Siebzehneck – Wikipedia
![Regelmäßiges Siebzehneck](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/01_Siebzehneck-0.svg/330px-01_Siebzehneck-0.svg.png)
Das Siebzehneck, 17-Eck oder Heptadekagon (von altgriechisch ἑπτακαίδεκα heptakaídeka, deutsch ‚siebzehn‘ und γωνία gōnía, deutsch ‚Winkel, Ecke‘)[1] ist eine geometrische Figur, die zur Gruppe der Vielecke (Polygone) gehört. Es ist definiert durch siebzehn Punkte, die durch siebzehn Strecken zu einem geschlossenen Linienzug verbunden sind. Im Folgenden werden ausschließlich das regelmäßige Siebzehneck, das konvex ist, siebzehn gleich lange Seiten hat und dessen Ecken auf einem gemeinsamen Umkreis liegen, sowie das regelmäßige überschlagene Siebzehneck beschrieben.
Mehr als 2000 Jahre lang war man aufgrund von Fehlversuchen davon überzeugt, das Siebzehneck sei nicht allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Erst Ende des 18. Jahrhunderts entdeckte der damals achtzehnjährige Carl Friedrich Gauß eine Formel, mit deren Hilfe die Konstruktion gelingt. Die Idee hinter seiner Entdeckung ist, dass Punkte, die sich mit Zirkel und Lineal aus zum Beispiel dem Ursprung und dem Punkt konstruieren lassen, stets bestimmte lineare oder quadratische Gleichungen erfüllen. Diese Gleichungen haben Koeffizienten, die sich aus den bisher schon konstruierten Punkten mit den vier Grundrechenarten bestimmen lassen. Hintergrund ist, dass von Linealen erzeugte Geraden durch lineare Gleichungen bzw. von Zirkeln erzeugte Kreise durch quadratische Gleichungen gegeben sind. Gauß’ Leistung bestand unter anderem darin, die für das Siebzehneck kritische Größe (mit dem Kosinus und der Kreiszahl ) durch eine Verschachtelung von Quadratwurzeln ganzer Zahlen auszudrücken, was eine zwar mühsame, aber dennoch in endlich vielen Schritten ausführbare Konstruktion ermöglicht. Dabei spielen die Eigenschaften der Fermatschen Primzahl eine entscheidende Rolle. Aus Sicht der modernen Mathematik handelt es sich hierbei um eine Anwendung der Galois-Theorie. In deren Rahmen ist es zudem von Nutzen, die Punkte der Ebene als Werte des Körpers der komplexen Zahlen auszudrücken, da dies das „Rechnen mit Punkten“ vereinfacht.
Die im Folgenden beschriebenen Konstruktionen für ein Siebzehneck sind eine Auswahl aus Lösungen mit sehr unterschiedlichen Vorgehensweisen.
Geschichte
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/18/Gauss_Tagebuch_erster_Eintrag.png/290px-Gauss_Tagebuch_erster_Eintrag.png)
1796.
Principia quibus innititur sectio circuli,
ac divisibilitas eiusdem geometrica in
septemdecim partes etc. Mart. 30. Brunsv.
(Grundlagen, auf die sich die Teilung des Kreises stützt, und zwar dessen geometrische Teilbarkeit in siebzehn Teile etc. 30. März. Braunschweig)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d2/Gau%C3%9F_17-Eck.gif/290px-Gau%C3%9F_17-Eck.gif)
Konstruktionen zu regelmäßigen Vielecken, wie beispielsweise zu Drei-, Vier-, Fünf- und Sechsecken sowie deren Verdoppelungen sind schon seit Euklids Elementen (3. Jahrhundert v. Chr.) bekannt, aber bei z. B. Sieben- oder Neuneck war es niemandem gelungen. In den vielen folgenden Jahrhunderten festigte sich deshalb die Annahme, weitere konstruierbare Vielecke werde man nicht finden.[2] Mehr als 2000 Jahre später waren Erstaunen und Interesse groß, als der achtzehnjährige Gauß am 29. März 1796 im Intelligenzblatt der allgem. Literatur-Zeitung als Stud. der Mathematik zu Göttingen seine neue Entdeckung (vorerst ohne weitere Details) ankündigte.[3]
Am 30. März 1796, also kurz vor seinem 19. Geburtstag (30. April), machte Gauß den ersten Eintrag in seinem Mathematischen Tagesbuch. Darin beschrieb er in lateinischer Sprache und in kurzen Worten seine Entdeckung, die zur Konstruierbarkeit des Siebzehnecks führt (siehe nebenstehendes Bild).[4]
Die ausführliche Erklärung dazu folgte fünf Jahre später im vorletzten Abschnitt seines Werks Disquisitiones Arithmeticae (1801) („Untersuchungen über höhere Arithmetik“).[5] Darin zeigte und bewies Gauß u. a. die Formel für den Kosinus des Zentriwinkels, der allein mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Wie der Kosinus des Zentriwinkels konstruktiv dargestellt werden kann, enthält das Werk nicht. Noch im selben Jahr, am 21. Juni, stellte Gauß in der St. Petersburger Akademie die Kurzfassung seiner Formel vor (Näheres im Abschnitt Eigenschaften).
