\displaystyle r+0\,\mathrm {i} +0\,\mathrm {j} +0\,\mathrm {k} } in die Quaternionen eingebettet wird, und sie ist kommutativ .
In diesem Artikel wird die (volle) Quaternionen-Multiplikation mit dem Mittepunkt ⋅ {\displaystyle \cdot } und die Skalarmultiplikation durch einfache Juxtaposition notiert, ferner werden die Quaternionen mit griechischen und die Skalare mit lateinischen Buchstaben geschrieben.
Zur Erläuterung der Auswirkungen der Erbschaften auf das Thema des Artikels seien ξ = x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k {\displaystyle \xi =x_{0}+x_{1}\,\mathrm {i} +x_{2}\,\mathrm {j} +x_{3}\,\mathrm {k} } und η = y 0 + y 1 i + y 2 j + y 3 k {\displaystyle \eta =y_{0}+y_{1}\,\mathrm {i} +y_{2}\,\mathrm {j} +y_{3}\,\mathrm {k} } beliebige Quaternionen (mit rationalen oder ggf. reellen Koeffizienten).
Das Skalarprodukt ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : H × H → R {\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon \mathbb {H} \times \mathbb {H} \to \mathbb {R} } , definiert durch ⟨ ξ , η ⟩ := x 0 y 0 + x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 {\displaystyle \langle \xi ,\eta \rangle :=x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}} , ist eine positiv definite symmetrische Bilinearform . Wir haben die Bilder { ⟨ ξ , η ⟩ ∣ ξ , η ∈ H } = 1 2 Z {\displaystyle \{\langle \xi ,\eta \rangle \mid \xi ,\eta \in H\}\;=\;{\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} } und { ⟨ ξ , η ⟩ ∣ ξ , η ∈ L } = Z {\displaystyle \{\langle \xi ,\eta \rangle \mid \xi ,\eta \in L\}\;=\;\mathbb {Z} } und die Bilder { ⟨ ξ , ξ ⟩ ∣ ξ ∈ H } = { ⟨ ξ , ξ ⟩ ∣ ξ ∈ L } = N 0 {\displaystyle \{\langle \xi ,\xi \rangle \mid \xi \in H\}\;=\;\{\langle \xi ,\xi \rangle \mid \xi \in L\}\;=\;\mathbb {N} _{0}} . Die Konjugation ξ ↦ ξ ¯ {\displaystyle \xi \mapsto {\bar {\xi }}} wirft ξ {\displaystyle \xi } nach ξ ¯ := x 0 − x 1 i − x 2 j − x 3 k {\displaystyle {\bar {\xi }}:=x_{0}-x_{1}\,\mathrm {i} -x_{2}\,\mathrm {j} -x_{3}\,\mathrm {k} } . Die Norm , gegeben durch ‖ ξ ‖ := ξ ⋅ ξ ¯ = ξ ¯ ⋅ ξ = x 0 2 + x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 {\displaystyle \|\xi \|:=\xi \cdot {\bar {\xi }}={\bar {\xi }}\cdot \xi =x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}} ist = ⟨ ξ , ξ ⟩ = | ξ | 2 {\displaystyle =\!\langle \xi ,\xi \rangle =\!|\xi |^{2}} (Quadrat des Betrags ), multiplikativ, rein reell, nicht-negativ und bei einer Hurwitzquaternion immer eine ganze Zahl. Gemäß dem Vier-Quadrate-Satz von Lagrange benötigt man für jede nicht-negative ganze Zahl höchstens 4 Quadratzahlen , deren Summe sie ist. Somit ist jede nicht-negative Ganzzahl Norm einer Lipschitz- (oder Hurwitz-)Quaternion. Die positive Definitheit des Skalarprodukts bedeutet ‖ ξ ‖ > 0 {\displaystyle \|\xi \|>0} für ξ ≠ 0 {\displaystyle \xi \neq 0} . Daraus folgt die Existenz des Inversen ξ − 1 = ξ ¯ ‖ ξ ‖ ∈ S {\displaystyle \xi ^{-1}={\frac {\bar {\xi }}{\|\xi \|}}\in S} für ξ ≠ 0 {\displaystyle \xi \neq 0} , daraus die Nullteilerfreiheit von H {\displaystyle H} . Folgende Notationen seien in diesem Artikel durchgehalten.
Die Menge Λ := { ξ ∈ H ∣ ‖ ξ ‖ ≡ 0 mod 2 } {\displaystyle {\mathit {\Lambda }}:=\left\{\xi \in H\mid \|\xi \|\equiv 0\;\operatorname {mod} \,2\right\}} ist wegen der Multiplikativität der Norm additiv und multiplikativ abgeschlossen und Untermenge von L {\displaystyle L} , da alle ξ {\displaystyle \xi } mit ( x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ) ∈ ( Z + 1 2 ) 4 {\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})\in (\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}})^{4}} eine ungerade Norm haben. Ferner ist für ξ ∈ H {\displaystyle \xi \in H} und λ ∈ Λ {\displaystyle \lambda \in {\mathit {\Lambda }}} sowohl ξ ⋅ λ ∈ Λ {\displaystyle \xi \cdot \lambda \,\in \,{\mathit {\Lambda }}} als auch λ ⋅ ξ ∈ Λ {\displaystyle \lambda \cdot \xi \,\in \,{\mathit {\Lambda }}} . Λ {\displaystyle {\mathit {\Lambda }}} ist bekannt als das Gitter D 4 [ 1] im R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} . Es wird der geraden „Quersummen “ x 0 + x 1 + x 2 + x 3 {\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}} wegen auch „Schachbrettgitter“ genannt. [ ξ ] {\displaystyle [\xi ]} sei eine Kurzschreibweise für die Nebenklasse ξ + Λ {\displaystyle \xi +{\mathit {\Lambda }}} . Die Quaternion ε := 1 2 ( 1 + i + j + k ) {\displaystyle \varepsilon :={\tfrac {1}{2}}(1+\mathrm {i} +\mathrm {j} +\mathrm {k} )} hat 1 {\displaystyle 1} zur 6-ten Potenz, und es ist ε 2 = 1 2 ( − 1 + i + j + k ) , ε 3 = − 1 {\displaystyle \varepsilon ^{2}={\tfrac {1}{2}}(-1+\mathrm {i} +\mathrm {j} +\mathrm {k} ),\;\varepsilon ^{3}=-1} und ε 4 = 1 2 ( − 1 − i − j − k ) {\displaystyle \varepsilon ^{4}={\tfrac {1}{2}}(-1-\mathrm {i} -\mathrm {j} -\mathrm {k} )} . Die Menge Q 4 := { 0 , 1 , ε 4 , ε 2 } {\displaystyle Q_{4}:=\{0,1,\varepsilon ^{4},\varepsilon ^{2}\}} ist multiplikativ abgeschlossen. Die additive Gruppe L {\displaystyle L} wird erzeugt von { 1 , i , j , k } {\displaystyle \left\{1,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} \right\}} und bildet ein Gitter im R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} , bekannt als das Gitter I 4 .[ 2]
