In der Mathematik ist die Weyl-Kammer (benannt nach Hermann Weyl ) ein Begriff aus der Theorie der Lie-Gruppen . Weyl-Kammern werden bei der Definition positiver und einfacher Wurzeln benötigt, außerdem spielen sie eine zentrale Rolle in der Theorie der Gebäude .
Sei g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} eine endlichdimensionale halbeinfache Lie-Algebra , a ⊂ g {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}} eine Cartan-Unteralgebra und ( a , R ) {\displaystyle ({\mathfrak {a}},R)} das zugehörige Wurzelsystem .
Für eine Wurzel α ∈ R ⊂ a {\displaystyle \alpha \in R\subset {\mathfrak {a}}} bezeichne
E α := { x ∈ a : α ∨ ( x ) = 0 } ⊂ a {\displaystyle E_{\alpha }:=\left\{x\in {\mathfrak {a}}:\alpha ^{\vee }(x)=0\right\}\subset {\mathfrak {a}}} die zugehörige Hyperebene in a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} .
Dann heißen die Zusammenhangskomponenten von
a ∖ ∪ α ∈ R E α {\displaystyle {\mathfrak {a}}\setminus \cup _{\alpha \in R}E_{\alpha }} die Weyl-Kammern des Wurzelsystems.
Die Weyl-Gruppe von g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} wirkt auf a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} und permutiert die Menge der Weyl-Kammern, d. h., die Wirkung der Weyl-Gruppe auf der Menge der Weyl-Kammern ist einfach transitiv und die Anzahl der Weyl-Kammern ist die Kardinalität der Weyl-Gruppe.
Der Abschluss einer Weyl-Kammer ist ein Fundamentalbereich für die Wirkung der Weyl-Gruppe auf a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} .
Es sei X = G / K {\displaystyle X=G/K} ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ . Dann sind alle x {\displaystyle x} enthaltenden Flachs F ⊂ X {\displaystyle F\subset X} von der Form
F = e x p x ( a ) {\displaystyle F=exp_{x}({\mathfrak {a}})} für eine abelsche Unteralgebra a ⊂ p {\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}} . (Hier ist e x p x : p → X {\displaystyle exp_{x}\colon {\mathfrak {p}}\to X} die Exponentialabbildung in x ∈ X {\displaystyle x\in X} und g = k ⊕ p {\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}} die Cartan-Zerlegung .)
Insbesondere lässt sich der Begriff der Weyl-Kammern auf Flachs in symmetrischen Räumen übertragen: Weyl-Kammern in F {\displaystyle F} sind (per Definition) die Bilder der Weyl-Kammern in a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} unter der Exponentialabbildung.
Wurzelsystem A2 Es sei
g = s l ( 3 , R ) = { A ∈ Mat ( 3 , R ) : Spur ( A ) = 0 } {\displaystyle {\mathfrak {g}}=sl(3,\mathbb {R} )=\left\{A\in \operatorname {Mat} (3,\mathbb {R} ):\operatorname {Spur} (A)=0\right\}} und
a = { diag ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) : λ 1 + λ 2 + λ 3 = 0 } {\displaystyle {\mathfrak {a}}=\left\{\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}):\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=0\right\}} . Das zugehörige Wurzelsystem besteht aus den sechs Wurzeln
α 1 = diag ( 1 , − 1 , 0 ) {\displaystyle \alpha _{1}=\operatorname {diag} (1,-1,0)} α 2 = diag ( 1 , 0 , − 1 ) {\displaystyle \alpha _{2}=\operatorname {diag} (1,0,-1)} α 3 = diag ( 0 , 1 , − 1 ) {\displaystyle \alpha _{3}=\operatorname {diag} (0,1,-1)} α 4 = diag ( − 1 , 1 , 0 ) {\displaystyle \alpha _{4}=\operatorname {diag} (-1,1,0)} α 5 = diag ( − 1 , 0 , 1 ) {\displaystyle \alpha _{5}=\operatorname {diag} (-1,0,1)} α 6 = diag ( 0 , − 1 , 1 ) {\displaystyle \alpha _{6}=\operatorname {diag} (0,-1,1)} , entsprechend
α 1 ∨ ( diag ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) ) = λ 1 − λ 2 {\displaystyle \alpha _{1}^{\vee }(\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}))=\lambda _{1}-\lambda _{2}} α 2 ∨ ( diag ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) ) = λ 1 − λ 3 {\displaystyle \alpha _{2}^{\vee }(\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}))=\lambda _{1}-\lambda _{3}} α 3 ∨ ( diag ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) ) = λ 2 − λ 3 {\displaystyle \alpha _{3}^{\vee }(\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}))=\lambda _{2}-\lambda _{3}} α 4 ∨ ( diag ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) ) = λ 2 − λ 1 {\displaystyle \alpha _{4}^{\vee }(\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}))=\lambda _{2}-\lambda _{1}} α 5 ∨ ( diag ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) ) = λ 3 − λ 1 {\displaystyle \alpha _{5}^{\vee }(\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}))=\lambda _{3}-\lambda _{1}} α 6 ∨ ( diag ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) ) = λ 3 − λ 2 {\displaystyle \alpha _{6}^{\vee }(\operatorname {diag} (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}))=\lambda _{3}-\lambda _{2}} . Die E α {\displaystyle E_{\alpha }} sind drei Geraden im zweidimensionalen Vektorraum α {\displaystyle \alpha } , sie zerlegen α {\displaystyle \alpha } in sechs Weyl-Kammern.
Die Weyl-Gruppe ist in diesem Fall die symmetrische Gruppe S 3 {\displaystyle S_{3}} , sie permutiert die sechs Weyl-Kammern.
Armand Borel : Linear algebraic groups. W. A. Benjamin, New York / Amsterdam 1969 Alexander Kirillov Jr.: An introduction to Lie groups and Lie algebras . In: Cambridge Studies in Advanced Mathematics , 113. Cambridge University Press, Cambridge 2008, ISBN 978-0-521-88969-8 Ira Gessel, Doron Zeilberger: Random walk in a Weyl chamber . JSTOR :2159560