In seinem Brief an Gerling vom 6. Januar 1819 machte Gauß auf den Druckfehler in Disquisitiones arithmeticae bezüglich seiner Formel aufmerksam:
„
Dies ist dieselbe Formel, die in meinen D[isquisitione] A[rithmeticae] p. 662 steht, nur ist dort durch einen Druckfehler statt des , welches hier mit bezeichnet ist, ein gesetzt, oder, was dasselbe ist, die dortige Formel stellt nicht , sondern , d. i. vor, also die doppelte Seite des 34-Ecks.“
Die ersten Konstruktionsbeschreibungen für ein Siebzehneck kamen Anfang des 19. Jahrhunderts. Carl Friedrich Gauß erhielt im März 1802 einen Brief von Johann Friedrich Pfaff – ehemals Lehrer und Förderer von Gauß. Pfaff zitierte darin die möglicherweise erste (veröffentlichte) Konstruktion eines Siebzehnecks aus einem Brief seines Kollegen Christoph Friedrich von Pfleiderer.[7] T. P. Stowell sandte 1818 eine Basiskonstruktion an Leybourns mathematische Zeitschrift The Mathematical Repository mit dem Anliegen, den 1806 verfassten Artikel über das Siebzehneck erneut zu drucken.[8][9] Magnus Georg Paucker fand seine Version eines Siebzehnecks im Jahr 1819. Die vielleicht bekannteste Darstellung zeigte Herbert Richmond 1893.[10] Im Jahr 1897 veröffentlichte L. Gérard ein Siebzehneck, dessen Konstruktion er nur mit einem Zirkel mithilfe des Satzes von Mohr-Mascheroni erstellte. Duane DeTemple wiederum nahm 1991 die sogenannten Carlyle-Kreise zu Hilfe, um seine Lösung des Siebzehnecks zu veröffentlichen. Am 23. Februar 2005 erschien in Göttingen, anlässlich des 150. Todestages von Carl Friedrich Gauß, ein Katalog zur Ausstellung im Alten Rathaus am Markt. Hans Vollmayr erläuterte darin eine Konstruktion des Siebzehnecks, in der als Ansatz die Kurzformel für den Kosinus des Zentriwinkels dient.[11]
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das Besondere an einem regelmäßigen Siebzehneck ist die Tatsache, dass es konstruierbar ist – es kann somit unter alleiniger Verwendung von Zirkel und Lineal (die euklidischen Werkzeuge) gezeichnet werden –, diese Konstruierbarkeit jedoch über Jahrtausende nicht nachgewiesen werden konnte. Der Nachweis gelang erst Carl Friedrich Gauß im Jahr 1796.[12] Er zeigte, dass für den Kosinus des Zentriwinkels
gilt.[A 1] Somit ist der Zentriwinkel auch geometrisch darstellbar und die verschiedenen Größen des Siebzehnecks wie Seitenlänge, Umfang, Inkreisradius, Diagonale über zwei Seiten und Flächeninhalt lassen sich berechnen.
Am 21. Juni 1801 stellte Gauß der St. Petersburger Akademie für seine obige Formel eine sogenannte Kurzfassung in drei Schritten vor, die sich aus der Gruppierung von Summen einzelner Kosinuswerte ergibt. Friedrich L. Bauer beschrieb sie 2009 in seinem Buch Historische Notizen zur Informatik im Kapitel Carl Friedrich Gauß, das 17-Eck und MATHEMATICA[13] ausführlich, es sei deshalb hier nur das Ergebnis der Kurzfassung erwähnt.
