Krullscher Hauptidealsatz – Wikipedia

Der Krullsche Hauptidealsatz ist ein zentraler Satz der Dimensionstheorie von noetherschen Ringen in der kommutativen Algebra, der nach Wolfgang Krull benannt ist und von ihm 1928 veröffentlicht wurde.^[1][2]

Sei ${\displaystyle R}$ ein noetherscher Ring, ${\displaystyle x\in R\setminus R^{\ast }}$ eine Nichteinheit und ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ minimal unter den Primidealen, die das Hauptideal ${\displaystyle Rx}$ enthalten.

Dann ist die Höhe des Primideals ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ höchstens ${\displaystyle 1}$.^[3][4][5]

Die Aussage des Krullschen Hauptidealsatzes lässt sich von Hauptidealen auf beliebige Ideale verallgemeinern. Sie wird dann auch als Krullscher Höhensatz bezeichnet.^[6]

Sei ${\displaystyle R}$ ein noetherscher Ring, ${\displaystyle I\subsetneq R}$ ein echtes Ideal, welches von ${\displaystyle m}$ Elementen erzeugt wird und ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ minimal unter den Primidealen, die das Ideal ${\displaystyle I}$ enthalten. Dann ist die Höhe des Primideals ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ höchstens ${\displaystyle m}$.^[7][8]

Da man die Dimension einer affinen algebraischen Varietät als Krulldimension des zugehörigen Koordinatenrings erhält, liefert der Krullsche Hauptidealsatz direkt Abschätzungen über Dimensionen bestimmter Varietäten. Man erhält so etwa die folgende Aussage:

Sind ${\displaystyle V,W\subseteq \mathbb {P} ^{n}(K)}$ irreduzible projektive Varietäten im ${\displaystyle n}$-dimensionalen projektiven Raum über dem Körper ${\displaystyle K}$. Dann erhält man für eine irreduzible Komponente ${\displaystyle Z\subseteq V\cap W}$ die Abschätzung

${\displaystyle \dim(Z)\geq \dim(V)+\dim(W)-n}$.^[9]

• Wolfgang Krull: Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. In: Sitzungsbericht Heidelberger Akademie der Wissenschaften. 7. Abhandlung, 1928. 
• Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie (= Aufbaukurs Mathematik). 14. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1997, ISBN 978-3-528-07287-2, VI.Dimensionstheorie, §5, doi:10.1007/978-3-322-80313-9. 
• David Eisenbud: Commutative Algebra. with a View Toward Algebraic Geometry (= Graduate Texts in Mathematics. Nr. 150). Springer, New York 1995, ISBN 0-387-94268-8, 10. The Principal Ideal Theorem an Systems of Parameters. 
• Michael Francis Atiyah, Ian Grant Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Westview Press, New York 1969, ISBN 0-201-00361-9, 11 Dimension Theory. 

1. ↑ Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, S. 231.
2. ↑ Krull: Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. 1928, §3.
3. ↑ Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, Theorem 10.1.
4. ↑ Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.1.
5. ↑ Atiyah, Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. 1969, Corollary 11.17.
6. ↑ Markus Brodmann: Algebraische Geometrie: Eine Einführung. Birkhäuser, Basel 1989, ISBN 978-3-7643-1779-9, S. 143.
7. ↑ Eisenbud: Commutative Algebra. 1995, Theorem 10.2.
8. ↑ Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.4.
9. ↑ Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. 1997, Satz 5.9.