Wittvektor – Wikipedia

Wittvektoren sind eine von dem Mathematiker Ernst Witt eingeführte^[1] Verallgemeinerung der Konstruktion der (ganzen) p-adischen Zahlen auf beliebige perfekte Restklassenkörper. Neben diesen ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren gibt es die großen Wittvektoren, aus denen sich die ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren für beliebiges ${\displaystyle p}$ rekonstruieren lassen.

Sei ${\displaystyle p}$ eine feste Primzahl. Für einen Ring ${\displaystyle A}$ (kommutativ, mit Einselement) bilden die Wittvektoren einen von ${\displaystyle p}$ abhängenden Ring ${\displaystyle W_{p}(A)}$. Er ist vor allem für Ringe ${\displaystyle A}$ der Charakteristik ${\displaystyle p}$ interessant, die Konstruktion macht es aber erforderlich, auch andere Ringe zuzulassen.

Sei ${\displaystyle n>1}$ eine ganze Zahl. Als Approximation an eine alternative Konstruktion der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ soll zunächst nur unter Verwendung der Addition und Multiplikation im Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ein zum Restklassenring ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ isomorpher Ring, bezeichnet mit ${\displaystyle W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})}$, konstruiert werden.

Der erste, naive Ansatz dazu wäre die Verwendung der Abbildung ${\displaystyle \sigma :\mathbb {F} _{p}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$, die für ganze Zahlen ${\displaystyle 0\leq k<p}$ die Restklasse von ${\displaystyle k}$ in ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ auf die Restklasse von ${\displaystyle k}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ abbildet. Die Bijektion

${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{n}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,\ \ (x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto \sigma (x_{0})+p\sigma (x_{1})+\dots +p^{n-1}\sigma (x_{n-1})}$

entspricht der Darstellung von ganzen Zahlen in ${\displaystyle \{0,1,\dots ,p^{n}-1\}}$ im Stellenwertsystem zur Basis ${\displaystyle p}$. Die von ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ übertragene Addition ist dann im Fall ${\displaystyle n=2}$:

${\displaystyle (x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+c(x_{0},y_{0})),}$

wobei ${\displaystyle c(x_{0},y_{0})}$ der Übertrag ist. Diese Konstruktion lässt sich nicht gut auf andere Körper als ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ verallgemeinern, auch weil die Definition von ${\displaystyle \sigma }$ von dem aus algebraischer Sicht ungünstigen Vertretersystem ${\displaystyle \{0,1,\dots ,p-1\}\subset \mathbb {Z} }$ Gebrauch macht.

Der korrekte Ansatz basiert auf der folgenden Aussage aus der elementaren Zahlentheorie: Für ganze Zahlen ${\displaystyle u,v}$ gilt:

${\displaystyle u\equiv v\mod p\implies u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}\mod p^{n}}$

(siehe Kongruenz (Zahlentheorie)). Das bedeutet: Ist ${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle u\in \mathbb {Z} }$ ein Vertreter von ${\displaystyle x}$, dann hängt die Restklasse von ${\displaystyle u^{p^{n-1}}}$ in ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ nur von ${\displaystyle x}$, nicht jedoch von der Wahl von ${\displaystyle u}$ ab. Wir schreiben suggestiv ${\displaystyle x^{p^{n-1}}}$ für dieses Element von ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$. (Diese Abbildung ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ist im Wesentlichen das Teichmüller-Vertretersystem für die ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.) Allgemeiner hängt auch die Restklasse von ${\displaystyle p^{k}u^{p^{n-1-k}}}$ nicht von ${\displaystyle u}$ selbst ab, wir scheiben ${\displaystyle p^{k}x^{p^{n-1-k}}}$.

Weil jeweils ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}\to p^{k}\mathbb {Z} /p^{k+1}\mathbb {Z} }$, ${\displaystyle x\mapsto p^{k}x^{p^{n-1-k}}}$ bijektiv ist, erhalten wir durch Aufaddieren eine bijektive Abbildung:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{n-1}{:}\ &\mathbb {F} _{p}^{n}\to \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} ,\\&(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto x_{0}^{p^{n-1}}+px_{1}^{p^{n-2}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-1-k}}+\dots +p^{n-1}x_{n-1}\end{aligned}}}$

Sei ${\displaystyle W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})}$ die Menge ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{n}}$ zusammen mit derjenigen Addition und Multiplikation, die ${\displaystyle w_{n-1}}$ zu einem Isomorphismus machen.

Sei nun speziell ${\displaystyle n=2}$ und damit ${\displaystyle w_{1}(x_{0},x_{1})=x_{0}^{p}+px_{1}}$. Sollen zwei Vektoren ${\displaystyle (x_{0},x_{1})}$ und ${\displaystyle (y_{0},y_{1})}$ addiert werden, also ${\displaystyle (x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(z_{0},z_{1})}$, dann erhält man modulo ${\displaystyle p}$ die Gleichung ${\displaystyle z_{0}^{p}=x_{0}^{p}+y_{0}^{p}}$, also ${\displaystyle z_{0}=x_{0}+y_{0}}$. Damit ist

${\displaystyle pz_{1}=px_{1}+py_{1}+x_{0}^{p}+y_{0}^{p}-(x_{0}+y_{0})^{p}}$

Das Polynom

${\displaystyle X^{p}+Y^{p}-(X+Y)^{p}\in \mathbb {Z} [X,Y]}$

hat durch ${\displaystyle p}$ teilbare Koeffizienten, ist also gleich ${\displaystyle p\cdot S_{1}'(X,Y)}$ mit einem Polynom ${\displaystyle S_{1}'(X,Y)\in \mathbb {Z} [X,Y]}$. Damit ist