Mit den darin u. a. eingeführten Hilfsgrößen
- und
gilt somit für den Kosinus des Zentriwinkels auch:[14][13]
[15]Größen eines regelmäßigen Siebzehnecks mit der Seitenlänge , dem Umkreisradius und dem Zentriwinkel | |||
---|---|---|---|
Seitenlänge | |||
Umfang | |||
Inkreisradius | |||
Diagonale über zwei Seiten | |||
Flächeninhalt | |||
Innenwinkel |
In der Tabelle bezeichnet den Sinus und den Kotangens.
Die Symmetriegruppe des Siebzehnecks ist die Diedergruppe .
Mathematischer Hintergrund
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]In der mathematischen Theorie, präziser der Algebra, wird Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal auf algebraische Gleichungen zurückgeführt.
Der Entdeckung der Konstruierbarkeit des Siebzehnecks durch Zirkel und Lineal von Gauß liegt eine Auflösung der Kreisteilungsgleichung zugrunde, deren Lösungen – es handelt sich um die siebzehnten Einheitswurzeln – in der Gaußschen Zahlenebene der komplexen Zahlen ein regelmäßiges Siebzehneck mit Umkreisradius 1 bilden. Diese Gleichung kann allein durch den Gebrauch geschachtelter Quadratwurzeln gelöst werden (siehe oben für den Realteil der Lösung , die entgegen dem Uhrzeigersinn zur Lösung 1 am nächsten liegt). Wichtig dabei ist, dass komplexe Zahlen einerseits als Punkte einer Ebene dargestellt werden können, andererseits aber mit ihnen gerechnet werden kann. Gauß erkannte 1796 als 18-Jähriger diese Möglichkeit „[d]urch angestrengtes Nachdenken … am Morgen … (ehe ich aus dem Bette aufgestanden war)“[16] aufgrund allgemeiner zahlentheoretischer Eigenschaften von Primzahlen, in diesem Fall konkret der Primzahl 17: Die modulo einer Primzahl gebildeten, von 0 verschiedenen Restklassen können nämlich als Potenzen einer geeignet gewählten Zahl , Primitivwurzel genannt, dargestellt werden. Im Fall kann konkret gewählt werden, wie eine rekursive Berechnung der Potenzen zeigt:
verfährt man so weiter, ergeben sich der Reihe nach die Restklassen modulo . Sortiert man nun die von 1 verschiedenen 17. Einheitswurzeln entsprechend, das heißt in der Reihenfolge
so erhält man durch Teilsummation von jeder zweiten, jeder vierten, beziehungsweise jeder achten Einheitswurzel aus dieser Auflistung die sogenannten Gaußschen Perioden: zwei 8-gliedrige Perioden mit je 8 Summanden, vier 4-gliedrige Perioden mit je 4 Summanden und acht 2-gliedrige Perioden mit je 2 Summanden. Aufgrund prinzipieller Eigenschaften oder aber durch explizite Berechnung lässt sich dafür zeigen:[A 2]
- Die beiden 8-gliedrigen Perioden sind Lösungen einer quadratischen Gleichung mit ganzen Koeffizienten.
- Die vier 4-gliedrigen Perioden sind Lösungen von zwei quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 8-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
- Die acht 2-gliedrigen Perioden sind Lösungen von vier quadratischen Gleichungen, deren Koeffizienten aus den 4-gliedrigen Perioden berechenbar sind.
Dabei gilt für die zweigliedrige Periode zur „ersten“ Einheitswurzel .
Der beschriebene Ansatz lässt sich analog für jede Primzahl der Form durchführen. Fünf solche Primzahlen, die Fermatsche Primzahlen genannt werden, sind bekannt: 3, 5, 17, 257, 65537. Daher gehören auch das regelmäßige 257-Eck und das regelmäßige 65537-Eck zu den konstruierbaren Polygonen.
Geometrische Konstruktionen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Konstruktion nach Christoph Friedrich von Pfleiderer
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Johann Friedrich Pfaff schrieb am 22. März 1802 aus Helmstedt einen Brief an Gauß (erstmals veröffentlicht 1917). Darin zitierte er aus einem Brief – den er von Christoph Friedrich von Pfleiderer erhalten hatte – die folgende möglicherweise erste (veröffentlichte) Konstruktion eines regelmäßigen Siebzehnecks.[7]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/43/01_Siebzehneck-1802.svg/450px-01_Siebzehneck-1802.svg.png)
Mit Weiterführung der Konstruktion.[7] Darin ist zu beachten: Das Bestimmen des Punktes (rot) ergibt einen sehr geringen Abstand zum Punkt .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/01_Siebzehneck-1802-Animation.gif/565px-01_Siebzehneck-1802-Animation.gif)
Der 14. Konstruktionsschritt liefert die erste Seitenlänge und zugleich das Ende der Darstellung nach Ch. F. von Pfleiderer. Ist Bestimmen und Verbinden der Eckpunkte jeweils ein Konstruktionsschritt, braucht das fertige Siebzehneck davon 29.
