Kretschmann-Skalar – Wikipedia

Der Kretschmann-Skalar (auch Kretschmann-Invariante oder Riemannsche Invariante; nach Erich Kretschmann, der ihn einführte) bezeichnet eine skalare Invariante im Bereich der Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Er kann als Maß für die Krümmung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie gedeutet werden.[1]

Der Kretschmann-Skalar ist unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention definiert als

.

Hierbei bezeichnet den Riemannschen Krümmungstensor und .

Für die vierdimensionale Raumzeit kann der Kretschmann-Skalar weiterhin durch den Weyl-Tensor , den Ricci-Tensor sowie den Ricci-Skalar wie folgt ausgedrückt werden:[2]

Kretschmann-Skalar der Schwarzschild-Metrik

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Für die Schwarzschild-Metrik[3]

mit der Zeitkoordinate , den Kugelkoordinaten und dem Schwarzschild-Radius ist der Kretschmann-Skalar[4] mit dem Schwarzschild-Radius gegeben durch:[5]

Der Kretschmann-Skalar verhält sich am Schwarzschild-Radius völlig harmlos. Die Divergenz von bei zeigt, dass hier eine echte physikalische Singularität lauert: Die Raumzeit ist hier unendlich gekrümmt[6].

Kretschmann-Skalar der Kerr-Metrik

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Für die Kerr-Metrik eines rotierenden Schwarzen Lochs der Masse und des Drehimpulses lautet die Metrik mit dem Drehimpulsparameter in Boyer-Lindquist Koordinaten[7] mit

mit den Größen , und . Dabei ist der fiktive Radius einer Referenzkugel mit dem kartesischen Polradius . Dann ist der Kretschmann-Skalar[8][9]

Der Kretschmann-Skalar geht für die verschwindende Rotation über in !

hat eine echte koordinatenunabhängige Singularität bei[10]

Bei dieser Singularität wird . In den kartesischen Kerr-Schild Koordinaten[11] und gilt

Diese Gleichung beschreibt einen Ring mit dem Radius , der in der --Ebene liegt. Die analytische Fortsetzung für und diskutieren Stephen Hawking und George Ellis[12].

Die Größe ist eine Koordinatensingularität der Kerr-Metrik, die nicht im Kretschmann-Skalar vorkommt[13].

Einzelnachweise

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  1. Richard C. Henry: Kretschmann Scalar for a Kerr-Newman Black Hole. In: The Astrophysical Journal. 535. Jahrgang. The American Astronomical Society, 2000, S. 350–353, doi:10.1086/308819, arxiv:astro-ph/9912320v1, bibcode:2000ApJ...535..350H (iop.org).
  2. Eintrag zum Kretschmann-Skalar im Lexikon der Astronomie des Spektrum Verlags
  3. Frolov, Valeri and Zelnikov, Andrei: Introduction to Black Hole Physics. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2011, ISBN 978-0-19-969229-3, S. 168.
  4. Sebastian Boblest, Thomas Müller, Günter Wunner: Spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Springer, Berlin 2016, S. 225.
  5. Frolov, Valeri and Zelnikov, Andrei: Introduction to Black Hole Physics. 1. Auflage. Oxford University Press, Oxford 2011, ISBN 978-0-19-969229-3, S. 169.
  6. Zee, A.: Einstein Gravity in a Nutshell. 1. Auflage. Princeton University Press, Princeton 2013, ISBN 978-0-691-14558-7, S. 365.
  7. Padmanabhan, T.: Gravitation - Foundations and Frontiers. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2010, ISBN 978-0-521-88223-1, S. 366.
  8. Richard C. Henry: Kretschmann Scalar for a Kerr-Newman Black Hole. In: The Astrophysical Journal. 535. Jahrgang. The American Astronomical Society, 2000, S. 350–353, doi:10.1086/308819, arxiv:astro-ph/9912320v1, bibcode:2000ApJ...535..350H (iop.org).
  9. Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. 2008, arxiv:0706.0622.
  10. McMahon, David: relativity DeMYSTiFied - a self-teaching guide. 1. Auflage. McGraw Hill, New York 2006, ISBN 0-07-145545-0, S. 252.
  11. S. W. Hawking, G. F. R. Ellis: The large scale structure of space-time. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1980, ISBN 0-521-09906-4, S. 162.
  12. S. W. Hawking, G. F. R. Ellis: The large scale structure of space-time. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1980, ISBN 0-521-09906-4, S. 163.
  13. Straumann, Norbert: General Relativity - With Applications in Astrophysics. 1. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2004, ISBN 3-540-21924-2, S. 564.