${\displaystyle pz_{1}=p(x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))}$

also insgesamt

${\displaystyle (x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))}$

Die Assoziativität der Addition übersetzt sich in eine Gleichung

${\displaystyle S_{1}'(x_{0},y_{0})+S_{1}'(x_{0}+y_{0},z_{0})=S_{1}'(x_{0},y_{0}+z_{0})+S_{1}'(y_{0},z_{0})}$

Man überzeugt sich leicht davon, dass diese Gleichung bereits entsprechend in ${\displaystyle \mathbb {Z} [X,Y,Z]}$ gilt. Das bedeutet, dass man für einen beliebigen kommutativen Ring ${\displaystyle A}$ durch die Festlegung

${\displaystyle (x_{0},x_{1})+(y_{0},y_{1})=(x_{0}+y_{0},x_{1}+y_{1}+S_{1}'(x_{0},y_{0}))}$

die Struktur einer abelschen Gruppe auf ${\displaystyle W_{p,2}(A)=A^{2}}$ definieren kann. Entsprechendes gilt für

${\displaystyle (x_{0},x_{1})\cdot (y_{0},y_{1})=(x_{0}y_{0},P_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}))}$

mit ${\displaystyle P_{1}(X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1})=X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1}}$, so dass ${\displaystyle W_{p,2}(A)}$ zu einem kommutativen Ring mit Einselement ${\displaystyle (1,0)}$ wird.

Bezeichne ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen. Weiterhin ist ${\displaystyle p}$ eine fest gewählte Primzahl.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome ${\displaystyle S_{i},P_{i}\in \mathbb {Z} [X_{0},\dots ,X_{i},Y_{0},\dots ,Y_{i}]}$ für jedes ${\displaystyle i\in \mathbb {N} _{0}}$ derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement ${\displaystyle A}$ gilt: ${\displaystyle W_{p}(A)=A^{\mathbb {N} _{0}}}$ ist ein Ring mit Addition:

${\displaystyle x+y=(S_{0}(x_{0},y_{0}),S_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}),S_{2}(x_{0},x_{1},x_{2},y_{0},y_{1},y_{2}),\dots )}$

und Multiplikation

${\displaystyle x\cdot y=(P_{0}(x_{0},y_{0}),P_{1}(x_{0},x_{1},y_{0},y_{1}),\dots )}$

und für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ist die Abbildung

${\displaystyle W_{p}(A)\to A,\ \ x\mapsto x_{0}^{p^{n}}+px_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-k}}+\dots +p^{n}x_{n}}$

ein Ringhomomorphismus. ${\displaystyle W_{p}(A)}$ heißt Ring der ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren mit Einträgen aus ${\displaystyle A}$. Ist nur die Rede von ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren, wird nur ${\displaystyle W(A)}$ geschrieben.

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{1}}$ ist ${\displaystyle W_{p,n}(A)=A^{n}}$ mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement, der Ring der ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren der Länge ${\displaystyle n}$.^[2]

Das Ringelement

${\displaystyle x^{(n)}=x_{0}^{p^{n}}+px_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{k}x_{k}^{p^{n-k}}+\dots +p^{n}x_{n}\in A}$

wird als ${\displaystyle n}$-te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von ${\displaystyle x\in W_{p}(A)}$ bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

${\displaystyle w_{p,n}(X)=X_{0}^{p^{n}}+pX_{1}^{p^{n-1}}+\dots +p^{n}X_{n}}$

kann man ${\displaystyle S_{n}}$ und ${\displaystyle P_{n}}$ rekursiv berechnen:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(X,Y)&={\frac {1}{p^{n}}}\left(w_{p,n}(X)+w_{p,n}(Y)-\sum _{k=0}^{n-1}p^{k}S_{k}^{p^{n-k}}(X,Y)\right)\\P_{n}(X,Y)&={\frac {1}{p^{n}}}\left(w_{p,n}(X)\cdot w_{p,n}(Y)-\sum _{k=0}^{n-1}p^{k}P_{k}^{p^{n-k}}(X,Y)\right)\end{aligned}}}$

Beispiele:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{0}(X,Y)&=X_{0}+Y_{0}\\S_{1}(X,Y)&=X_{1}+Y_{1}-\sum _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{p}}{\binom {p}{k}}X_{0}^{k}Y_{0}^{p-k}\\P_{0}(X,Y)&=X_{0}Y_{0}\\P_{1}(X,Y)&=X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1}\end{aligned}}}$

Auch die Negation ${\displaystyle x\mapsto -x}$ im Ring ${\displaystyle W_{p}(A)}$ ist durch universelle Polynome gegeben. Für ${\displaystyle p\neq 2}$ ist:

${\displaystyle -(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(-x_{0},-x_{1},-x_{2},\dots )}$

Für ${\displaystyle p=2}$ ist dagegen ${\displaystyle -(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(I_{0}(X),I_{1}(X),I_{2}(X),\dots )}$ mit

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}(X)&=-X_{0}\\I_{1}(X)&=-X_{0}^{2}-X_{1}\\I_{2}(X)&=-X_{0}^{4}-X_{0}^{2}X_{1}-X_{1}^{2}-X_{2}\end{aligned}}}$

Die Abbildung ${\displaystyle \tau \colon A\to W_{p}(A),\ a\mapsto (a,0,0,\dots )}$ ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem (nach Oswald Teichmüller).