Im oben genannten Brief an Gauß erklärte J. F. Pfaff mit Pfleiderers Worten dessen Konstruktion zum Siebzehneck (freie Übersetzung):[7]
„Angesichts des Durchmessers des Kreises wird zu seinem Ende eine Normale gezogen, auf der zuerst , dann und , beide , abgeschnitten werden. Halbieren Sie und in den Punkten und und ziehen Sie zum Mittelpunkt des gegebenen Kreises die Linien und . Von der Senkrechten werden und abgeschnitten. Zur Geraden wird zum Punkt die Normale gezogen und anschließend mit verbunden. Über ziehen Sie einen Kreis, der die Gerade in schneidet. Schließlich wird um den Mittelpunkt mit Radius ein Kreis beschrieben, der den Kreis um bei schneidet. sei die Seite eines regelmäßigen Polygons mit 17 Seiten, das in den gegebenen Kreis eingeschrieben werden soll.“
Konstruktion nach T. P. Stowell
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Das Finden der folgenden Basiskonstruktion eines regelmäßigen Siebzehnecks aus dem Jahr 1818 ist W. E. Heal aus Wheeling in Indiana zu verdanken. Er stellte in der mathematischen Zeitschrift The Analyst im März 1877 zur Konstruktion der Polygone 17-Eck und 257-Eck allein mit Zirkel und Lineal, die Frage: „Wie wird dies bewiesen?“ [17] J. E. Hendricks, Herausgeber von The Analyst, beantwortete in der Ausgabe vom Mai 1877, Nr. 3 seine Frage, darin zitierte er auch T. P. Stowell aus Rochester, N. Y.: „Vielleicht würde es einige Ihrer Leser interessieren, einen in [Thomas Leybourns] Mathematical Repository (Band I, 2. Folge) 1806 veröffentlichten Artikel erneut zu drucken.“[9] Da der Platz für eine vollständige Veröffentlichung des Artikels aus der angegebenen Quelle nicht zur Verfügung stand, wurde in The Analyst nur ein Ausschnitt davon sowie die von T. P. Stowell gesendete und Leybourns Mathematical Repository 1818 zugeschriebene Konstruktion eines Polygons mit 17 Seiten eingefügt.[8][A 3]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ae/01_Siebzehneck-1818.svg/400px-01_Siebzehneck-1818.svg.png)
Mit Weiterführung der Basiskonstruktion[8] aus dem Jahr 1818 sowie Ergänzung von als mittlerer Proportionale[18] von und bzw.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/01_Siebzehneck-1818-Animation.gif/542px-01_Siebzehneck-1818-Animation.gif)
Der 14. Konstruktionsschritt liefert die erste Seitenlänge und zugleich das Ende der Basiskonstruktion nach T. P. Stowell. Ist Bestimmen und Verbinden der Eckpunkte jeweils ein Konstruktionsschritt, braucht das fertige Siebzehneck davon 29.
Konstruktionsbeschreibung von T. P. Stowell (Übersetzung):
„ZUR KONSTRUKTION eines regelmäßigen Polygons von siebzehn Seiten im Kreis.
