Dieser Artikel beschäftigt sich mit den Sierpiński-Zahlen. Für die nach Sierpiński benannte Konstante siehe
Sierpiński-Konstante.
Eine Sierpiński-Zahl (benannt nach dem polnischen Mathematiker Wacław Sierpiński) ist eine natürliche, ungerade Zahl , für die die unendliche Zahlenfolge mit keine Primzahlen enthält.
- ist eine Sierpiński-Zahl.
Beweis der Behauptung, dass 78557 eine Sierpiński-Zahl ist:
Der Beweis funktioniert direkt mittels Modulo-Rechnung.[1]
Zu zeigen ist, dass für alle natürlichen Zahlen immer eine zusammengesetzte Zahl, also niemals eine Primzahl, ist.
Es wird gezeigt, dass es immer eine Zahl aus der Menge gibt, welche teilt (diese Menge nennt man im englischen covering set of 78557).
Beweis:
- Teil 1: Teilbarkeit durch 3:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn ist.
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn gerade ist, also wenn ist.
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 2: Teilbarkeit durch 5:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn ist.
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 3: Teilbarkeit durch 7:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn ist.
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 4: Teilbarkeit durch 13:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 5: Teilbarkeit durch 19:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 6: Teilbarkeit durch 37:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 7: Teilbarkeit durch 73:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 8: Zusammenfassung:
- In den vergangenen sieben Teilen dieses Beweises wurden alle möglichen Kongruenzen modulo abgedeckt. Es wurde zum Beispiel gezeigt, dass ein Teiler von genau dann ist, wenn gilt, also wenn mit ist.
- Zusammenfassend gilt also:
- ist, abhängig von , unter anderem durch folgende Primzahlen teilbar:
- Damit werden alle möglichen abgedeckt. Somit ist immer durch mindestens eine Primzahl teilbar, welche in der Menge liegt. Weil für alle ist, ist für alle immer eine zusammengesetzte Zahl, was zu beweisen war.
- Die folgenden Zahlen sind bekannte Sierpiński-Zahlen :
- 78557, 271129, 271577, 322523, 327739, 482719, 575041, 603713, 903983, 934909, 965431, … (Folge A076336 in OEIS)
- Ist eine dieser Zahlen, so ist für alle zusammengesetzt. Man erhält niemals eine Primzahl.
Die Zahl ist keine Sierpiński-Zahl, da in der Folge wenigstens eine Primzahl auftritt: 39, 77, 153, 305, 609, 1217, 2433, … Das sechste Glied der Folge, 1217, ist eine Primzahl. Das genügt zum Nachweis, dass 19 keine Sierpiński-Zahl ist. Ob noch weitere Primzahlen in dieser Folge auftreten oder nicht (das zehnte Glied 19457 ist prim), ist unerheblich.
Primzahlen der Form nennt man Prothsche Primzahl.
Das Sierpiński-Problem lautet: Welche ist die kleinste Sierpiński-Zahl? 1962 hat John L. Selfridge gezeigt, dass 78557 eine Sierpiński-Zahl ist.[1] Es ist jedoch noch nicht bekannt, ob 78557 die kleinste Sierpiński-Zahl ist. Es wird aber vermutet, dass es sich um die kleinste Sierpiński-Zahl handelt. Das Internet-Projekt Seventeen or Bust beschäftigt sich mit diesem Problem.
Um den Beweis durchzuführen, muss für jedes kleiner als 78557 eine Zahl gefunden werden, so dass die resultierende Proth-Zahl eine Primzahl ist. Dieser Beweis ist (Stand 8. Juli 2019) bereits für alle bis auf 5 Ausnahmen erfolgt, diese sind (Primzahlen werden fett geschrieben):
- 21181, 22699, 24737, 55459 und 67607[1][2][3]
Die möglicherweise kleinste Sierpiński-Zahl ist eine zusammengesetzte Zahl.
Das prime Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob die kleinste prime Sierpiński-Zahl ist.[4] Um dies zu überprüfen, müssen die folgenden 9 Primzahlen überprüft werden (wobei die ersten zwei Zahlen der folgenden Liste schon in obigem Problem auftauchen; die übrigen drei Zahlen der vorhergehenden Liste sind keine Primzahlen: , und ) (Stand: 31. Dezember 2019):
- k = 22699, 67607, 79309, 79817, 152267, 156511, 222113, 225931, 237019
Das erweiterte Sierpiński-Problem beschäftigt sich damit, ob tatsächlich die zweitkleinste Sierpiński-Zahl ist.[4][5] Um dies zu überprüfen, müssen neben den 9 oben genannten Primzahlen (vom primen Sierpiński-Problem) noch zusätzlich die folgenden 11 zusammengesetzten Zahlen überprüft werden (wobei die ersten drei zusammengesetzten Zahlen schon im ursprünglichen Sierpiński-Problem auftauchen) (Stand: 7. März 2022):
- k = 21181, 24737, 55459, 91549, 131179, 163187, 200749, 209611, 227723, 229673, 238411
Eine Riesel-Zahl (benannt nach dem schwedischen Mathematiker Hans Riesel) ist eine natürliche, ungerade Zahl , für die die unendliche Zahlenfolge mit keine Primzahlen enthält.
- ist eine Riesel-Zahl.
Beweis der Behauptung, dass 509203 eine Riesel-Zahl ist:
Der Beweis funktioniert direkt mittels Modulo-Rechnung.
Zu zeigen ist, dass für alle natürlichen Zahlen immer eine zusammengesetzte Zahl, also niemals eine Primzahl, ist.
Es wird gezeigt, dass es immer eine Zahl aus der Menge gibt, welche teilt (diese Menge nennt man im englischen covering set of 509203).
Beweis:
- Teil 1: Teilbarkeit durch 3:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn ist.
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn gerade ist, also wenn ist.
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 2: Teilbarkeit durch 5:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 3: Teilbarkeit durch 7:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 4: Teilbarkeit durch 13:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 5: Teilbarkeit durch 17:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Es gilt:
- etc.
- Somit durchlaufen die Zweierpotenzen modulo immer einen Zykel der Länge der Form .
- Es ist also genau dann, wenn ist.
- ist somit ein Teiler von genau dann, wenn ist.
- Teil 6: Teilbarkeit durch 241:
- Es ist . Somit gilt:
- teilt genau dann, wenn genau dann, wenn genau dann, wenn . Multipliziert man diese Modulo-Rechnung mit der Inversen von modulo , nämlich mit (es ist ), so erhält man , was gleichwertig ist mit .
- Es ist also