Die rekursive Beschreibung liefert ${\displaystyle S_{n},P_{n}\in \mathbb {Q} [X,Y]}$. Um einerseits die Ganzzahligkeit, andererseits die Ringeigenschaften nachzuweisen, zeigt der klassische Beweisansatz allgemeiner:^[3]

Lemma. Ist ${\displaystyle \phi \in \mathbb {Z} [X,Y]}$ ein Polynom (z. B. ${\displaystyle \phi (X,Y)=X+Y}$), dann gibt es eindeutig bestimmte ganzzahlige Polynome ${\displaystyle \phi _{n}\in \mathbb {Z} [X_{0},\dots ,X_{n},Y_{0},\dots ,Y_{n}]}$ mit

${\displaystyle w_{p,n}(\phi _{0},\dots ,\phi _{n})=\phi (w_{p,n}(X_{0},\dots ,X_{n}),w_{p,n}(Y_{0},\dots ,Y_{n}))}$

für alle ${\displaystyle n}$. Entsprechende Versionen dieser Aussage gelten auch für ${\displaystyle X,Y,Z}$ statt ${\displaystyle X,Y}$ oder auch nur ${\displaystyle X}$.

Rationale Eindeutigkeit ist klar, der Ganzzahligkeitsbeweis beruht auf den Eigenschaften ${\displaystyle w_{p,n}(X)\equiv w_{p,n-1}(X^{p})\mod p}$ und ${\displaystyle f(X^{p})\equiv f(X)^{p}\mod p}$ sowie der oben erwähnten Implikation

${\displaystyle u\equiv v\mod p\implies u^{p^{n-1}}\equiv v^{p^{n-1}}\mod p^{n}}$

Die Ringeigenschaften von ${\displaystyle W_{p}(A)}$ folgen aus der Eindeutigkeitsaussage des Lemmas: Sowohl ${\displaystyle x+(y+z)}$ als auch ${\displaystyle (x+y)+z}$ sind durch Polynome gegeben, die Lösungen der folgenden Gleichung sind:

${\displaystyle w_{p,n}(\phi _{0},\dots ,\phi _{n})=w_{p,n}(X_{0},\dots ,X_{n})+w_{p,n}(Y_{0},\dots ,Y_{n})+w_{p,n}(Z_{0},\dots ,Z_{n})}$

Also sind diese Polynome gleich.

Ein anderer Beweisansatz verwendet die Identifikation des Rings der großen Wittvektoren mit dem Ring ${\displaystyle \Lambda (A)}$, siehe unten.

• ${\displaystyle W_{p,1}(A)}$ kann mit ${\displaystyle A}$ identifiziert werden, und ${\displaystyle w_{p,0}:W_{p}(A)\to A}$ mit der Projektion ${\displaystyle x\mapsto x_{0}}$. Alle Projektionen ${\displaystyle W_{p}(A)\to W_{p,n}(A)}$ sind surjektive Ringhomomorphismen, und

${\displaystyle W_{p}(A)=\varprojlim _{n}W_{p,n}(A)}$

(siehe Projektiver Limes)

• ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} _{p}}$ und ${\displaystyle W_{p,n}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$
• Wenn ${\displaystyle p}$ in ${\displaystyle A}$ invertierbar ist, dann ist die Abbildung auf die Geisterkomponenten ${\displaystyle w_{p}:W_{p}(A)\to A^{\mathbb {N} _{0}}}$ ein Ringisomorphismus.
• Weitere Beispiele (unter beiden Isomorphismen entspricht ${\displaystyle X}$ dem Vektor ${\displaystyle (0,1)}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}&W_{p,2}(\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} [X]/(X^{2}-pX)\\&W_{p,2}(\mathbb {Z} /p^{2}\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /p^{3}\mathbb {Z} [X]/(X^{2}-pX,pX-p^{2})\end{aligned}}}$

Sei ${\displaystyle k}$ ein perfekter Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$. Dann ist ${\displaystyle W_{p}(k)}$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring gemischter Charakteristik (d. h. ${\displaystyle {\text{char}}(W_{p}(k))=0}$), dessen maximales Ideal von ${\displaystyle p}$ erzeugt wird. Diese Eigenschaft charakterisiert ${\displaystyle W_{p}(k)}$ bis auf Isomorphie.

Wittvektoren spielen eine wichtige Rolle in der Strukturtheorie vollständiger lokaler Ringe (nach I. S. Cohen):

• Satz von Teichmüller-Witt: Ist ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring mit Restklassenkörper ${\displaystyle k}$, dann gibt es genau einen Homomorphismus ${\displaystyle W_{p}(k)\to A}$, so dass die Verkettung mit der Projektion ${\displaystyle A\to k}$ gleich der Projektion ${\displaystyle W_{p}(k)\to k}$ ist. Es gibt genau einen multiplikativen Schnitt ${\displaystyle \tau _{A}\colon k\to A}$ der Projektion ${\displaystyle A\to k}$, genannt Teichmüller-Vertretersystem, und die Abbildung ${\displaystyle W_{p}(k)\to A}$ ist:^[4]

${\displaystyle x\mapsto \sum _{n=0}^{\infty }p^{n}\cdot \tau _{A}(x_{n}^{1/p^{n}})}$

