In der Mathematik ist die Weylsche Integralformel oder Integralformel von Weyl eine Formel zur Berechnung des Integrals von Funktionen auf kompakten Lie-Gruppen, mit der insbesondere die Berechnung des Integrals von Klassenfunktionen auf eine Integration über den maximalen Torus reduziert werden kann. Sie ist nach Hermann Weyl benannt.
Sei eine kompakte, zusammenhängende Lie-Gruppe, ein maximaler Torus und eine stetige Funktion. Dann ist
- ,
wobei die Weyl-Gruppe von und die Einschränkung der adjungierten Darstellung auf den ersten Summanden der -invarianten Zerlegung bedeutet.
Insbesondere erhält man für eine stetige Klassenfunktion
- ,
man braucht also nur über den maximalen Torus zu integrieren.
Es gilt
- ,
wobei vom Eigenwertproblem abhängt.
Für ergibt sich
- ,
wobei die Vandermonde-Determinante ist, außerdem ist .
Der Beweis folgt aus den Eigenschaften der durch
definierten Abbildung
- ,
nämlich
für den Abbildungsgrad und
für die Determinante des Differentials von .
- T. Bröcker, T. tom Dieck: Representations of compact Lie groups. Springer Verlag New York 1985.
- M. Sepanski: Compact Lie groups. Springer Verlag New York 2007.