Kleeblattschlinge – Wikipedia

Kleeblattschlinge

Die Kleeblattschlinge oder der Kleeblattknoten ist einer der einfachsten Knoten und spielt eine zentrale Rolle in der Knotentheorie. Der Knoten hat seinen Namen wegen seiner Ähnlichkeit zu Kleeblättern.

Parametrisierung und Invarianten

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Eine einfache Parameterdarstellung der Kleeblattschlinge ist:

Die so definierte Kurve liegt überschneidungsfrei auf dem Torus, der in Zylinderkoordinaten durch definiert ist. Damit ist die Kleeblattschlinge das einfachste Beispiel eines Torusknotens.[1]

Das Alexander-Polynom der Kleeblattschlinge ist

und ihr Jones-Polynom ist

oder

je nachdem, ob sie rechts- oder linkshändig ist.

Die Knotengruppe hat die Präsentierung

und ist damit isomorph zur Zopfgruppe .

Das Knotenkomplement der Kleeblattschlinge ist diffeomorph zu , also dem Quotienten von SL(2,R) nach der Modulgruppe .

Die Kleeblattschlinge ist chiral, d. h., sie ist nicht in ihr Spiegelbild deformierbar. Deshalb existieren zwei nicht ineinander überführbare Formen von Kleeblattschlingen. Diese werden auch rechtshändige und linkshändige Kleeblattschlinge genannt.[2]

Als einfacher Knoten kommt die Kleeblattschlinge häufig in der bildenden Kunst und der Ikonographie vor. So sind zum Beispiel die Triquetra und die zusammenhängende Form der Valknut Kleeblattschlingen.

Commons: Trefoil knots – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

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  1. uni-math.gwdg.de (PDF; 2,2 MB) Knotentheorie. Abgerufen am 3. Mai 2012.
  2. cut-the-knot.org über Achtknoten. Abgerufen am 3. Mai 2012.