• ${\displaystyle A}$ ist als ${\displaystyle W_{p}(k)}$-Algebra isomorph zu einem Quotienten von ${\displaystyle W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{m}]]}$ mit ${\displaystyle m=\dim _{k}({\mathfrak {m}}/({\mathfrak {m}}^{2}+pA))}$.
• Ist ${\displaystyle p}$ kein Nullteiler in ${\displaystyle A}$, dann gibt es Elemente ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{d-1}}$ mit ${\displaystyle d=\dim(A)}$, so dass der induzierte Homomorphismus ${\displaystyle W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{d-1}]]\to A}$ injektiv ist und ${\displaystyle A}$ als ${\displaystyle W_{p}(k)[[T_{1},\dots ,T_{d-1}]]}$-Modul endlich erzeugt ist.
• Im Spezialfall ${\displaystyle d=1}$ bedeutet das genauer: Ist ${\displaystyle (A,{\mathfrak {m}})}$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Restklassenkörper ${\displaystyle k}$, dann ist ${\displaystyle A}$ eine endliche Erweiterung von ${\displaystyle W_{p}(k)}$ vom Grad ${\displaystyle e}$, wenn ${\displaystyle e}$ die normalisierte Bewertung von ${\displaystyle p}$ ist, also ${\displaystyle pA={\mathfrak {m}}^{e}}$ gilt.

Für nicht perfekte Körper übernehmen Cohen-Ringe die Rolle von ${\displaystyle W_{p}(k)}$.

Sei ${\displaystyle A}$ ein Ring der Charakteristik ${\displaystyle p}$. Die Verschiebung ist die Abbildung

${\displaystyle {\begin{aligned}V{:}\ &W_{p}(A)\to W_{p}(A),\\&(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (0,x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\end{aligned}}}$

Sie ist ein Homomorphismus der additiven Gruppen. Durch Abschneiden erhält man induzierte Homomorphismen

${\displaystyle {\begin{aligned}&W_{p,n}(A)\to W_{p,n+1}(A),\\&(x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\mapsto (0,x_{0},x_{1},\dots ,x_{n-1})\end{aligned}}}$

Der Frobeniushomomorphismus (in Anlehnung an den Frobeniushomomorphismus von Körpern der Charakteristik ${\displaystyle p}$) ist die Abbildung

${\displaystyle {\begin{aligned}F{:}\ &W_{p}(A)\to W_{p}(A),\\&(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )\mapsto (x_{0}^{p},x_{1}^{p},x_{2}^{p},\dots )\end{aligned}}}$

Sie ist ein Ringhomomorphismus, der sich zu Ringhomomorphismen ${\displaystyle W_{p,n}(A)\to W_{p,n}(A)}$ einschränkt. Sei ${\displaystyle [p]}$ die Multiplikation mit ${\displaystyle p}$ auf ${\displaystyle W_{p}(A)}$. Dann ist

${\displaystyle F\circ V=V\circ F=[p]}$

somit

${\displaystyle [p](x_{0},x_{1},x_{2},\dots )=(0,x_{0}^{p},x_{1}^{p},\dots )}$

insbesondere

${\displaystyle p\cdot 1_{W_{p}(A)}=(0,1,0,0,0,\dots )}$

Außerdem ist

${\displaystyle V(a\cdot F(b))=V(a)\cdot b}$

Frobenius und Verschiebung sind Spezialfälle einer allgemeineren Konstruktion, siehe Frobeniushomomorphismus#Verschiebung.

Sei ${\displaystyle K}$ der Quotientenkörper von ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {F} _{q})}$. Dann ist ${\displaystyle F}$ der (arithmetische) Frobeniusautomorphismus für die Körpererweiterung ${\displaystyle K/\mathbb {Q} _{p}}$.

Sei ${\displaystyle k}$ ein perfekter Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$. Schreibt man ${\displaystyle W=W_{p}(k)}$ und ${\displaystyle W^{\sigma }}$ für den ${\displaystyle W}$-Modul ${\displaystyle W}$, bei dem die Modulstruktur durch ${\displaystyle F}$ gegeben ist, dann erhält man Modulhomomorphismen

${\displaystyle F\colon W\to W^{\sigma },\ \ V\colon W^{\sigma }\to W}$

in Analogie zu Frobenius und Verschiebung für algebraische Gruppen in Charakteristik ${\displaystyle p}$. Ist allgemeiner ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle W}$-Modul zusammen mit zwei Modulhomomorphismen ${\displaystyle F\colon M\to M^{\sigma }}$ und ${\displaystyle V\colon M^{\sigma }\to M}$, kann man diese Struktur zusammenfassen als Modul für den Dieudonné-Ring ${\displaystyle D_{k}}$ (nach Jean Dieudonné), den nichtkommutativen Ring, der von ${\displaystyle W_{p}(k)}$ und zwei Symbolen ${\displaystyle \mathbf {F} ,\mathbf {V} }$ erzeugt wird, mit den Relationen

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {V} \cdot \mathbf {F} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {V} =p\\&\mathbf {V} \cdot F(a)=a\cdot \mathbf {V} \\&\mathbf {F} \cdot a=F(a)\cdot \mathbf {F} \end{aligned}}}$

Die klassische Dieudonné-Theorie ist eine Äquivalenz von Kategorien zwischen kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen und bestimmten ${\displaystyle D_{k}}$-Moduln. Siehe auch unten.