Zeichnen Sie den Radius rechtwinklig zum Durchmesser : Für nehmen Sie die Hälfte von und für den achten Teil vom Radius []: Nehmen Sie für und für jeweils gleich , für gleich und gleich ; für nehmen Sie die mittlere Proportionale zwischen und [A 4] und ziehen Sie durch parallel zu , trifft in auf den über beschriebenen Halbkreis;[A 5] zeichnen Sie parallel zu , schneidet den gegebenen Kreis in – der Bogen ergibt den siebzehnten Teil des gesamten Umfangs.“
Konstruktion nach Georg Paucker
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Magnus Georg Paucker legte 1819 seine geometrische Konstruktionsanleitung für das Siebzehneck der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst vor, wo sie 1822 veröffentlicht wurde.[19] Er schreibt dazu in der Einleitung seines Artikels:
„Ein merkwürdiges Beyspiel von der Schwierigkeit, neue Sätze in der Geometrie zu entdecken, liefert die Aufgabe, reguläre Polygone, ohne mechanische Eintheilung des Quadranten oder Beyhülfe eines Winkelmessers, in einen Kreis zu zeichnen.“
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/Siebzehneck-Paucker.svg/500px-Siebzehneck-Paucker.svg.png)
Mit Weiterführung bis zum fertigen Siebzehneck, Schritt 17: Abtragen der Diagonalen über zwei Seiten. Ist Bestimmen und Verbinden der Eckpunkte jeweils ein Konstruktionsschritt, braucht das fertige Siebzehneck davon 31.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/01-Siebzehneck-Paucker-Animation.gif/499px-01-Siebzehneck-Paucker-Animation.gif)
Der 16. Konstruktionsschritt liefert die erste Seitenlänge auf dem Umkreis. Ist Bestimmen und Verbinden der Eckpunkte jeweils ein Konstruktionsschritt, braucht das fertige Siebzehneck davon 30.
Die folgende Konstruktionsanleitung enthält die Konstruktion nach Magnus Georg Paucker[21] sowie deren Weiterführung bis zum fertigen Siebzehneck. Die in der Originalzeichnung von Paucker enthaltenen Radien und die meisten Diagonalen dienen der Darstellung von in seiner Originalbeschreibung stehenden Formeln und sind für die geometrische Konstruktion nicht erforderlich. Sie wurden hier weggelassen.
- Zeichne auf dem Durchmesser um den Mittelpunkt den Umkreis des werdenden 17-Ecks.
- Errichte den Durchmesser senkrecht zu .
- Halbiere den Radius in .
- Verlängere ab .
- Trage die Strecke ab auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist .
- Halbiere in .
- Halbiere in .
- Trage die Strecke ab auf die Verlängerung ab, Schnittpunkt ist .
- Errichte den Radius senkrecht zu Durchmesser .
- Halbiere in .
- Trage die Strecke ab auf ab, Schnittpunkt ist .
- Konstruiere den Halbkreis über .
- Konstruiere den Halbkreis über , Schnittpunkt mit ist .
- Zeichne die Parallele zu ab , Schnittpunkt mit Halbkreis über ist .
- Fälle das Lot von L auf , Fußpunkt ist . Es ist die Seite des 34-Ecks.
- Von hier aus zwei Möglichkeiten als Beispiele:
- Ziehe einen Halbkreis um mit dem Radius , damit ergibt sich auf dem Umkreis der Punkt und ein z. B. mit bezeichneter Punkt. Die Strecke ist die gesuchte Seite des 17-Ecks.
- bis 30. Trage die Seite vierzehnmal auf dem Umkreis ab und verbinde die so gefundenen Punkte zu einem vollständigen 17-Eck.
- oder:
- Es gilt auch , demzufolge trage auf dem Umfang in Richtung Punkt ab und du erhältst Punkt .
- Trage , also die Diagonale über zwei Seiten, von beginnend weitere Male auf dem Umfang ab, bis alle Ecken markiert sind und verbinde jeweils abschließend die so gefundenen Punkte zu einem vollständigen 17-Eck.
Konstruktion nach Herbert Richmond
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Im Jahr 1825 legte Johannes Erchinger eine Konstruktion der Akademie der Wissenschaften zu Göttingen vor, die Gauß daraufhin in den Göttingischen Gelehrten Anzeigen besprach. Eine zeichnerische Darstellung dieses Siebzehnecks ist nicht überliefert.[22][A 6] Die folgende einfachere und bekannteste Konstruktion stammt von Herbert William Richmond aus dem Jahr 1893.[23]
In der Konstruktionsbeschreibung lässt es Richmond offen, auf welche Art und Weise schließlich die Seitenlänge des Siebzehnecks zu finden ist. Es gibt dafür drei Möglichkeiten. Für die ersten beiden nimmt man entweder die Länge der Sehne oder in den Zirkel und trägt sie auf dem Umkreis so oft ab, bis alle Eckpunkte gegeben sind.[23] Die dritte Möglichkeit wäre: Man halbiert den Kreisbogen mithilfe der Mittelsenkrechten, erhält so den Eckpunkt und trägt abschließend die Seitenlänge oder dreizehnmal auf dem Umkreis ab. Die folgende Konstruktion nutzt dafür die Sehnenlänge (Diagonale) .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/31/01-Siebzehneck-Richmond.svg/400px-01-Siebzehneck-Richmond.svg.png)
Mit Weiterführung der Konstruktion. Dabei ist zu beachten: Das Bestimmen des Punktes ergibt einen sehr geringen Abstand zum Mittelpunkt des Halbkreises über .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/01.Siebzehneck-Animation-Richmond.gif/519px-01.Siebzehneck-Animation-Richmond.gif)
Der 27. Konstruktionsschritt liefert den letzten Eckpunkt . Ist Bestimmen und Verbinden der Eckpunkte jeweils ein Konstruktionsschritt, braucht das fertige Siebzehneck davon 27.