Λ {\displaystyle {\mathit {\Lambda }}} ist ein Untergitter vom Index 2 von L {\displaystyle L} . Es ergeben sich die Partitionen
L = [ 0 ] ∪ [ 1 ] {\displaystyle L={\color {OliveGreen}[0]}\cup {\color {Red}[1]}} . Additionstafel ± {\displaystyle \pm } [ 0 ] {\displaystyle [0]} [ 1 ] {\displaystyle [1]} [ ε 4 ] {\displaystyle [\varepsilon ^{4}]} [ ε 2 ] {\displaystyle [\varepsilon ^{2}]} [ 0 ] {\displaystyle [0]} [ 0 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}} [ 1 ] {\displaystyle {\color {Red}[1]}} [ ε 4 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[\varepsilon ^{4}]}} [ ε 2 ] {\displaystyle {\color {Red}[\varepsilon ^{2}]}} [ 1 ] {\displaystyle [1]} [ 1 ] {\displaystyle {\color {Red}[1]}} [ 0 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}} [ ε 2 ] {\displaystyle {\color {Red}[\varepsilon ^{2}]}} [ ε 4 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[\varepsilon ^{4}]}} [ ε 4 ] {\displaystyle [\varepsilon ^{4}]} [ ε 4 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[\varepsilon ^{4}]}} [ ε 2 ] {\displaystyle {\color {Red}[\varepsilon ^{2}]}} [ 0 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}} [ 1 ] {\displaystyle {\color {Red}[1]}} [ ε 2 ] {\displaystyle [\varepsilon ^{2}]} [ ε 2 ] {\displaystyle {\color {Red}[\varepsilon ^{2}]}} [ ε 4 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[\varepsilon ^{4}]}} [ 1 ] {\displaystyle {\color {Red}[1]}} [ 0 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}}
Als additive Gruppe ist H {\displaystyle H} frei abelsch mit den Erzeugenden { ε , i , j , k } {\displaystyle \left\{\varepsilon ,\mathrm {i} ,\mathrm {j} ,\mathrm {k} \right\}} . H {\displaystyle H} bildet ebenfalls ein Gitter im R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} , bekannt als das Gitter F 4 [ 3] .
L {\displaystyle L} ist ein Untergitter vom Index 2 von H {\displaystyle H} und es ergeben sich die Partitionen
H = L ∪ ( ε 4 + L ) = L ∪ ( ε 2 + L ) = [ 0 ] ∪ [ 1 ] ∪ [ ε 4 ] ∪ [ ε 2 ] {\displaystyle H\,=\,L\cup (\varepsilon ^{4}\!+L\!)\,=\,L\cup (\varepsilon ^{2}\!+L\!)\,=\,{\color {OliveGreen}[0]}\cup {\color {Red}[1]}\cup {\color {OliveGreen}[\varepsilon ^{4}]}\cup {\color {Red}[\varepsilon ^{2}]}} (siehe unten stehendes Diagramm). Damit ist Q 4 {\displaystyle Q_{4}} ein vollständiges Repräsentantensystem von H / Λ {\displaystyle H/{\mathit {\Lambda }}} .
Die Elemente ξ {\displaystyle \xi } der Nebenklassen [ 0 ] , [ ε 4 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]},{\color {OliveGreen}[\varepsilon ^{4}]}} haben gerade, die von [ 1 ] , [ ε 2 ] {\displaystyle {\color {Red}[1]},{\color {Red}[\varepsilon ^{2}]}} ungerade „Quersumme“ x 0 + x 1 + x 2 + x 3 {\displaystyle x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}} .
Aus den Nebenklassen des Gitters D 4 gebildete Gitter und Ringe [ 0 ] ∪ [ 1 ] ∪ [ ε 4 ] ∪ [ ε 2 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}\cup {\color {Red}[1]}\cup {\color {OliveGreen}[\varepsilon ^{4}]}\cup {\color {Red}[\varepsilon ^{2}]}} = L ∪ ( ε 4 + L ) {\displaystyle =L\cup (\varepsilon ^{4}\!+\!L)} = H = F 4 {\displaystyle =H={\mathsf {F}}_{4}} ╱ {\displaystyle \diagup } ∣ {\displaystyle \mid } ╲ {\displaystyle \diagdown } [ 0 ] ∪ [ ε 4 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}\cup {\color {OliveGreen}[\varepsilon ^{4}]}} = ε 4 ⋅ L {\displaystyle =\varepsilon ^{4}\!\cdot \!L} [ 0 ] ∪ [ 1 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}\cup {\color {Red}[1]}} = L = I 4 {\displaystyle =L={\mathsf {I}}_{4}} [ 0 ] ∪ [ ε 2 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}\cup {\color {Red}[\varepsilon ^{2}]}} = ε 2 ⋅ L {\displaystyle =\varepsilon ^{2}\!\cdot \!L} ╲ {\displaystyle \diagdown } ∣ {\displaystyle \mid } ╱ {\displaystyle \diagup } [ 0 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}} = ( ε 4 ⋅ L ) ∩ L ∩ ( ε 2 ⋅ L ) {\displaystyle =(\varepsilon ^{4}\!\cdot \!L)\cap L\cap (\varepsilon ^{2}\!\cdot \!L)} = Λ = D 4 {\displaystyle ={\mathit {\Lambda }}={\mathsf {D}}_{4}}
Es ist klar, dass das Produkt zweier Lipschitz-Zahlen mit ganzzahligen Koeffizienten wieder ganzzahlige Koeffizienten hat. Somit ist die Menge L {\displaystyle L} eine Halbgruppe unter der Quaternionen-Multiplikation ⋅ {\displaystyle \cdot } .