Für beliebige Ringe ${\displaystyle A}$ muss die Definition des Frobeniushomomorphismus modifiziert werden: er ist durch die Gleichung ${\displaystyle w_{p,n+1}=w_{p,n}\circ F}$ charakterisiert. Insbesondere ist die 0-te Komponente ${\displaystyle F_{0}(x)=x_{0}^{p}+px_{1}}$. Der Frobeniushomomorphismus ist auch im allgemeinen Fall ein Ringhomomorphismus. Es gilt^[5]

${\displaystyle Fx\equiv x^{p}\mod pW(A)}$

Durch Abschneiden erhält man Ringhomomorphismen

${\displaystyle W_{p,n}(A)\to W_{p,n-1}(A)}$

(also nicht mehr mit Ziel ${\displaystyle W_{p,n}(A)}$ wie im Fall der Charakteristik ${\displaystyle p}$). Allgemein gilt immer noch

${\displaystyle FV=[p]}$

und

${\displaystyle V(a\cdot F(b))=V(a)\cdot b}$

Sei ${\displaystyle A}$ ein ${\displaystyle p}$-torsionsfreier Ring. Ein Frobeniuslift ist ein Ringhomomorphismus ${\displaystyle \sigma \colon A\to A}$ mit ${\displaystyle \sigma (a)\equiv a^{p}\mod pA}$. Für einen Frobeniuslift existiert nach Dieudonné-Cartier eine eindeutig bestimmte Fortsetzung ${\displaystyle s\colon A\to W_{p}(A)}$, für die ${\displaystyle w_{p,n}\circ s=\sigma ^{n}}$ für alle ${\displaystyle n}$ gilt. Sie erfüllt ${\displaystyle F\circ s=s\circ \sigma }$. Da ${\displaystyle W_{p}(A)}$ selbst über den Frobeniuslift ${\displaystyle F}$ verfügt, erhält man zunächst für ${\displaystyle p}$-torsionsfreie Ringe und durch universelle Formeln für beliebige Ringe eine natürliche Transformation ${\displaystyle \mu \colon W_{p}\to W_{p}\circ W_{p}}$, die durch ${\displaystyle w_{p,n}\circ \mu =F^{n}}$ charakterisiert ist. Sie wird auch Artin-Hasse-Exponentialfunktion genannt, siehe auch unten, und definiert eine Komonade ${\displaystyle (W_{p},\mu ,w_{0})}$.^[6]

Die Restriktion auf ${\displaystyle p}$-torsionsfreie Ringe lässt sich dadurch beseitigen, dass man zu ${\displaystyle p}$-Derivationen übergeht: Für einen Ring ${\displaystyle A}$ ist eine ${\displaystyle p}$-Derivation eine Abbildung ${\displaystyle \delta \colon A\to A}$, für die die Abbildung

${\displaystyle s_{2,\delta }\colon A\to W_{p,2}(A),\ a\mapsto (a,\delta (a))}$

ein Ringhomomorphismus ist. Konkret bedeutet das, dass ${\displaystyle \delta }$ die folgenden Gleichungen erfüllt:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\delta (1)=0\\&\delta (a+b)=S_{1}(a,\delta (a),b,\delta (b))=\delta (a)+\delta (b)+\sum _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{p}}{\binom {p}{k}}a^{k}b^{p-k}\\&\delta (ab)=P_{1}(a,\delta (a),b,\delta (b))=a^{p}\delta (b)+\delta (a)b^{p}+p\cdot \delta (a)\delta (b)\end{aligned}}}$

Eine ${\displaystyle p}$-Derivation ${\displaystyle \delta }$ definiert durch ${\displaystyle w_{p,1}\circ s_{2,\delta }\colon a\mapsto a^{p}+p\cdot \delta (a)}$ einen Frobeniuslift auf ${\displaystyle A}$. Ist ${\displaystyle A}$ torsionsfrei, erhält man umgekehrt aus einem Frobeniuslift ${\displaystyle \sigma }$ eine ${\displaystyle p}$-Derivation

${\displaystyle \delta \colon A\to A,\ \delta (a)={\frac {\sigma (a)-a^{p}}{p}}}$

Ein Ring zusammen mit einer ${\displaystyle p}$-Derivation wird als δ-Ring bezeichnet.^[7]

Die Situation ist insofern analog zu gewöhnlichen Derivationen ${\displaystyle d\colon A\to A}$, als diese sich dadurch charakterisieren lassen, dass ${\displaystyle A\to A[T]/T^{2},\ a\mapsto (a,d(a))}$ ein Ringhomomorphismus ist.

Die Koalgebren für die oben definierte Komonade können mit den δ-Ringen identifiziert werden. Insbesondere ist ${\displaystyle W_{p}}$ rechtsadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der δ-Ringe in die Kategorie der Ringe.^[8] Es existiert auch eine duale Beschreibung basierend auf der „Plethorie“ ${\displaystyle \Lambda _{p}}$, die ${\displaystyle W_{p}}$ als Endofunktor der Kategorie der Ringe darstellt.^[9]

Sei ${\displaystyle A}$ ein Ring mit ${\displaystyle pA=0}$.

