Der Kretschmann-Skalar
(auch Kretschmann-Invariante oder Riemannsche Invariante; nach Erich Kretschmann, der ihn einführte) bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Er kann als Maß für die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie gedeutet werden.[1]
Der Kretschmann-Skalar
ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als
.
Hierbei bezeichnet
den Riemannschen Krümmungstensor und
.
Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor
, den Ricci-Tensor
sowie den Ricci-Skalar
wie folgt ausgedrückt werden:[2]
![{\displaystyle K=C_{\kappa \lambda \mu \nu }\,C^{\kappa \lambda \mu \nu }+2R_{\kappa \lambda }\,R^{\kappa \lambda }-{\frac {1}{3}}R^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f45ff7351fb3437451807ef4a4988def6403c777)
Für die Schwarzschild-Metrik[3]
![{\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=g_{\mu \nu }\mathrm {d} x^{\mu }\mathrm {d} x^{\nu }=\textstyle -\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}\right)c^{2}\mathrm {d} t^{2}+{\frac {1}{1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \vartheta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\vartheta \mathrm {d} \varphi ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7259422ebe9bc0727816d8a5cdee1bca6ec66071)
mit der Zeitkoordinate
, den Kugelkoordinaten
und dem Schwarzschild-Radius
ist der Kretschmann-Skalar[4] mit dem Schwarzschild-Radius
gegeben durch:[5]
![{\displaystyle K_{\text{Schwarzschild}}=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\textstyle {\frac {12{r_{s}}^{2}}{r^{6}}}={\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}r^{6}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7c518ddf149b3812e2a7ab6400b8b884b21e894)
Der Kretschmann-Skalar verhält sich am Schwarzschild-Radius
völlig harmlos. Die Divergenz von
bei
zeigt, dass hier eine echte physikalische Singularität lauert: Die Raumzeit ist hier unendlich gekrümmt[6].
Für die Kerr-Metrik eines rotierenden Schwarzen Lochs der Masse
und des Drehimpulses
lautet die Metrik mit dem Drehimpulsparameter
in Boyer-Lindquist Koordinaten[7] mit
![{\displaystyle {\text{d}}s^{2}=\textstyle -\left(1-{\frac {r_{\mathrm {s} }r}{\rho ^{2}}}\right)c^{2}{\text{d}}t^{2}-{\frac {2r_{\mathrm {s} }ra\sin ^{2}\vartheta }{\rho ^{2}}}c{\text{d}}t{\text{d}}\varphi +{\frac {A}{\rho ^{2}}}\sin ^{2}\vartheta {\text{d}}\varphi ^{2}+{\frac {\rho ^{2}}{\Delta }}{\text{d}}r^{2}+\rho ^{2}{\text{d}}\vartheta ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e01a2355a3e93d92ae191f88135e8dbd60c4d990)
mit den Größen
,
und
. Dabei ist
der fiktive Radius einer Referenzkugel mit dem kartesischen Polradius
. Dann ist der Kretschmann-Skalar[8][9]
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{\text{Kerr}}&=R_{\kappa \lambda \mu \nu }\,R^{\kappa \lambda \mu \nu }=\textstyle {\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{6}}}(r^{6}-15a^{2}r^{4}\cos ^{2}\vartheta +15a^{4}r^{2}\cos ^{4}\vartheta -a^{6}\cos ^{6}\vartheta )\\&=\textstyle {\frac {12r_{\mathrm {s} }^{2}}{(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{6}}}(r^{2}-a^{2}\cos ^{2}\vartheta )(r^{4}-14a^{2}r^{2}\cos ^{2}\vartheta +a^{4}\cos ^{4}\vartheta )\\&=\textstyle {\frac {48G^{2}M^{2}}{c^{4}(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{6}}}(r^{2}-a^{2}\cos ^{2}\vartheta )[(r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta )^{2}-16a^{2}r^{2}\cos ^{2}\vartheta ]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed5432b17a04f862ad86db746591630ce1ffb766)
Der Kretschmann-Skalar
geht für die verschwindende Rotation
über in
!
hat eine echte koordinatenunabhängige Singularität bei[10]
![{\displaystyle \rho ^{2}=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\vartheta =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/553afb50607598dc1ff2e9d9e46bddf0cc7425d0)
Bei dieser Singularität wird
. In den kartesischen Kerr-Schild Koordinaten[11]
und
gilt
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+{\text{i}}y)(x-{\text{i}}y)=(r-{\text{i}}a)(r+{\text{i}}a)\sin ^{2}\vartheta =(r^{2}+a^{2})(1-\cos ^{2}\vartheta )\quad \Rightarrow \quad x^{2}+y^{2}=a^{2}\quad {\text{und }}z=0\quad {\text{für }}r=0=\cos \vartheta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/469fbf4de2dfa450849d0d18007d9835bc14881b)
Diese Gleichung beschreibt einen Ring mit dem Radius
, der in der
-
-Ebene liegt. Die analytische Fortsetzung für
und
diskutieren Stephen Hawking und George Ellis[12].
Die Größe
ist eine Koordinatensingularität der Kerr-Metrik, die nicht im Kretschmann-Skalar
vorkommt[13].
- ↑ Richard C. Henry: Kretschmann Scalar for a Kerr-Newman Black Hole. In: The Astrophysical Journal. 535. Jahrgang. The American Astronomical Society, 2000, S. 350–353, doi:10.1086/308819, arxiv:astro-ph/9912320v1, bibcode:2000ApJ...535..350H (iop.org).
- ↑ Eintrag zum Kretschmann-Skalar im Lexikon der Astronomie des Spektrum Verlags
- ↑ Frolov, Valeri and Zelnikov, Andrei: Introduction to Black Hole Physics. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2011, ISBN 978-0-19-969229-3, S. 168.
- ↑ Sebastian Boblest, Thomas Müller, Günter Wunner: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Springer, Berlin 2016, S. 225.
- ↑ Frolov, Valeri and Zelnikov, Andrei: Introduction to Black Hole Physics. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2011, ISBN 978-0-19-969229-3, S. 169.
- ↑ Zee, A.: Einstein Gravity in a Nutshell. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2013, ISBN 978-0-691-14558-7, S. 365.
- ↑ Padmanabhan, T.: Gravitation - Foundations and Frontiers. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2010, ISBN 978-0-521-88223-1, S. 366.
- ↑ Richard C. Henry: Kretschmann Scalar for a Kerr-Newman Black Hole. In: The Astrophysical Journal. 535. Jahrgang. The American Astronomical Society, 2000, S. 350–353, doi:10.1086/308819, arxiv:astro-ph/9912320v1, bibcode:2000ApJ...535..350H (iop.org).
- ↑ Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. 2008, arxiv:0706.0622.
- ↑ McMahon, David: relativity DeMYSTiFied - a self-teaching guide. 1. Auflage. McGraw Hill, New York 2006, ISBN 0-07-145545-0, S. 252.
- ↑ S. W. Hawking, G. F. R. Ellis: The large scale structure of space-time. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1980, ISBN 0-521-09906-4, S. 162.
- ↑ S. W. Hawking, G. F. R. Ellis: The large scale structure of space-time. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1980, ISBN 0-521-09906-4, S. 163.
- ↑ Straumann, Norbert: General Relativity - With Applications in Astrophysics. 1. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2004, ISBN 3-540-21924-2, S. 564.