Die Einheitengruppe in L {\displaystyle L} ist die nicht-abelsche Quaternionengruppe
Q 8 := { ξ ∈ L ∣ ‖ ξ ‖ = 1 } = { ± 1 , ± i , ± j , ± k } {\displaystyle {\mathsf {Q}}_{8}:=\left\{\xi \in L\mid \|\xi \|=1\right\}\;=\;\left\{\pm 1,\pm \mathrm {i} ,\pm \mathrm {j} ,\pm \mathrm {k} \right\}} von der Ordnung 8 mit dem Zentrum Z := { ± 1 } {\displaystyle Z:=\left\{\pm 1\right\}} . Erzeugende von Q 8 sind z. B. i {\displaystyle \mathrm {i} } und j {\displaystyle \mathrm {j} } mit den Gleichungen
i 4 = 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{4}=1} , j 2 = i 2 {\displaystyle \mathrm {j} ^{2}=\mathrm {i} ^{2}} und j ⋅ i = i 3 ⋅ j {\displaystyle \mathrm {j} \cdot \mathrm {i} =\mathrm {i} ^{3}\cdot \mathrm {j} } . Multiplikationstafel ⋅ {\displaystyle \cdot } . [ 0 ] . {\displaystyle {\color {White}.}[0]{\color {White}.}} [ 1 ] {\displaystyle [1]} [ ε 4 ] {\displaystyle [\varepsilon ^{4}]} [ ε 2 ] {\displaystyle [\varepsilon ^{2}]} [ 0 ] {\displaystyle [0]} [ 0 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}} [ 0 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}} [ 0 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}} [ 0 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}} [ 1 ] {\displaystyle [1]} [ 0 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}} [ 1 ] {\displaystyle {\color {Red}[1]}} [ ε 4 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[\varepsilon ^{4}]}} [ ε 2 ] {\displaystyle {\color {Red}[\varepsilon ^{2}]}} [ ε 4 ] {\displaystyle [\varepsilon ^{4}]} [ 0 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}} [ ε 4 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[\varepsilon ^{4}]}} [ ε 2 ] {\displaystyle {\color {Red}[\varepsilon ^{2}]}} [ 1 ] {\displaystyle {\color {Red}[1]}} [ ε 2 ] {\displaystyle [\varepsilon ^{2}]} [ 0 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[0]}} [ ε 2 ] {\displaystyle {\color {Red}[\varepsilon ^{2}]}} [ 1 ] {\displaystyle {\color {Red}[1]}} [ ε 4 ] {\displaystyle {\color {OliveGreen}[\varepsilon ^{4}]}}
Der Beweis der multiplikativen Abgeschlossenheit von ( H , ⋅ ) {\displaystyle (H,\cdot )} gelingt ohne große Rechnerei durch Zusammensetzen aus den 4 Nebenklassen.[ Anm 1]
Fazit: Die Mengen L {\displaystyle L} und H {\displaystyle H} sind abgeschlossen unter der Addition + {\displaystyle +} und der Multiplikation ⋅ {\displaystyle \cdot } , so dass sie (nicht-kommutative ) Unterringe in ihrer beider Quotientenkörper S {\displaystyle S} bilden, und Λ {\displaystyle {\mathit {\Lambda }}} ist ein Ideal in beiden Ringen (siehe auch den Abschnitt Ideale ).
Multiplikationstabelle von 12 Hurwitz-Einheiten δ {\displaystyle \delta } (ohne − δ {\displaystyle -\delta } ) δ {\displaystyle \delta } δ ⋅ 1 {\displaystyle \delta \cdot 1} δ ⋅ i {\displaystyle \delta \cdot \mathrm {i} } δ ⋅ j {\displaystyle \delta \cdot \mathrm {j} } δ ⋅ k {\displaystyle \delta \cdot \mathrm {k} } δ ⋅ ε 1 {\displaystyle \delta \cdot \varepsilon _{1}} δ ⋅ ε 2 {\displaystyle \delta \cdot \varepsilon _{2}} δ ⋅ ε 3 {\displaystyle \delta \cdot \varepsilon _{3}} δ ⋅ ε 4 {\displaystyle \delta \cdot \varepsilon _{4}} δ ⋅ ε 5 {\displaystyle \delta \cdot \varepsilon _{5}} δ ⋅ ε 6 {\displaystyle \delta \cdot \varepsilon _{6}} δ ⋅ ε 7 {\displaystyle \delta \cdot \varepsilon _{7}} δ ⋅ ε 8 {\displaystyle \delta \cdot \varepsilon _{8}} 1 {\displaystyle 1} 1 {\displaystyle 1} i {\displaystyle \mathrm {i} } j {\displaystyle \mathrm {j} } k {\displaystyle \mathrm {k} } ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} ε 2 {\displaystyle \varepsilon _{2}} ε 3 {\displaystyle \varepsilon _{3}} ε 4 {\displaystyle \varepsilon _{4}} ε 5 {\displaystyle \varepsilon _{5}} ε 6 {\displaystyle \varepsilon _{6}} ε 7 {\displaystyle \varepsilon _{7}} ε 8 {\displaystyle \varepsilon _{8}} i {\displaystyle \mathrm {i} } i {\displaystyle \mathrm {i} } − 1 {\displaystyle -1} k {\displaystyle \mathrm {k} } − j {\displaystyle \mathrm {-j} } − ε 6 {\displaystyle -\varepsilon _{6}} − ε 8 {\displaystyle -\varepsilon _{8}} − ε 5 {\displaystyle -\varepsilon _{5}} − ε 7 {\displaystyle -\varepsilon _{7}} ε 3 {\displaystyle \varepsilon _{3}} ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} ε 4 {\displaystyle \varepsilon _{4}} ε 2 {\displaystyle \varepsilon _{2}} j {\displaystyle \mathrm {j} } j {\displaystyle \mathrm {j} } − k {\displaystyle \mathrm {-k} } − 1 {\displaystyle -1} i {\displaystyle \mathrm {i} } − ε 7 {\displaystyle -\varepsilon _{7}} − ε 3 {\displaystyle -\varepsilon _{3}} ε 2 {\displaystyle \varepsilon _{2}} ε 6 {\displaystyle \varepsilon _{6}} − ε 8 {\displaystyle -\varepsilon _{8}} − ε 4 {\displaystyle -\varepsilon _{4}} ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} ε 5 {\displaystyle \varepsilon _{5}} k {\displaystyle \mathrm {k} } k {\displaystyle \mathrm {k} } j {\displaystyle \mathrm {j} } − i {\displaystyle \mathrm {-i} } − 1 {\displaystyle -1} − ε 4 {\displaystyle -\varepsilon _{4}} ε 5 {\displaystyle \varepsilon _{5}} − ε 8 {\displaystyle -\varepsilon _{8}} ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} − ε 2 {\displaystyle -\varepsilon _{2}} ε 7 {\displaystyle \varepsilon _{7}} − ε 6 {\displaystyle -\varepsilon _{6}} ε 3 {\displaystyle \varepsilon _{3}} ε 1 := 1 2 + 1 2 i + 1 2 j + 1 2 k {\displaystyle \varepsilon _{1}:={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} +{\tfrac {1}{2}}\mathrm {j} +{\tfrac {1}{2}}\mathrm {k} } ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} − ε 7 {\displaystyle -\varepsilon _{7}} − ε 4 {\displaystyle -\varepsilon _{4}} − ε 6 {\displaystyle -\varepsilon _{6}} − ε 8 {\displaystyle -\varepsilon _{8}} j {\displaystyle \mathrm {j} } i {\displaystyle \mathrm {i} } ε 2 {\displaystyle \varepsilon _{2}} k {\displaystyle \mathrm {k} } ε 5 {\displaystyle \varepsilon _{5}} ε 3 {\displaystyle \varepsilon _{3}} 1 {\displaystyle 1} ε 2 := 1 2 + 1 2 i + 1 2 j − 1 2 k {\displaystyle \varepsilon _{2}:={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} +{\tfrac {1}{2}}\mathrm {j} -{\tfrac {1}{2}}\mathrm {k} } ε 2 {\displaystyle \varepsilon _{2}} − ε 5 {\displaystyle -\varepsilon _{5}} − ε 8 {\displaystyle -\varepsilon _{8}} ε 3 {\displaystyle \varepsilon _{3}} i {\displaystyle \mathrm {i} } − ε 7 {\displaystyle -\varepsilon _{7}} ε 4 {\displaystyle \varepsilon _{4}} − k {\displaystyle \mathrm {-k} } ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} j {\displaystyle \mathrm {j} } 1 {\displaystyle 1} ε 6 {\displaystyle \varepsilon _{6}} ε 3 := 1 2 + 1 2 i − 1 2 j + 1 2 k {\displaystyle \varepsilon _{3}:={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} -{\tfrac {1}{2}}\mathrm {j} +{\tfrac {1}{2}}\mathrm {k} } ε 3 {\displaystyle \varepsilon _{3}} − ε 8 {\displaystyle -\varepsilon _{8}} ε 5 {\displaystyle \varepsilon _{5}} − ε 2 {\displaystyle -\varepsilon _{2}} k {\displaystyle \mathrm {k} } ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} − ε 6 {\displaystyle -\varepsilon _{6}} i {\displaystyle \mathrm {i} } ε 7 {\displaystyle \varepsilon _{7}} 1 {\displaystyle 1} − j {\displaystyle \mathrm {-j} } ε 4 {\displaystyle \varepsilon _{4}} ε 4 := 1 2 + 1 2 i − 1 2 j − 1 2 k {\displaystyle \varepsilon _{4}:={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} -{\tfrac {1}{2}}\mathrm {j} -{\tfrac {1}{2}}\mathrm {k} } ε 4 {\displaystyle \varepsilon _{4}} − ε 6 {\displaystyle -\varepsilon _{6}} ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} ε 7 {\displaystyle \varepsilon _{7}} ε 3 {\displaystyle \varepsilon _{3}} i {\displaystyle \mathrm {i} } − j {\displaystyle \mathrm {-j} } − ε 5 {\displaystyle -\varepsilon _{5}} 1 {\displaystyle 1} ε 2 {\displaystyle \varepsilon _{2}} ε 8 {\displaystyle \varepsilon _{8}} − k {\displaystyle \mathrm {-k} } ε 5 := 1 2 − 1 2 i + 1 2 j + 1 2 k {\displaystyle \varepsilon _{5}:={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} +{\tfrac {1}{2}}\mathrm {j} +{\tfrac {1}{2}}\mathrm {k} } ε 5 {\displaystyle \varepsilon _{5}} ε 2 {\displaystyle \varepsilon _{2}} − ε 3 {\displaystyle -\varepsilon _{3}} − ε 8 {\displaystyle -\varepsilon _{8}} j {\displaystyle \mathrm {j} } ε 6 {\displaystyle \varepsilon _{6}} ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} 1 {\displaystyle 1} − ε 4 {\displaystyle -\varepsilon _{4}} − i {\displaystyle \mathrm {-i} } k {\displaystyle \mathrm {k} } ε 7 {\displaystyle \varepsilon _{7}} ε 6 := 1 2 − 1 2 i + 1 2 j − 1 2 k {\displaystyle \varepsilon _{6}:={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} +{\tfrac {1}{2}}\mathrm {j} -{\tfrac {1}{2}}\mathrm {k} } ε 6 {\displaystyle \varepsilon _{6}} ε 4 {\displaystyle \varepsilon _{4}} − ε 7 {\displaystyle -\varepsilon _{7}} ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} ε 2 {\displaystyle \varepsilon _{2}} − k {\displaystyle \mathrm {-k} } 1 {\displaystyle 1} ε 8 {\displaystyle \varepsilon _{8}} j {\displaystyle \mathrm {j} } − ε 3 {\displaystyle -\varepsilon _{3}} ε 5 {\displaystyle \varepsilon _{5}} − i {\displaystyle \mathrm {-i} } ε 7 := 1 2 − 1 2 i − 1 2 j + 1 2 k {\displaystyle \varepsilon _{7}:={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} -{\tfrac {1}{2}}\mathrm {j} +{\tfrac {1}{2}}\mathrm {k} } ε 7 {\displaystyle \varepsilon _{7}} ε 1 {\displaystyle \varepsilon _{1}} ε 6 {\displaystyle \varepsilon _{6}} − ε 4 {\displaystyle -\varepsilon _{4}} ε 5 {\displaystyle \varepsilon _{5}} 1 {\displaystyle 1} k {\displaystyle \mathrm {k} } ε 3 {\displaystyle \varepsilon _{3}} − i {\displaystyle \mathrm {-i} } ε 8 {\displaystyle \varepsilon _{8}} − ε 2 {\displaystyle -\varepsilon _{2}} − j {\displaystyle \mathrm {-j} } ε 8 := 1 2 − 1 2 i − 1 2 j − 1 2 k {\displaystyle \varepsilon _{8}:={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\mathrm {i} -{\tfrac {1}{2}}\mathrm {j} -{\tfrac {1}{2}}\mathrm {k} } ε 8 {\displaystyle \varepsilon _{8}} ε 3 {\displaystyle \varepsilon _{3}} ε 2 {\displaystyle \varepsilon _{2}} ε 5 {\displaystyle \varepsilon _{5}} 1 {\displaystyle 1} ε 4 {\displaystyle \varepsilon _{4}} ε 7 {\displaystyle \varepsilon _{7}} − j {\displaystyle \mathrm {-j} } ε 6 {\displaystyle \varepsilon _{6}} − k {\displaystyle \mathrm {-k} } − i {\displaystyle \mathrm {-i} } − ε 1 {\displaystyle -\varepsilon _{1}}
Die Einheitengruppe in H {\displaystyle H} , auch Gruppe der Hurwitzeinheiten genannt, ist die nicht-abelsche Gruppe
Q 24 := { ξ ∈ H ∣ ‖ ξ ‖ = 1 } {\displaystyle Q_{24}:=\left\{\xi \in H\mid \|\xi \|=1\right\}} der Ordnung 24, die aus den 8 Elementen der Gruppe Q 8 und den 16 Quaternionen 1 2 ( ± 1 ± i ± j ± k ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\pm 1\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} )} besteht, bei denen die Vorzeichen in jeder Kombination zu nehmen sind: den Hurwitzeinheiten im engeren Sinn. Q 24 {\displaystyle Q_{24}} ist isomorph zur binären Tetraedergruppe 2T , einer zentralen Gruppenerweiterung der Tetraedergruppe T = A 4 von der Ordnung 12 mit einer zyklischen Gruppe der Ordnung 2. Ihr Zentrum ist ebenfalls Z = { ± 1 } {\displaystyle Z=\left\{\pm 1\right\}} und die Faktorgruppe Q 24 / Z {\displaystyle Q_{24}/Z} ist isomorph zu A 4 .
Q 8 ist Normalteiler vom Index 3 von Q 24 {\displaystyle Q_{24}} , und Q 3 := { 1 , ε 2 , ε 4 } {\displaystyle Q_{3}:=\{1,\varepsilon ^{2},\varepsilon ^{4}\}} ist Untergruppe von Q 24 {\displaystyle Q_{24}} mit Q 3 ≅ Q 24 / Q 8 {\displaystyle Q_{3}\cong Q_{24}/{\mathsf {Q}}_{8}} und Q 3 ∩ Q 8 = { 1 } {\displaystyle Q_{3}\cap {\mathsf {Q}}_{8}=\{1\}} ; also ist Q 24 {\displaystyle Q_{24}} das semidirekte Produkt Q 8 ⋊ Q 3 {\displaystyle {\mathsf {Q}}_{8}\rtimes Q_{3}} .[ Anm 2]
Erzeugende von Q 24 {\displaystyle Q_{24}} sind z. B.
ε = 1 2 ( 1 + i + j + k ) {\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}(1+\mathrm {i} +\mathrm {j} +\mathrm {k} )} und ζ := 1 2 ( 1 + i + j − k ) {\displaystyle \zeta :={\tfrac {1}{2}}(1+\mathrm {i} +\mathrm {j} -\mathrm {k} )} mit den Gleichungen
ε 3 = ζ 3 = ( ε ⋅ ζ ) 2 {\displaystyle \varepsilon ^{3}=\zeta ^{3}=(\varepsilon \cdot \zeta )^{2}} , wobei ε ⋅ ζ = j {\displaystyle \varepsilon \cdot \zeta =\mathrm {j} } .
3D-Projektion des regulären 16-Zellers Die Elemente der Gruppe Q 8 haben alle die Norm 1 und bilden die Ecken des Kreuzpolytops der vierten Dimension, des regulären sogenannten 16-Zellers , auch Hexadekachōr(on) (das , englisch hexadecachoron , von griechisch ἑξαδεκάχωρον aus hexa ‚sechs‘ und deka ‚zehn‘ und chōros ‚Raum‘) genannt. Er ist eingeschrieben in die Einheits-3-Sphäre , die selbst wieder eine Gruppe ist, nämlich die Lie-Gruppe SU (2) . Sein Rand besteht aus 16 Tetraedern mit den Eckenmengen { ± 1 , ± i , ± j , ± k } {\displaystyle \{\pm 1,\pm \mathrm {i} ,\pm \mathrm {j} ,\pm \mathrm {k} \}} , wobei jede der 16 Vorzeichenkombinationen für ein Tetraeder steht. Die Mittelpunkte dieser Tetraeder sind gerade die Hälften der Hurwitzeinheiten im engeren Sinn.
Der 16-Zeller ist zum 8-Zeller dual , gehört zu den 6 regulären konvexen 4-Polytopen (Polychora im R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} ), hat Schläfli-Symbol {3,3,4} und ist berandet von 16 (regulären) Tetraeder -Zellen, 32 (regulären) Dreiecksflächen, 24 Kanten und 8 Ecken. Sein 4-Volumen ist 2 3 {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}} bei einer Kantenlänge von 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} und einem Umkreisradius von 1.
3D-Projektion des regulären 8-Zellers Die restlichen 16 Elemente ∈ Q 24 ∖ Q 8 {\displaystyle \in Q_{24}\!\setminus \!{\mathsf {Q}}_{8}} , d. s. die Hurwitzeinheiten im engeren Sinn, haben ebenfalls die Norm 1 und bilden die Ecken des Hyperwürfels (Maßpolytops) der vierten Dimension, des regulären sogenannten 8-Zellers , auch Tesserakt genannt. Er ist berandet durch 8 Würfel , einer davon hat bspw. die 8 Ecken 1 2 ( 1 ± i ± j ± k ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} )} und 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} als Mittelpunkt. Die Mittelpunkte der Würfel sind ∈ 1 2 Q 8 {\displaystyle \in {\tfrac {1}{2}}{\mathsf {Q}}_{8}} .