• Wenn ${\displaystyle A}$ ein Integritätsbereich ist, dann auch ${\displaystyle W_{p}(A)}$, und es gilt ${\displaystyle {\text{char}}(W_{p}(A))=0}$.
• Die Einheiten von ${\displaystyle W_{p}(A)}$ sind genau die Elemente ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle x_{0}\in A^{*}}$.
• Wenn ${\displaystyle A}$ ein Körper ist, dann ist ${\displaystyle W_{p}(A)}$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal ${\displaystyle V(W_{p}(A))}$. Außerdem ist ${\displaystyle W_{p}(A)}$ genau dann noethersch, wenn ${\displaystyle A}$ perfekt ist.^[10]
• Wenn ${\displaystyle A\to A,\ a\mapsto a^{p}}$ surjektiv ist, dann ist ${\displaystyle V(W_{p}(A))=pW_{p}(A)}$ und somit ${\displaystyle W_{p}(A)/pW_{p}(A)\cong A}$.
• Ist ${\displaystyle A}$ perfekt, d. h. ${\displaystyle a\mapsto a^{p}}$ bijektiv, dann lässt sich ein Wittvektor ${\displaystyle x=(x_{0},x_{1},x_{2},\dots )}$ mit der Teichmüller-Abbildung ${\displaystyle \tau \colon A\to W_{p}(A)}$ als ${\displaystyle p}$-adisch konvergente Reihe schreiben:

${\displaystyle x=\sum _{n=0}^{\infty }V^{n}\tau (x_{n})=\sum _{n=0}^{\infty }p^{n}\cdot \tau (x_{n}^{1/p^{n}})}$

• Ist ${\displaystyle A}$ ein Integritätsbereich, und sind alle Primzahlen ${\displaystyle \neq p}$ in ${\displaystyle A}$ invertierbar (z. B. wenn ${\displaystyle A}$ ein Körper ist), dann kann man die Einheitengruppen ${\displaystyle A[[T]]^{*}}$ und ${\displaystyle A((T))^{*}}$ (formale Potenzreihen bzw. Laurentreihen) sowie ${\displaystyle (A[T]/T^{n}A[T])^{*}}$ durch ${\displaystyle W_{p}(A)}$ beschreiben, siehe unten.

• Artin-Schreier-Witt-Theorie: Ist ${\displaystyle K}$ ein Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$, können abelsche Erweiterungen vom Exponenten ${\displaystyle p^{n}}$ von ${\displaystyle K}$ mit Hilfe der Wittvektoren ${\displaystyle W_{p,n}}$ klassifiziert werden.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein Schema über einem Körper ${\displaystyle k}$ der Charakteristik ${\displaystyle p}$, dann gibt es nicht immer ein flaches Schema ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ über ${\displaystyle W_{p}(k)}$ mit ${\displaystyle {\tilde {X}}\times _{{\text{Spec }}W_{p}(k)}{\text{Spec }}k\cong X}$. Die Existenz eines Lifts nach ${\displaystyle W_{p,2}(k)}$ spielt eine Rolle im Beweis der Degeneration der Hodge-de-Rham-Spektralsequenz von Pierre Deligne und Luc Illusie.^[11]
• Ist ${\displaystyle X/k}$ glatt, existieren Lifts lokal. Stattet man die lokalen Lifts noch mit einer PD-Struktur aus, die bewirkt, dass ein Analogon des Poincaré-Lemmas gilt, erhält man die kristalline Kohomologie. Die kristallinen Kohomologiegruppen sind ${\displaystyle W(k)}$-Moduln. Tensoriert man mit dem Quotientenkörper, erhält man eine Weil-Kohomologie, die l-adische Kohomologie für ${\displaystyle l\neq p}$ ergänzend.
• Ist ${\displaystyle X}$ ein Schema über ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$, so ist der topologische Raum ${\displaystyle X}$ mit der Garbe ${\displaystyle W_{n}{\mathcal {O}}_{X}}$ wieder ein Schema ${\displaystyle W_{n}(X)}$. Der De-Rham-Witt-Komplex ${\displaystyle W_{n}\Omega _{X}^{\cdot }}$ ist ein geeigneter Quotient von ${\displaystyle \Omega _{W_{n}{\mathcal {O}}_{X}}^{\cdot }}$. Für ${\displaystyle X}$ glatt ist die kristalline Kohomologie ${\displaystyle H^{*}(X/W_{n})}$ isomorph zur Hyperkohomologie von ${\displaystyle W_{n}\Omega _{X}^{\cdot }}$.^[12]
• Es gibt Ansätze, Wittvektoren auf die Analyse des Verschlüsselungsverfahrens NTRUEncrypt anzuwenden.^[13]

Sei ${\displaystyle k}$ ein perfekter Körper der Charakteristik ${\displaystyle p}$. Die Wittvektoren der Länge ${\displaystyle n}$ bilden eine kommutative algebraische Gruppe ${\displaystyle W_{n}}$ über ${\displaystyle k}$, die als Varietät isomorph zum affinen Raum ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ist. ${\displaystyle W_{n}}$ ist eine unipotente Gruppe: Das folgt aus der Filtrierung ${\displaystyle V^{k}W_{n}}$ mit Subquotienten ${\displaystyle \cong \mathbb {G} _{a}}$ oder der Artin-Hasse-Einbettung ${\displaystyle W_{n}(A)\to (A[T]/(T^{p^{n}+1}))^{*}}$.

In Charakteristik 0 ist jede kommutative unipotente Gruppe isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}^{d}}$. In positiver Charakteristik ist die Theorie wesentlich komplexer: Es gibt nichttriviale Erweiterungen, und außer ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$ gibt es noch die möglichen Kompositionsfaktoren ${\displaystyle {\underline {\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }}}$ und ${\displaystyle \alpha _{p}}$ (der Kern des Frobeniusmorphismus auf ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$, explizit ${\displaystyle \alpha _{p}(A)=\{a\in A:a^{p}=0\}}$).

