Kähler-Mannigfaltigkeit – Wikipedia

In der Mathematik bezeichnet man mit Kähler-Mannigfaltigkeit (nach Erich Kähler) eine glatte Mannigfaltigkeit zusammen mit einer komplexen Struktur und einer riemannschen Metrik (im Sinne einer riemannschen Mannigfaltigkeit), die miteinander verträglich sind.

Der Begriff der Kähler-Mannigfaltigkeit findet Anwendung in der Darstellungstheorie von Lie-Gruppen und ist ein zentraler Begriff der geometrischen Quantisierung. Ein auch in der Stringtheorie wichtiges Beispiel für Kähler-Mannigfaltigkeiten sind Calabi-Yau-Mannigfaltigkeiten.

Symplektische Sichtweise

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Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine symplektische Mannigfaltigkeit ausgestattet mit einer integrierbaren fast komplexen Struktur , welche mit der symplektischen Form kompatibel ist, was bedeutet, dass die bilineare Form

auf dem Tangentialraum von an jedem Punkt symmetrisch und positiv definit ist.

Komplexe Sichtweise

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Eine Kähler-Mannigfaltigkeit ist eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einer hermitischen Metrik , dessen zugehörige 2-Form geschlossen ist. Genauer gesagt, gibt eine positive bestimmte hermitische Form auf dem Tangentialraum an jedem Punkt von und die 2-Form ist definiert durch

für Tangentialvektoren und . Eine Kähler-Mannigfaltigkeit kann auch als Riemannsche Mannigfaltigkeit mit der Riemannschen Metrik angesehen werden definiert durch

Riemannsche Sichtweise

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Sei eine glatte Mannigfaltigkeit, eine komplexe Struktur, das heißt eine glatte Abbildung mit und eine riemannsche Metrik, wobei den Raum der glatten Vektorfelder auf bezeichnet. Das Tripel heißt Kähler-Mannigfaltigkeit, wenn

für alle Vektorfelder gilt und

  • eine symplektische Form

ist. Die 2-Form heißt dann die Kähler-Form von und die Kähler-Metrik.

Falls der Ricci-Tensor proportional zur riemannschen Metrik ist, so spricht man auch von einer Kähler-Einstein- (oder Einstein-Kähler)-Mannigfaltigkeit. Für weitere Details vgl. den Artikel einsteinsche Mannigfaltigkeit.

Hodge-Theorie für Kähler-Mannigfaltigkeiten

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Auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit der Dimension , ist der Verallgemeinerte Laplace-Operator auf glatten -Formen als definiert, wobei die äußere Ableitung und ist und den Hodge-Stern-Operator bezeichnet. Für eine hermitesche Mannigfaltigkeit werden und zerlegt als

und es werden zwei weitere Laplace-Operatoren definiert:

Wenn Kähler-Struktur besitzt, dann sind diese verallgemeinerten Laplace-Operatoren bis auf eine Konstante identisch:

Daraus folgt, dass auf einer Kähler-Mannigfaltigkeit die Gleichheit

gilt, wobei der Raum harmonischer -Formen auf (Formen mit ) und der Raum harmonischer -Formen ist. Das heißt also, dass eine Differentialform harmonisch ist, wenn alle ihre -Komponenten harmonisch sind.

Für eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit , gibt die Hodge-Theorie eine Interpretation der obigen Zerlegung, welche nicht von der Wahl der Kähler-Metrik abhängt. Nämlich teilt sich die Kohomologie von mit komplexen Koeffizienten als direkte Summe von gewissen kohärenten Garbenkohomologiegruppen:

.

Die Gruppe auf der linken Seite ist nur von als topologischer Raum abhängig, während die Gruppen auf der rechten Seiten von als eine komplexe Mannigfaltigkeit abhängen. Also verbindet der Hodge-Zerlegungs-Satz Topologie und komplexe Geometrie für kompakte Kähler-Mannigfaltigkeiten.

  1. Der komplexe Raum .
  2. Ein kompakt komplexer Torus .
  3. Jede Riemannsche Metrik auf einer orientierten 2-Mannigfaltigkeit.
  4. Der komplexe projektive Raum und projektive Varietäten .
  5. Die induzierte Metrik auf einer komplexen Untermannigfaltigkeit einer Kähler-Mannigfaltigkeit ist Kähler. Jede Steinsche Mannigfaltigkeit oder glatte projektive algebraische Varietät ist Kähler.
  6. Hermetisch symmetrische Räume.
  7. Jede K-3 Oberfläche ist Kähler.
  8. Bahnen der koadjungierten Darstellung halb-einfacher Lie-Gruppen.
  • Alan Huckleberry, Tilman Wurzbacher (Hrsg.): Infinite Dimensional Kähler Manifolds (= DMV-Seminar. Bd. 31). Birkhäuser Verlag, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6602-8.
  • Andrei Moroianu: Lectures on Kähler Geometry (= London Mathematical Society Student Texts. Bd. 69). Cambridge University Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-68897-0.