Der 8-Zeller ist zum 16-Zeller dual , gehört zu den 6 regulären konvexen 4-Polytopen, hat Schläfli-Symbol {4,3,3} und ist berandet von 8 Zellen (den Würfeln), 24 Quadraten, 32 Kanten und 16 Ecken. Sein 4-Volumen ist 1 bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von 1.
3D-Projektion des regulären 24-Zellers Schlegeldiagramm des regulären 24-Zellers (Ecken und Kanten) Die Elemente der Gruppe Q 24 {\displaystyle Q_{24}} haben alle die Norm 1 und bilden die Ecken des sogenannten 24-Zellers , auch Ikositetrachōr(on) (das , englisch icositetrachoron , von griechisch εἰκοσιτετράχωρον aus eikosi ‚zwanzig‘ und tetra , Präfixform von τέτταρα, ‚vier‘ und chōros ‚Raum‘), eingeschrieben in die Einheits-3-Sphäre. Die 6 Quaternionen 1 , i , 1 2 ( 1 + i ± j ± k ) {\displaystyle 1,\mathrm {i} ,{\tfrac {1}{2}}(1+\mathrm {i} \pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} )} markieren die Ecken eines regulären Oktaeders mit dem Mittelpunkt 1 2 ( 1 + i ) {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1+\mathrm {i} )} auf dem Rand dieses 24-Zellers, welches bei (linker wie rechter) Multiplikation mit einem Element ∈ Q 24 ∖ { 1 } {\displaystyle \in Q_{24}\!\setminus \!\{1\}} in ein anderes Oktaeder (auf dem Rand) übergeht. Somit besteht der Rand des 24-Zellers aus 24 (regulären) Oktaeder-Zellen, von denen sich 6 an jeder Ecke und 3 an jeder Kante treffen. Der 24-Zeller gehört zu den 6 regulären konvexen 4-Polytopen, hat 24 Zellen (die Oktaeder), 96 Dreiecksflächen, 96 Kanten und 24 Ecken. Das 4-Volumen ist 2 bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von 1.
Der 24-Zeller hat Schläfli-Symbol {3,4,3}, ist das einzige selbst-duale reguläre euklidische Polytop, das nicht Simplex oder Polygon ist, und hat insoweit keine Entsprechung in anderen Dimensionen.[ Anm 3]
Zu jedem der 3 oben genannten regulären 4-Polytope gibt es eine reguläre und lückenlose Parkettierung – und diese sind die einzigen – des 4-dimensionalen euklidischen Raums .
Eine Parkettierung des R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} mit dem Tesserakt lässt sich so einrichten, dass die Mittelpunkte der Tesserakte, der Maschen , genau auf die Lipschitzquaternionen ∈ L {\displaystyle \in L} fallen. Das gelingt mit dem oben erwähnten Tesserakt, genauer: dem 4-dimensionalen und für die Disjunktheit der Maschen rechtsoffenen Intervall [ − 1 2 , 1 2 [ 4 {\displaystyle {[{-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}}[}^{4}} als der Grundmasche .
Diese Parkettierung mit dem 8-Zeller sei als die Lipschitz-Parkettierung bezeichnet. Sie hat Schläfli-Symbol {4,3,3,4} und ist zu sich selbst dual , d. h., die Mittelpunkte der einen Parkettierung sind die Ecken der dualen und umgekehrt. Das 4-Volumen der Maschen ist 1 bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von 1.[ Anm 4]
Eine Parkettierung des R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} mit dem 24-Zeller lässt sich so einrichten, dass die Mittelpunkte der 24-Zeller genau auf die Hurwitzquaternionen ∈ H {\displaystyle \in H} fallen. Die Grundmasche ist der 24-Zeller mit dem Mittelpunkt 0 {\displaystyle 0} und den 24 Ecken der Art 1 2 ( ± 1 ± i ) , … {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(\pm 1\pm \mathrm {i} ),\dots \,} .[ Anm 5]
Diese Parkettierung mit dem 24-Zeller sei als die Hurwitz-Parkettierung bezeichnet. Ihr Schläfli-Symbol ist {3,4,3,3}. Das 4-Volumen der Maschen ist 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} bei einer Kantenlänge und einem Umkreisradius von 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}} .[ Anm 6]
Es gibt eine Parkettierung mit dem 16-Zeller, die dual ist zur Parkettierung mit dem 24-Zeller, – Schläfli-Symbol also {3,3,4,3}. Das 4-Volumen ihrer Maschen ist 1 6 {\displaystyle {\tfrac {1}{6}}} bei einer Kantenlänge von 1 und einem Umkreisradius von 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}} .[ Anm 7]
Im Zusammenhang mit diesen letzteren 2 Parkettierungen steht eine maximale (bewiesen für Gitter-Packungen, nicht aber für Nicht-Gitter-Packungen[ 4] ) Packungsdichte von 4-Kugeln (3-Sphären) von π 2 16 ≈ 0,616 8503 {\displaystyle {\tfrac {\pi ^{2}}{16}}\approx 0{,}6168503} auf dem Hurwitz-Gitter F 4 im R 4 {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} . Diese Sphärenpackung kommt auf eine Kusszahl von 24 (als obere Grenze – auch unter Nicht-Gitter-Packungen – bewiesen[ 5] ).[ Anm 8]
Für die Division mit Rest weiter unten benötigen wir die Gitterweite | G | m {\displaystyle |G|_{\operatorname {m} }} eines Gitters G {\displaystyle G} und definieren sie als die größte vorkommende Entfernung
| G | m := max { | γ G ( ξ ) − ξ | ∣ ξ ∈ H } {\displaystyle |G|_{\operatorname {m} }:=\operatorname {max} \,\left\{|\gamma _{G}(\xi )-\xi |\;\mid \xi \in \mathbb {H} \right\}} eines Punktes ξ ∈ H {\displaystyle \xi \in \mathbb {H} } zu einem Gitterpunkt γ G ( ξ ) ∈ G {\displaystyle \gamma _{G}(\xi )\in G} , der ihm am nächsten liegt, d. h.