Konstruktionsbeschreibung
- Ziehen des Umkreises mit beliebigem Radius um den Mittelpunkt .
- Zeichnen eines Durchmessers durch den Mittelpunkt Schnittpunkt mit Umkreis ist , später zusätzlich mit bezeichnet.
- Errichten eines Radius senkrecht zu auf bis zum Umkreis; Schnittpunkt mit Umkreis ist .
- Halbieren des Radius .
- Nochmaliges Halbieren ergibt ein Viertel des Radius im Punkt ; liegt näher an ; Verbinden des Punktes mit .
- Halbieren des Winkels .
- Nochmaliges Halbieren des Winkels ergibt im Punkt ein Viertel des Winkels ; liegt näher an .
- Errichten einer Senkrechten auf mit Fußpunkt .
- Halbierung des -Winkels; Schnittpunkt mit Durchmesser ist und Winkel ist .
- Konstruktion des Thaleskreises über ; Schnittpunkt mit ist .
- Ziehen des Halbkreises um den Mittelpunkt mit dem Radius ; Schnittpunkte mit dem Durchmesser sind und (dabei liegt sehr nahe beim Mittelpunkt des Thaleskreises über ).
- Errichten der Senkrechten auf die Mittelachse ab ; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt des Siebzehnecks; der Kreisbogen ist somit des Umkreisumfanges.
- Errichten der Senkrechten auf die Mittelachse ab ; Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Eckpunkt ; der Kreisbogen ist somit des Umkreisumfanges.
- bis 27. Ein vierzehnmaliges Abtragen der Diagonale auf dem Umkreis, ab dem Eckpunkt gegen den Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte und ; das abschließende Verbinden der so gefundenen Punkte , …, vervollständigt das 17-Eck.
Konstruktion nach L. Gérard
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Pietro Ermenegildo Daniele, ein italienischer Mathematiker (1875–1949), beschreibt im sechsten Artikel seines Werkes Über die Konstruktionen des regulären Siebzehnecks eine Konstruktion nach L. Gérard[24] mithilfe des Satzes von Mohr-Mascheroni.
Gérards Siebzehneck – allein mit einem Zirkel konstruiert – wurde in Mathematische Annalen (48. Band) im Jahr 1897 veröffentlicht.[25][26]
- Um die Erklärungen von Daniele zum mathematischen Hintergrund (§ 4. Die Konstruktion von Gérard, ab Seite 183) nachvollziehen zu können, wurden die Bezeichnungen der Schnittpunkte übernommen. In der folgenden Konstruktion entsteht jeder Schnittpunkt durch das Kreuzen zweier Kreise. Für eine bessere Übersichtlichkeit ersetzen kurze Kreisbögen die entsprechenden Kreise (siehe Animation).
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/59/01-Siebzehneck-ohne_Lineal.svg/440px-01-Siebzehneck-ohne_Lineal.svg.png)
Mithilfe des Satzes von Mohr-Mascheroni ohne Lineal allein mit Zirkel konstruiert.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1a/01_Siebzehneck_ohne_Lineal.gif/440px-01_Siebzehneck_ohne_Lineal.gif)
Drei Eckpunkte und sind mit dem 19. Konstruktionsschritt gefunden. Ein fertiges Siebzehneck bedarf deren 33.
Konstruktionsbeschreibung (in Klammer die Bildnummer):
- um den Mittelpunkt . (1) Es beginnt mit einem Kreis mit beliebigem Radius
- Uhrzeigersinn dreimal den Radius auf den Umkreis des entstehenden Siebzehnecks auf, dabei ergeben sich die Schnittpunkte sowie der erste Eckpunkt (2), (3), (4) Nun trägt man im
Es folgt die Ermittlung des Mittelpunktes des Radius .
