Solenoid (Mathematik) – Wikipedia
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/Smale-Williams_Solenoid_Large.png/220px-Smale-Williams_Solenoid_Large.png)
In der Mathematik sind Solenoide gewisse Kontinua, die unter anderem als Attraktoren in der Theorie der dynamischen Systeme vorkommen.
Definition
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Ein Solenoid ist eine topologische Gruppe, die der projektive Limes einer Folge stetiger Homomorphismen
ist, wobei alle topologische Gruppen homöomorph zur Kreisgruppe sind.
Wenn man die Kreisgruppe als realisiert, dann sind also alle von der Form
für ein . Anschaulich gesprochen wickelt den Kreis -mal um sich selbst, je nach Vorzeichen von in positiver oder negativer Richtung.
Eigenschaften
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Solenoide sind kompakt, zusammenhängend und eindimensional. Sie sind unzerlegbare Kontinua und nicht lokal zusammenhängend oder lokal wegzusammenhängend. Sie lassen sich in den dreidimensionalen euklidischen Raum einbetten und sind damit metrisierbar.
Beispiele
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Smale-Williams_Solenoid.png/220px-Smale-Williams_Solenoid.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5b/Solenoid.gif/220px-Solenoid.gif)
- der projektive Limes , wobei durch die Teilbarkeitsrelation teilgeordnet ist und für die Abbildung von der -ten auf die -te Kopie von durch gegeben ist;
- der projektive Limes , wobei durch die Teilbarkeitsrelation teilgeordnet ist und für die Abbildung von auf von der Identitätsabbildung induziert wird;
- das Pontrjagin-Dual , d. h. die Menge der Gruppenhomomorphismen mit der kompakt-offenen Topologie, wobei die diskrete Topologie trägt;
- die Adeleklassengruppe , wobei der Adelring und diagonal eingebettet ist.
- Das Smale-Williams-Solenoid zu einer Folge natürlicher Zahlen wird wie folgt konstruiert: starte mit einem Volltorus , dann wird ein Volltorus innerhalb von -mal herumgewickelt (das Bild rechts zeigt den Fall ), anschließend wird ein Volltorus innerhalb von -mal herumgewickelt, und so fort. Dabei sollen die Durchmesser des Querschnitts der Volltori gegen Null konvergieren. Die Schnittmenge ist dann homöomorph zum durch die Folge definierten Solenoid.[2]
Literatur
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Leopold Vietoris: Über den höheren Zusammenhang kompakter Räume und eine Klasse von zusammenhangstreuen Abbildungen. Math. Ann. 97 (1927), 454–472.
- David van Dantzig: Über topologisch homogene Kontinua. Fund. Math. 15 (1930), 102–125.
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Solenoid (Encyclopedia of Mathematics)
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Robert Kucharczyk, Peter Scholze: Topological realisations of absolute Galois groups online
- ↑ Robert F. Williams: Expanding attractors. Publ. Math. IHES 43 (1974), 169–203