Komplex-hyperbolischer Raum – Wikipedia
Der komplex-hyperbolische Raum ist in der Mathematik ein Beispiel für einen negativ gekrümmten symmetrischen Raum, dessen Krümmung – anders als beim hyperbolischen Raum – nicht konstant ist.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Sei der Vektorraum mit der Hermiteschen Form
für .
Der n-dimensionale komplex-hyperbolische Raum ist
mit der von der Hermiteschen Form induzierten riemannschen Metrik.
Geometrie
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]ist isometrisch zum homogenen Raum
- .
Es ist ein symmetrischer Raum vom Rang 1.
Für die Schnittkrümmung von Ebenen im gilt die Ungleichung . Ebenen in haben Schnittkrümmung , während die Ebene die Schnittkrümmung hat.
Der Rand im Unendlichen ist homöomorph zur . Horosphären sind isometrisch zur Heisenberggruppe.
Isometrien
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Isometrie von heißt elliptisch, wenn sie einen Fixpunkt in hat, parabolisch, wenn sie einen eindeutigen Fixpunkt in hat, und loxodromisch, wenn sie zwei Fixpunkte in hat.
Loxodromische Isometrien werden durch Matrizen mit jeweils mindestens einem Eigenwert vom Betrag kleiner bzw. größer 1 repräsentiert. Eine loxodromische Isometrie heißt strikt hyperbolisch, wenn sie durch eine Matrix mit reellen Eigenwerten repräsentiert wird, schwach hyperbolisch sonst.
Parabolische Isometrien sind entweder unipotent, d. h. werden durch eine Matrix repräsentiert, deren Eigenwerte alle 1 sind, oder ellipto-parabolisch, in diesem Fall gibt es eine eindeutige komplexe Geodäte, auf der die Isometrie als parabolische Isometrie von wirkt.
Eine Isometrie ist genau dann elliptisch, wenn sie eine zyklische Gruppe mit kompaktem Abschluss erzeugt. Sie heißt regulär elliptisch, wenn alle Eigenwerte einer repräsentierenden Matrix verschieden sind.
Komplex-hyperbolische Mannigfaltigkeiten
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Riemannsche Mannigfaltigkeit heißt komplex-hyperbolisch, wenn ihre universelle Überlagerung isometrisch zum ist.
Ballquotienten
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]In der algebraischen Geometrie werden komplexe Mannigfaltigkeiten als Ballquotienten bezeichnet, wenn ihre universelle Überlagerung biholomorph zum ist.
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Goldman, William M.: Complex hyperbolic geometry. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1999. xx+316 pp. ISBN 0-19-853793-X
- David Epstein: Complex hyperbolic geometry. Analytical and geometric aspects of hyperbolic space (Coventry/Durham, 1984), 93–111, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 111, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1987.