Jede kommutative unipotente Gruppe über ${\displaystyle k}$ ist isogen zu einem Produkt von Wittvektorgruppen.^[14] Der Hauptsatz der klassischen Dieudonné-Theorie besagt: Der Funktor

${\displaystyle M(G)=\varinjlim _{n}{\text{Hom}}(G,W_{n})}$

definiert eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der kommutativen unipotenten algebraischen Gruppen über ${\displaystyle k}$ und der Kategorie der endlich erzeugten ${\displaystyle D_{k}}$-Moduln, auf denen ${\displaystyle V}$ nilpotent wirkt.^[15] Mit Hilfe der Cartier-Dualität oder mit Witt-Kovektoren kann man eine analoge Äquivalenz für endliche ${\displaystyle p}$-Gruppen sowie für p-divisible Gruppen konstruieren.^[16]

Für eine abelsche Varietät ${\displaystyle X/k}$ gibt es einen kanonischen Isomorphismus von ${\displaystyle D_{k}}$-Moduln ${\displaystyle M({}_{p}X)\cong H_{\text{DR}}^{1}(X)}$. Dabei ist ${\displaystyle {}_{p}X}$ der Kern der Multiplikation mit ${\displaystyle p}$ auf ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle H_{\text{DR}}^{1}(X)}$ die algebraische De-Rham-Kohomologie von ${\displaystyle X}$.^[17] Der Dieudonné-Modul der ${\displaystyle p}$-divisiblen Gruppe von ${\displaystyle X}$ ist isomorph zur kristallinen Kohomologie ${\displaystyle H_{\text{cris}}^{1}(X/W)}$.^[18]

Wie Wittvektoren eine Verallgemeinerung der ${\displaystyle p}$-adischen Zahlen ${\displaystyle W_{p}(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Z} _{p}=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ sind, so sind Witt-Kovektoren eine Verallgemeinerung der Prüfergruppe ${\displaystyle CW(\mathbb {F} _{p})=\mathbb {Q} _{p}/\mathbb {Z} _{p}=\varinjlim _{n}{\tfrac {1}{p^{n}}}\mathbb {Z} /\mathbb {Z} }$. Der Funktor ${\displaystyle M(G)={\text{Hom}}(G,CW)}$ erlaubt eine einheitliche Darstellung der Dieudonné-Theorie für endliche kommutative ${\displaystyle p}$-Gruppen und ${\displaystyle p}$-divisible Gruppen über einem perfekten Körper.^[19]

Für einen Ring ${\displaystyle A}$ sei ${\displaystyle CW^{u}(A)}$ der direkte Limes von

${\displaystyle W_{p,1}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}W_{p,2}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}W_{p,3}(A){\stackrel {V}{\longrightarrow }}\dots }$

Damit wird ${\displaystyle CW^{u}}$ zu einem Ind-Gruppenschema. In älterer Literatur wird auch das Symbol ${\displaystyle \mathop {W} _{\to }}$ verwendet. ${\displaystyle CW^{u}(A)}$ heißt Gruppe der unipotenten Witt-Kovektoren.^[20]

Die Konstruktion der topologischen Gruppe ${\displaystyle CW(A)}$ aller Witt-Kovektoren ist komplizierter: Elemente in ${\displaystyle CW^{u}(A)}$ können mit Folgen ${\displaystyle (x_{0},x_{-1},x_{-2},\dots )}$ identifiziert werden, die ab einem Index null sind. Mit denselben universellen Formeln kann man für Folgen, die ab einem festen Index ${\displaystyle r}$ Werte in einem festen nilpotenten Ideal ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ haben, eine Addition erklären. Statte diese Gruppen ${\displaystyle CW(A,{\mathfrak {n}},r)}$ mit der Produkttopologie von ${\displaystyle A^{r}\times {\mathfrak {n}}^{\mathbb {N} }}$ mit diskreten Faktoren aus und setze ${\displaystyle CW(A)=\varinjlim _{{\mathfrak {n}},r}CW(A,{\mathfrak {n}},r)}$. Die unipotenten Kovektoren ${\displaystyle CW^{u}(A)}$ bilden eine dichte Untergruppe von ${\displaystyle CW(A)}$.^[21]

Sei ${\displaystyle A}$ ein perfekter Ring der Charakteristik ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle f\colon A\to B}$ eine ${\displaystyle A}$-Algebra. Die Abbildung

${\displaystyle W_{p}(A)\times W_{p,n}(B)\to W_{p,n}(B),\ \ (a,b)\mapsto W(f)(F^{1-n}a)\cdot b}$

macht ${\displaystyle W_{p,n}(B)}$ zu einem ${\displaystyle W_{p}(A)}$-Modul (abweichend von der weiter oben definierten Modulstruktur), und mit dem Frobenius und der Verschiebung wird ${\displaystyle W_{p,n}(B)}$ zu einem ${\displaystyle D_{A}}$-Modul. Die Verschiebung ${\displaystyle W_{p,n}(B)\to W_{p,n+1}(B)}$ ist ${\displaystyle D_{A}}$-linear, und man erhält eine ${\displaystyle D_{A}}$-Modulstruktur auf ${\displaystyle CW^{u}(B)}$ und ${\displaystyle CW(B)}$.^[22]

