In der Algebra ist Pfisters Sechzehn-Quadrate-Identität eine nicht-bilineare Identität der Form
![{\displaystyle \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\cdots +x_{16}^{2}\right)\cdot \left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+\cdots +y_{16}^{2}\right)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+\cdots +z_{16}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9a11249d06f5bb4dd3b42901916ece5f1cbecbf)
Nicht-bilineare Identität bedeutet hier, dass es Formeln
gibt und diese keine bilinearen Abbildungen in den Argumenten
sind, sondern von etwas komplizierterer Natur, siehe unten.
Diese Identität wurde erstmals von H. Zassenhaus und W. Eichhorn in den 1960ern bewiesen[1] und unabhängig und nahezu zeitgleich von Albrecht Pfister[2]. Es gibt mehrere Versionen, eine kurze und prägnante ist die folgende:
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}z_{1}&=&{\color {blue}{x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}-x_{5}y_{5}-x_{6}y_{6}-x_{7}y_{7}-x_{8}y_{8}}}+u_{1}y_{9}-u_{2}y_{10}-u_{3}y_{11}-u_{4}y_{12}-u_{5}y_{13}-u_{6}y_{14}-u_{7}y_{15}-u_{8}y_{16}\\z_{2}&=&{\color {blue}{x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{4}y_{3}-x_{3}y_{4}+x_{6}y_{5}-x_{5}y_{6}-x_{8}y_{7}+x_{7}y_{8}}}+u_{2}y_{9}+u_{1}y_{10}+u_{4}y_{11}-u_{3}y_{12}+u_{6}y_{13}-u_{5}y_{14}-u_{8}y_{15}+u_{7}y_{16}\\z_{3}&=&{\color {blue}{x_{3}y_{1}-x_{4}y_{2}+x_{1}y_{3}+x_{2}y_{4}+x_{7}y_{5}+x_{8}y_{6}-x_{5}y_{7}-x_{6}y_{8}}}+u_{3}y_{9}-u_{4}y_{10}+u_{1}y_{11}+u_{2}y_{12}+u_{7}y_{13}+u_{8}y_{14}-u_{5}y_{15}-u_{6}y_{16}\\z_{4}&=&{\color {blue}{x_{4}y_{1}+x_{3}y_{2}-x_{2}y_{3}+x_{1}y_{4}+x_{8}y_{5}-x_{7}y_{6}+x_{6}y_{7}-x_{5}y_{8}}}+u_{4}y_{9}+u_{3}y_{10}-u_{2}y_{11}+u_{1}y_{12}+u_{8}y_{13}-u_{7}y_{14}+u_{6}y_{15}-u_{5}y_{16}\\z_{5}&=&{\color {blue}{x_{5}y_{1}-x_{6}y_{2}-x_{7}y_{3}-x_{8}y_{4}+x_{1}y_{5}+x_{2}y_{6}+x_{3}y_{7}+x_{4}y_{8}}}+u_{5}y_{9}-u_{6}y_{10}-u_{7}y_{11}-u_{8}y_{12}+u_{1}y_{13}+u_{2}y_{14}+u_{3}y_{15}+u_{4}y_{16}\\z_{6}&=&{\color {blue}{x_{6}y_{1}+x_{5}y_{2}-x_{8}y_{3}+x_{7}y_{4}-x_{2}y_{5}+x_{1}y_{6}-x_{4}y_{7}+x_{3}y_{8}}}+u_{6}y_{9}+u_{5}y_{10}-u_{8}y_{11}+u_{7}y_{12}-u_{2}y_{13}+u_{1}y_{14}-u_{4}y_{15}+u_{3}y_{16}\\z_{7}&=&{\color {blue}{x_{7}y_{1}+x_{8}y_{2}+x_{5}y_{3}-x_{6}y_{4}-x_{3}y_{5}+x_{4}y_{6}+x_{1}y_{7}-x_{2}y_{8}}}+u_{7}y_{9}+u_{8}y_{10}+u_{5}y_{11}-u_{6}y_{12}-u_{3}y_{13}+u_{4}y_{14}+u_{1}y_{15}-u_{2}y_{16}\\z_{8}&=&{\color {blue}{x_{8}y_{1}-x_{7}y_{2}+x_{6}y_{3}+x_{5}y_{4}-x_{4}y_{5}-x_{3}y_{6}+x_{2}y_{7}+x_{1}y_{8}}}+u_{8}y_{9}-u_{7}y_{10}+u_{6}y_{11}+u_{5}y_{12}-u_{4}y_{13}-u_{3}y_{14}+u_{2}y_{15}+u_{1}y_{16}\\z_{9}&=&x_{9}y_{1}-x_{10}y_{2}-x_{11}y_{3}-x_{12}y_{4}-x_{13}y_{5}-x_{14}y_{6}-x_{15}y_{7}-x_{16}y_{8}+x_{1}y_{9}-x_{2}y_{10}-x_{3}y_{11}-x_{4}y_{12}-x_{5}y_{13}-x_{6}y_{14}-x_{7}y_{15}-x_{8}y_{16}\\z_{10}&=&x_{10}y_{1}+x_{9}y_{2}+x_{12}y_{3}-x_{11}y_{4}+x_{14}y_{5}-x_{13}y_{6}-x_{16}y_{7}+x_{15}y_{8}+x_{2}y_{9}+x_{1}y_{10}+x_{4}y_{11}-x_{3}y_{12}+x_{6}y_{13}-x_{5}y_{14}-x_{8}y_{15}+x_{7}y_{16}\\z_{11}&=&x_{11}y_{1}-x_{12}y_{2}+x_{9}y_{3}+x_{10}y_{4}+x_{15}y_{5}+x_{16}y_{6}-x_{13}y_{7}-x_{14}y_{8}+x_{3}y_{9}-x_{4}y_{10}+x_{1}y_{11}+x_{2}y_{12}+x_{7}y_{13}+x_{8}y_{14}-x_{5}y_{15}-x_{6}y_{16}\\z_{12}&=&x_{12}y_{1}+x_{11}y_{2}-x_{10}y_{3}+x_{9}y_{4}+x_{16}y_{5}-x_{15}y_{6}+x_{14}y_{7}-x_{13}y_{8}+x_{4}y_{9}+x_{3}y_{10}-x_{2}y_{11}+x_{1}y_{12}+x_{8}y_{13}-x_{7}y_{14}+x_{6}y_{15}-x_{5}y_{16}\\z_{13}&=&x_{13}y_{1}-x_{14}y_{2}-x_{15}y_{3}-x_{16}y_{4}+x_{9}y_{5}+x_{10}y_{6}+x_{11}y_{7}+x_{12}y_{8}+x_{5}y_{9}-x_{6}y_{10}-x_{7}y_{11}-x_{8}y_{12}+x_{1}y_{13}+x_{2}y_{14}+x_{3}y_{15}+x_{4}y_{16}\\z_{14}&=&x_{14}y_{1}+x_{13}y_{2}-x_{16}y_{3}+x_{15}y_{4}-x_{10}y_{5}+x_{9}y_{6}-x_{12}y_{7}+x_{11}y_{8}+x_{6}y_{9}+x_{5}y_{10}-x_{8}y_{11}+x_{7}y_{12}-x_{2}y_{13}+x_{1}y_{14}-x_{4}y_{15}+x_{3}y_{16}\\z_{15}&=&x_{15}y_{1}+x_{16}y_{2}+x_{13}y_{3}-x_{14}y_{4}-x_{11}y_{5}+x_{12}y_{6}+x_{9}y_{7}-x_{10}y_{8}+x_{7}y_{9}+x_{8}y_{10}+x_{5}y_{11}-x_{6}y_{12}-x_{3}y_{13}+x_{4}y_{14}+x_{1}y_{15}-x_{2}y_{16}\\z_{16}&=&x_{16}y_{1}-x_{15}y_{2}+x_{14}y_{3}+x_{13}y_{4}-x_{12}y_{5}-x_{11}y_{6}+x_{10}y_{7}+x_{9}y_{8}+x_{8}y_{9}-x_{7}y_{10}+x_{6}y_{11}+x_{5}y_{12}-x_{4}y_{13}-x_{3}y_{14}+x_{2}y_{15}+x_{1}y_{16}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5d45b58e0b0e5b5a62aebea8b1329557574a45d)
Setzt man alle
und
mit
gleich 0, so reduzieren sich diese Identitäten auf Degens Acht-Quadrate Satz (in blau). Die
sind
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}u_{1}&=&{\frac {1}{c}}(ax_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2})x_{9}-2x_{1}(bx_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16})\\u_{2}&=&{\frac {1}{c}}(x_{1}^{2}+ax_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2})x_{10}-2x_{2}(x_{1}x_{9}+bx_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16})\\u_{3}&=&{\frac {1}{c}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+ax_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2})x_{11}-2x_{3}(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+bx_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16})\\u_{4}&=&{\frac {1}{c}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+ax_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2})x_{12}-2x_{4}(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+bx_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16})\\u_{5}&=&{\frac {1}{c}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+ax_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2})x_{13}-2x_{5}(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+bx_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16})\\u_{6}&=&{\frac {1}{c}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+ax_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2})x_{14}-2x_{6}(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+bx_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+x_{8}x_{16})\\u_{7}&=&{\frac {1}{c}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+ax_{7}^{2}+x_{8}^{2})x_{15}-2x_{7}(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+bx_{7}x_{15}+x_{8}x_{16})\\u_{8}&=&{\frac {1}{c}}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+ax_{8}^{2})x_{16}-2x_{8}(x_{1}x_{9}+x_{2}x_{10}+x_{3}x_{11}+x_{4}x_{12}+x_{5}x_{13}+x_{6}x_{14}+x_{7}x_{15}+bx_{8}x_{16})\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51367401f9377daec2a19b4443f524e511b611f1)
wobei
![{\displaystyle a=-1,\;\;b=0,\;\;c=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f292014525023bb848038cf3947173e1d5fdba4)
Die Identität zeigt, dass im Allgemeinen das Produkt zweier Summen von sechzehn Quadraten wieder die Summe von sechzehn rationalen Quadraten ist. Nebenbei erfüllen die
noch die Gleichung
![{\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}+u_{5}^{2}+u_{6}^{2}+u_{7}^{2}+u_{8}^{2}=x_{9}^{2}+x_{10}^{2}+x_{11}^{2}+x_{12}^{2}+x_{13}^{2}+x_{14}^{2}+x_{15}^{2}+x_{16}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96941907ac158b91da5fa05b25c40fe2750771db)
Es gibt keine Sechzehn-Quadrate-Identität, bei der die
bilinear von den
und
abhängen, denn der Kompositionssatz von Hurwitz besagt, dass eine Identität der Form
,
bei der die
bilineare Funktionen der
und
sind, nur für
möglich ist.
Allerdings zeigt der allgemeinere Satz von Pfister (1965), dass wenn die
rationale Funktionen in einem Satz der Variablen sind, solche Identitäten für
möglich sind.[3] Es gibt auch nicht-bilineare Versionen von Eulers Vier-Quadrate-Identität und von Degens Acht-Quadrate-Identität.
- ↑ H. Zassenhaus and W. Eichhorn: Herleitung von Acht- und Sechzehn-Quadrate-Identitäten mit Hilfe von Eigenschaften der verallgemeinerten Quaternionen und der Cayley-Dicksonchen Zahlen, Arch. Math. 17 (1966), 492–496
- ↑ A. Pfister: Zur Darstellung von -1 als Summe von Quadraten in einem Körper, J. London Math. Soc. 40 (1965), 159–165
- ↑ Keith Conrad: Pfister's Theorem on Sums of Squares