Kan-Erweiterung – Wikipedia
In der mathematischen Kategorientheorie bezeichnet man Funktoren, die die universelle Approximation an die Lösung der Gleichung sind, als Kan-Erweiterungen. Die Konstruktion ist nach Daniel M. Kan benannt, der solche Erweiterungen 1960 als Limites und Kolimites konstruierte.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es gibt zwei duale Definitionen: Die eine Erweiterung wird linksseitig genannt, weil sie über eine universelle Eigenschaft definiert wird, in der die Kan-Erweiterung als Quelle auftritt, während die andere Erweiterung rechtsseitig genannt wird, weil sie Ziel einer universellen Transformation ist.
Linksseitige Kan-Erweiterung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Seien , und Kategorien, und Funktoren und und natürliche Transformationen.
Die linksseitige Kan-Erweiterung eines Funktors entlang eines Funktors ist ein Paar , das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:
Für jedes und jedes gibt es genau ein mit , wobei .
Rechtsseitige Kan-Erweiterung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Seien , und Kategorien, und Funktoren und und natürliche Transformationen.
Die rechtsseitige Kan-Erweiterung eines Funktors entlang eines Funktors ist ein Paar , das die folgende universelle Eigenschaft erfüllt:
Für jedes und jedes gibt es genau ein mit , wobei .
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. 5). 2nd edition. Springer, New York u. a. 1998, ISBN 0-387-98403-8.