- mit dem Radius und zwei Kreisbögen um mit dem Radius erzeugen die Schnittpunkte und . (5) Zwei Kreisbögen um
- und mit Radius liefert den Schnittpunkt (6) Je ein Kreisbogen um
Es geht weiter mit dem Bestimmen der noch erforderlichen Schnittpunkte bis .
- je ein Kreisbogen um und mit Radius (7)
- und zwei Kreisbögen um mit Radius (8)
- und zwei Kreisbögen um mit Radius (9)
- (10) und je einen Kreisbogen um und mit Radius
- (11), (12) und je einen Kreisbogen um und mit Radius sowie zwei Kreisbögen um mit Radius
- (13) je einen Kreisbogen um und mit Radius
- (14), (15) und je einen Kreisbogen um und mit Radius sowie zwei Kreisbögen um mit Radius
- (16) je ein Kreisbogen um und mit Radius
- (17) und je zwei Kreisbögen um und mit Radius
- (18) je ein Kreisbogen um und mit Radius
- (19) Jetzt bedarf es nur noch zweier Kreisbögen um mit Radius , um zwei weitere Eckpunkte und zu erhalten.
- Die Abstände und entsprechen jeweils einer Seitenlänge des entstehenden Siebzehnecks.
- (20) bis (33) Abschließend liefert das vierzehnmalige Abtragen der Seitenlänge auf dem Umkreis ein allein mit dem Zirkel erstelltes regelmäßiges Siebzehneck.
Konstruktion nach Duane DeTemple
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Duane W. DeTemple veröffentlichte im Jahr 1991 in der mathematischen Zeitschrift The American Mathematical Monthly eine Konstruktion des Siebzehnecks. Für seine Lösung verwendete er vier Carlyle-Kreise; benannt nach dem Historiker Thomas Carlyle (1795–1881). Der junge Schotte Carlyle lehrte Mathematik, bevor er sich der Literatur zuwandte. Damals fand er diese elegante geometrische Methode für die quadratische Gleichung und folglich auch für die Polygone Fünfeck, Siebzehneck, 257-Eck und 65537-Eck.[27]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/21/01-Heptadecagon-Carlyle_circles-o-Beschreibung.svg/520px-01-Heptadecagon-Carlyle_circles-o-Beschreibung.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/80/01_Heptadecagon-Carlyle_circle-deutsch.gif/520px-01_Heptadecagon-Carlyle_circle-deutsch.gif)
Der 16. Konstruktionsschritt liefert den ersten Eckpunkt . Ist Bestimmen und Verbinden der Eckpunkte jeweils ein Konstruktionsschritt, braucht das fertige Siebzehneck davon 30.
Konstruktionsbeschreibung:
- Zeichne die -Achse und setze darauf den Punkt
- Zeichne um den Einheitskreis mit Radius Schnittpunkte mit sind und
- Konstruiere die -Achse vom Umkreis des entstehenden 17-Ecks, Schnittpunkt mit ist
- Halbiere den Radius in
- Ziehe den Kreisbogen mit dem Radius um
- Errichte eine Senkrechte auf dem Radius ab Schnittpunkt mit ist
- Ziehe den Carlyle-Kreisbogen um durch so, dass er die -Achse vom Umkreis zweimal trifft, Schnittpunkte sind und
- Halbiere die Strecke in
- Halbiere die Strecke in
- Ziehe den Carlyle-Kreisbogen um ab bis auf die -Achse, Schnittpunkt ist
- Ziehe den Carlyle-Kreisbogen um ab bis auf die -Achse, Schnittpunkt ist
- Trage von Punkt aus auf der Geraden ab. Du erhältst Punkt
- Verbinde mit
- Halbiere die Strecke in
- Ziehe den Carlyle-Kreisbogen um ab bis auf die -Achse, Schnittpunkt ist
- Ziehe den Kreisbogen mit dem Radius um Schnittpunkte mit dem Umkreis sind die Eckpunkte und somit ist die Strecke die erste Seite des gesuchten 17-Ecks.
- Ein vierzehnmaliges Abtragen der Strecke auf dem Umkreis ab dem Eckpunkt gegen den Uhrzeigersinn, ergibt der Reihe nach die Eckpunkte bis Abschließend verbinde die so gefundenen Punkte und dann ist das 17-Eck fertiggestellt.