| γ G ( ξ ) − ξ | = min { | γ − ξ | ∣ γ ∈ G } {\displaystyle |\gamma _{G}(\xi )-\xi |=\operatorname {min} \,\{|\gamma -\xi |\;\mid \gamma \in G\}} .[ Anm 9] Das Gitter L {\displaystyle L} hat den Maschenradius | L | m = 1 {\displaystyle |L|_{\operatorname {m} }=1} .[ Anm 10]
Pseudocode für die Approximation einer Quaternion ξ {\displaystyle \xi } durch eine Lipschitz-Ganzzahl γ L ( ξ ) {\displaystyle \gamma _{L}(\xi )} :
RundungZuLipschitz ( ξ ) { {\displaystyle \operatorname {RundungZuLipschitz} (\xi )\;\{} beliebige Quaternion ξ ∈ H {\displaystyle \xi \in \mathbb {H} } f o r i = 0 t o 3 { {\displaystyle \mathrm {for} \;i=0\;\mathrm {to} \;3\;\{} alle 4 Komponenten x 0 + x 1 i + x 2 j + x 3 k := ξ {\displaystyle x_{0}+x_{1}\,\mathrm {i} +x_{2}\,\mathrm {j} +x_{3}\,\mathrm {k} :=\xi } g i = ⌊ x i + 1 2 ⌋ } {\displaystyle g_{i}=\lfloor x_{i}+{\tfrac {1}{2}}\rfloor \;\}} Rundung zur nächsten Ganzzahl g i ∈ Z {\displaystyle g_{i}\in \mathbb {Z} } per + 1 2 {\displaystyle +{\tfrac {1}{2}}} und Gaußklammer r e t u r n γ } {\displaystyle \mathrm {return} \;\gamma \;\}} γ := g 0 + g 1 i + g 2 j + g 3 k ∈ L {\displaystyle \gamma :=g_{0}+g_{1}\,\mathrm {i} +g_{2}\,\mathrm {j} +g_{3}\,\mathrm {k} \in L}
Damit ist ξ {\displaystyle \xi } in der Masche mit Mittelpunkt γ {\displaystyle \gamma } , genauer: ξ ∈ [ γ − ε , γ + ε [ {\displaystyle \xi \in {[{\gamma -\varepsilon ,\gamma +\varepsilon }[}} (rechtsoffenes 4-dimensionales Intervall ).[ Anm 11]
Das Gitter H {\displaystyle H} hat den Maschenradius | H | m = 1 2 {\displaystyle |H|_{\operatorname {m} }={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}} .[ Anm 12]
Pseudocode für die Approximation einer Quaternion ξ {\displaystyle \xi } durch eine Hurwitz-Ganzzahl γ H ( ξ ) {\displaystyle \gamma _{H}(\xi )} :
RundungZuHurwitz ( ξ ) { {\displaystyle \operatorname {RundungZuHurwitz} (\xi )\{\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;} beliebige Quaternion ξ ∈ H {\displaystyle \xi \in \mathbb {H} } γ = RundungZuLipschitz ( ξ ) {\displaystyle \gamma =\operatorname {RundungZuLipschitz} (\xi )} Lipschitz-Ganzzahl γ {\displaystyle \gamma } α = γ − ξ {\displaystyle \alpha =\gamma -\xi \qquad } Abweichung der Lipschitz-Näherung i f ‖ α ‖ ≤ 1 2 t h e n r e t u r n γ {\displaystyle \mathrm {if} \;\|\alpha \|\leq {\tfrac {1}{2}}\;\mathrm {then\;return} \;\gamma } fertig f o r i = 0 t o 3 { {\displaystyle \mathrm {for} \;i=0\;\mathrm {to} \;3\;\{} alle 4 Komponenten a 0 + a 1 i + a 2 j + a 3 k := α {\displaystyle a_{0}+a_{1}\,\mathrm {i} +a_{2}\,\mathrm {j} +a_{3}\,\mathrm {k} :=\alpha } e i = 1 2 s i g n ( a i ) } {\displaystyle e_{i}={\tfrac {1}{2}}sign(a_{i})\;\}} s i g n ( a i ) = ± 1 {\displaystyle sign(a_{i})=\pm 1} ist das Vorzeichen von a i {\displaystyle a_{i}} , wobei im Fall a i = 0 {\displaystyle a_{i}=0} beides e i = 1 2 {\displaystyle e_{i}={\tfrac {1}{2}}} wie auch e i = − 1 2 {\displaystyle e_{i}=-{\tfrac {1}{2}}} zulässig ist γ = γ − ε {\displaystyle \gamma =\gamma -\varepsilon } ε := e 0 + e 1 i + e 2 j + e 3 k {\displaystyle \varepsilon :=e_{0}+e_{1}\mathrm {i} +e_{2}\mathrm {j} +e_{3}\mathrm {k} } ist eine halbzahlige Einheit r e t u r n γ } {\displaystyle \mathrm {return} \;\gamma \;\}} γ ∈ H {\displaystyle \gamma \in H}
Die normmäßige Abweichung des Ergebnisses ist ‖ γ − ξ ‖ = | γ − ξ | 2 ≤ | H | m 2 = 1 2 {\displaystyle \|\gamma -\xi \|=|\gamma -\xi |^{2}\leq |H|_{\operatorname {m} }^{2}={\tfrac {1}{2}}} .[ Anm 13] [ Anm 14]
[ Anm 15]
Der folgende Pseudocode ermittelt zu einer linken Division mit „kleinem“ Rest den Rest:
DivisionsRest L ( α , β ) { {\displaystyle \operatorname {DivisionsRest} _{L}(\alpha ,\beta )\;\{} Dividend α ∈ H {\displaystyle \alpha \in H} , Divisor β ∈ H ∖ { 0 } {\displaystyle \beta \in H\!\setminus \!\{0\}} μ = β − 1 ⋅ α {\displaystyle \mu =\beta ^{-1}\cdot \alpha } Division links ergibt rechten Quotienten. ν = α − β ⋅ RundungZuHurwitz ( μ ) {\displaystyle \nu =\alpha -\beta \cdot \operatorname {RundungZuHurwitz} (\mu )} Rest der linken Division r e t u r n ν } {\displaystyle \mathrm {return} \;\nu \;\}} betragsmäßig minimal
Das Suffix L {\displaystyle {}_{L}} kennzeichnet das Ergebnis als einer linken Division entstammend. Damit ist es in einer nachfolgenden komplementären Multiplikation zur Verwendung als linker Faktor (Teiler) geeignet.