Sei ${\displaystyle A}$ ein vollständiger diskreter Bewertungsring der Charakteristik 0 mit Uniformisierender ${\displaystyle \pi }$, dessen Restklassenkörper ein endlicher Körper mit ${\displaystyle q}$ Elementen ist. Dann gibt es genau eine funktorielle ${\displaystyle A}$-Algebra-Struktur auf ${\displaystyle W_{\pi }^{A}(B)=B^{\mathbb {N} _{0}}}$ für ${\displaystyle A}$-Algebren ${\displaystyle B}$, so dass

${\displaystyle w_{\pi ,n}:W_{\pi }^{A}(B)\to B,\ \ (x_{0},x_{1},\dots )\mapsto \sum _{k=0}^{n}\pi ^{k}x_{k}^{q^{n-k}}}$

für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$ ein Homomorphismus von ${\displaystyle A}$-Algebren ist. Es gibt Frobenius- und Verschiebungsoperatoren ${\displaystyle F_{\pi },V_{\pi }}$, die durch

${\displaystyle w_{\pi ,n}\circ V_{\pi }=\pi \cdot w_{\pi ,n-1},\ \ w_{\pi ,n}\circ F_{\pi }=w_{\pi ,n+1}}$

charakterisiert sind. Für eine endliche Erweiterung ${\displaystyle \lambda /\mathbb {F} _{q}}$ des Restklassenkörpers von ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle W_{\pi }^{A}(\lambda )}$ eine unverzweigte Erweiterung von ${\displaystyle A}$ vom Grad ${\displaystyle [\lambda :\mathbb {F} _{q}]}$. Verzweigte Wittvektoren übernehmen die Rolle der gewöhnlichen Wittvektoren bei der Übertragung der Cartier-Theorie auf formale ${\displaystyle A}$-Moduln.^[23]

Bezeichne ${\displaystyle \mathbb {N} _{1}}$ die Menge der positiven ganzen Zahlen.

Es gibt eindeutig bestimmte Polynome ${\displaystyle S_{i},P_{i}\in \mathbb {Z} [X_{1},\dots ,X_{i},Y_{1},\dots ,Y_{i}]}$ derart, dass für jeden kommutativen Ring mit Einselement ${\displaystyle A}$ gilt: ${\displaystyle W(A)=A^{\mathbb {N} _{1}}}$ ist ein Ring mit Addition

${\displaystyle x+y=(S_{1}(x_{1},y_{1}),S_{2}(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}),S_{3}(x_{1},x_{2},x_{3},y_{1},y_{2},y_{3}),\dots )}$

und Multiplikation

${\displaystyle x\cdot y=(P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}),\dots )}$

und für jedes ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{1}}$ ist die Abbildung

${\displaystyle W(A)\to A,\ \ x\mapsto \sum _{d|n}dx_{d}^{n/d}}$

ein Ringhomomorphismus. Auch das additiv Inverse ${\displaystyle -x}$ ist durch universelle Polynome gegeben. ${\displaystyle W(A)}$ heißt der Ring der großen oder universellen Wittvektoren mit Einträgen aus ${\displaystyle A}$.

Ist ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {N} _{1}}$ eine Teilmenge, so dass für ${\displaystyle n\in S}$ auch jeder Teiler von ${\displaystyle n}$ in ${\displaystyle S}$ liegt, dann ist ${\displaystyle W_{S}(A)=A^{S}}$ mit der entsprechend abgeschnittenen Addition und Multiplikation von ${\displaystyle W(A)}$ ebenfalls ein kommutativer Ring mit Einselement. Für ${\displaystyle S=\{1,\dots ,n\}}$ erhält man den Ring ${\displaystyle W_{[n]}(A)}$ der großen Wittvektoren der Länge ${\displaystyle n}$, für ${\displaystyle S=\{1,p,p^{2},\dots \}}$ mit einer Primzahl ${\displaystyle p}$ erhält man bis auf Umindizierung den Ring der ${\displaystyle p}$-typischen Wittvektoren, siehe unten.

Das Ringelement

${\displaystyle x^{(n)}=\sum _{d|n}dx_{d}^{n/d}}$

wird als ${\displaystyle n}$-te Geisterkomponente oder Nebenkomponente von ${\displaystyle x\in W(A)}$ bezeichnet. Mit den Witt-Polynomen

${\displaystyle w_{n}(X)=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}}$

kann man ${\displaystyle S_{n}}$ und ${\displaystyle P_{n}}$ rekursiv berechnen:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}(X,Y)&={\frac {1}{n}}\left(w_{n}(X)+w_{n}(Y)-\sum _{d|n,\ d<n}dS_{d}^{n/d}(X,Y)\right)\\P_{n}(X,Y)&={\frac {1}{n}}\left(w_{n}(X)\cdot w_{n}(Y)-\sum _{d|n,\ d<n}dP_{d}^{n/d}(X,Y)\right)\end{aligned}}}$

Die Abbildung ${\displaystyle \tau \colon A\to W(A),\ a\mapsto (a,0,0,\dots )}$ ist multiplikativ und heißt Teichmüller-Vertretersystem.

${\displaystyle W}$ ist als mengenwertiger Funktor darstellbar durch einen Polynomring in abzählbar unendlich vielen Unbestimmten. In der Praxis verwendet man konkret den Ring der symmetrischen Polynome, und Strukturen von ${\displaystyle W}$ zu übertragen.^[24]

Sei ${\displaystyle \Lambda (A)=1+T\cdot A[[T]]\subseteq A[[T]]^{*}}$ die multiplikative Gruppe der formalen Potenzreihen mit konstantem Term 1. Die Abbildung

${\displaystyle {\begin{aligned}&W(A)\to \Lambda (A)\\&x\m$