Konstruktion mithilfe der gaußschen Kurzfassung der Formel
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Anlässlich der 150. Wiederkehr des Todestages von Carl Friedrich Gauß am 23. Februar 2005 gab es in Göttingen im Alten Rathaus am Markt vom 23. Februar bis zum 15. Mai 2005 die Ausstellung „Wie der Blitz einschlägt, hat sich das Räthsel gelöst“. Carl Friedrich Gauß in Göttingen. Der Katalog zu dieser Ausstellung, herausgegeben von Elmar Mittler, enthält Aufsätze in diversen Rubriken. Im Abschnitt Mathematik ist der Beitrag 17 gleiche Ecken und Kanten mit Zirkel und Lineal von Hans Vollmayr zu finden.[11] Die im Folgenden dargestellte Konstruktion ist prinzipiell den Kapiteln Das Siebzehneck: die Rechnung[28] und Das Siebzehneck: die Zeichnung[29] entnommen.
Die Kurzfassung der Formel für den Kosinus des Zentriwinkels (siehe Eigenschaften),
erleichtert eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die mithilfe der Hilfsgrößen, quasi Schritt für Schritt, den Kosinus des Zentriwinkels liefert. Ein möglicher Lösungsweg ist, die Hilfsgrößen zeichnerisch separat in drei Bildern (1–3) mit elementaren algebraischen Operationen darzustellen. Dies macht die Konstruktion übersichtlich und allgemein gut nachvollziehbar.
Konstruktion der Hilfsgrößen p und q sowie des Quadrats q²
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c1/01-Siebzehneck-Gau%C3%9F-2-Teil-1.svg/460px-01-Siebzehneck-Gau%C3%9F-2-Teil-1.svg.png)
Darin gilt und
- Ab Punkt eine Halbgerade ziehen, darauf mit Lot auf Strecke in errichten und ab auf Lot übertragen ergibt
- Lot auf in mit Länge ergibt anschließend Halbgerade von durch ergibt
- Kreis um durch ergibt auf Halbgerade, ist Hilfsgröße
- Viertelkreis um durch ergibt und nun mit verbinden, anschließende Parallele zu ab ergibt sowie mit das Quadrat
- Zu zweimal die Länge addieren, ergibt und anschließend in halbieren und um über Halbkreis ziehen.
- Lot auf in bis Halbkreis ergibt anschließend zu ab Hilfsgröße addieren, ergibt
- in halbieren ergibt Hilfsgröße
- Viertelkreis um ab ergibt anschließend Viertelkreis um ab ergibt
- mit verbinden, anschließende Parallele zu ab ergibt sowie mit das Quadrat
Konstruktion der Hilfsgrößen p’ und qʼ
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c5/01-Siebzehneck-Gau%C3%9F-2-Teil-2.svg/620px-01-Siebzehneck-Gau%C3%9F-2-Teil-2.svg.png)
Darin gilt sowie
- Ab Punkt eine Halbgerade ziehen, darauf mit Lot auf Strecke in errichten und ab auf Lot übertragen ergibt
- Lot auf in mit der Länge ergibt anschließend Halbgerade von durch ergibt
- Kreis um durch ergibt auf Halbgerade, ist Hilfsgröße
- Viertelkreis um durch ergibt und nun mit verbinden, anschließende Parallele zu ab ergibt sowie mit das Quadrat
- Zu zweimal die Länge addieren, ergibt und anschließend in halbieren und um über Halbkreis ziehen.
- Lot auf in bis Halbkreis ergibt anschließend von ab Hilfsgröße subtrahieren, ergibt
- in halbieren ergibt mit Hilfsgröße
Konstruktion der Wurzel aus q² − 2q’ und des Kosinus des Zentriwinkels μ
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/01-Siebzehneck-Gau%C3%9F-2-Teil-3.svg/700px-01-Siebzehneck-Gau%C3%9F-2-Teil-3.svg.png)
- Ab Punkt eine Halbgerade ziehen, darauf aus Bild (1) übertragen ergibt anschließend Länge aus Bild (1) ab übertragen ergibt
- Von die Länge aus Bild (2) ab Punkt subtrahieren ergibt anschließend in halbieren und um über Halbkreis ziehen.
- Lot auf in bis Halbkreis ergibt
- Strecke einzeichnen und dazu Hilfsgröße aus Bild (1) ab addieren ergibt anschließend in halbieren, die Strecke ist der Kosinus des Zentriwinkels des Siebzehnecks.
- Um Punkt Umkreis mit dem Radius (z. B. mit Strecke ) ziehen, anschließend Radius einzeichnen, ergibt
- auf ab übertragen, ergibt
- Lot auf in bis Umkreis ergibt ersten Eckpunkt des entstehenden Siebzehnecks.