Diese Division mit Rest macht den Ring H {\displaystyle H} der Hurwitzquaternionen zu einem rechts-euklidischen Ring, d. h., zu 2 Zahlen α {\displaystyle \alpha } und β ∈ H ∖ { 0 } {\displaystyle \beta \in H\!\setminus \!\{0\}} gibt es μ R {\displaystyle \mu _{R}} und ν R ∈ H {\displaystyle \nu _{R}\in H} mit
α = β ⋅ μ R + ν R {\displaystyle \alpha =\beta \cdot \mu _{R}+\nu _{R}} und ‖ ν R ‖ < ‖ β ‖ {\displaystyle \|\nu _{R}\|<\|\beta \|} .[ Anm 16] Wie in kommutativen euklidischen Ringen ist jedes Ideal in H {\displaystyle H} ein Hauptideal – nur muss zusätzlich die Seitigkeit (hier zunächst: rechts) des Ideals angegeben werden.[ Anm 17]
Der folgende Pseudocode zeigt einen euklidischen Algorithmus zum Auffinden eines linken größten gemeinsamen Teilers (ggT) zweier Hurwitzquaternionen in H {\displaystyle H} .
ggT L ( α , β ) { {\displaystyle \operatorname {ggT} _{L}(\alpha ,\beta )\;\{} Hurwitzquaternionen α , β {\displaystyle \alpha ,\beta } w h i l e β ≠ 0 { {\displaystyle \mathrm {while} \;\beta \neq 0\;\{} δ = β {\displaystyle \delta =\beta } β = DivisionsRest L ( α , δ ) {\displaystyle \beta =\operatorname {DivisionsRest} _{L}(\alpha ,\delta )} der Rest aus der Division δ − 1 ⋅ α {\displaystyle \delta ^{-1}\cdot \alpha } α = δ } {\displaystyle \alpha =\delta \,\}} r e t u r n α } {\displaystyle \mathrm {return} \;\alpha \;\}}
Das Ergebnis ist ein linker Teiler δ ∈ H {\displaystyle \delta \in H} von α {\displaystyle \alpha } und β {\displaystyle \beta } , d. h., es gibt μ , ν ∈ H {\displaystyle \mu ,\nu \in H} mit α = δ ⋅ μ {\displaystyle \alpha =\delta \cdot \mu } und β = δ ⋅ ν {\displaystyle \beta =\delta \cdot \nu } . Er ist bis auf rechtsseitige Multiplikation mit einer Hurwitz-Einheit ξ ∈ Q 24 {\displaystyle \xi \in Q_{24}} eindeutig bestimmt, bspw. δ ′ := δ ⋅ ξ {\displaystyle \delta ':=\delta \cdot \xi } und μ ′ := ξ − 1 ⋅ μ {\displaystyle \mu ':=\xi ^{-1}\cdot \mu } . Man kann also stets eine Lipschitz quaternion als Ergebnis des Algorithmus auswählen. Außerdem ist δ {\displaystyle \delta } auch größter Teiler, d. h., es gibt kein betragsmäßig größeres δ ′ ∈ H {\displaystyle \delta '\in H} mit ‖ δ ′ ‖ > ‖ δ ‖ {\displaystyle \|\delta '\|>\|\delta \|} , das linker Teiler von α {\displaystyle \alpha } und β {\displaystyle \beta } ist. Das bedeutet auch, dass der linke ggT der beiden obigen rechtsseitigen Faktoren von δ {\displaystyle \delta } eine Einheit ist: ggT L ( μ , ν ) = 1 {\displaystyle \operatorname {ggT} _{L}(\mu ,\nu )=1} .
Generell kann man die beiden Faktoren bei jeder Quaternionenmultiplikation ⋅ {\displaystyle \cdot } und gleichzeitig überall die Begriffe „rechts“ und „links“ vertauschen, was zu den Funktionen DivisionsRest R ( α , β ) {\displaystyle \operatorname {DivisionsRest} _{R}(\alpha ,\beta )} und ggT R ( α , β ) {\displaystyle \operatorname {ggT} _{R}(\alpha ,\beta )} führt.
Der Ring H {\displaystyle H} ist also auch links-euklidisch, d. h., zu 2 Zahlen α {\displaystyle \alpha } und β ∈ H ∖ { 0 } {\displaystyle \beta \in H\!\setminus \!\{0\}} gibt es μ L {\displaystyle \mu _{L}} und ν L ∈ H {\displaystyle \nu _{L}\in H} mit
α = μ L ⋅ β + ν L {\displaystyle \alpha =\mu _{L}\cdot \beta +\nu _{L}} und ‖ ν L ‖ < ‖ β ‖ {\displaystyle \|\nu _{L}\|<\|\beta \|} . Und jedes Linksideal in H {\displaystyle H} ist ein Links-Hauptideal.
Fazit H {\displaystyle H} ist zweiseitig euklidisch – oder euklidisch schlechthin. Einige einfache Rechenregeln für den ggT für beliebige α , β ∈ H {\displaystyle \alpha ,\beta \in H} , wobei das Suffix X ∈ { L , R } {\displaystyle {}_{X}\in \{{}_{L},{}_{R}\}} für eine der Seitigkeiten des ggT steht:
ggT X ( α , 0 ) = α {\displaystyle \operatorname {ggT} _{X}(\alpha ,0)=\alpha } und ggT X ( α , 1 ) = 1 {\displaystyle \operatorname {ggT} _{X}(\alpha ,1)=1} ggT X ( α , β ) = ggT X ( β , α ) {\displaystyle \operatorname {ggT} _{X}(\alpha ,\beta )=\operatorname {ggT} _{X}(\beta ,\alpha )} ggT L ( ξ ⋅ α , ξ ⋅ β ) = ξ ⋅ ggT L ( α , β ) {\displaystyle \operatorname {ggT} _{L}(\xi \cdot \alpha ,\xi \cdot \beta )=\xi \cdot \operatorname {ggT} _{L}(\alpha ,\beta )} und analog ggT R ( α ⋅ ξ , β ⋅ ξ ) = ggT R ( α , β ) ⋅ ξ {\displaystyle \operatorname {ggT} _{R}(\alpha \cdot \xi ,\beta \cdot \xi )=\operatorname {ggT} _{R}(\alpha ,\beta )\cdot \xi } ggT R ( α ¯ , β ¯ ) = ggT L ( α , β ) ¯ {\displaystyle \operatorname {ggT} _{R}({\bar {\alpha }},{\bar {\beta }})={\overline {\operatorname {ggT} _{L}(\alpha ,\beta )}}} Und es gilt auch das beidseitige Lemma von Bézout , d. h., es gibt
ξ R , η R ∈ H {\displaystyle \xi _{R},\eta _{R}\in H} mit