Z-Transformation – Wikipedia
Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich (zyklisch) abgetasteten Signalen und linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Sie ist aus der Laplace-Transformation entstanden und hat auch ähnliche Eigenschaften und Berechnungsregeln. Die z-Transformation gilt für Signale im diskreten Zeitbereich (Wertefolgen), während die Laplace-Transformation für entsprechende Berechnungen im kontinuierlichen Zeitbereich dient. (Bezüglich des Zusammenhangs zwischen z-Transformation und Laplace-Transformation siehe auch: Matched-z-Transformation.)
Ein Vorteil der Anwendung der z-Transformation ergibt sich, wenn eine Wertefolge und eine systembeschreibende Differenzengleichung in eine algebraisch zusammengefasste z-Übertragungsfunktion überführt wird. Die z-Übertragungsfunktion dient der Systemanalyse, d. h. der Analyse des Systemverhalten bei verschiedenen Anregungen und insbesondere auch der Stabilitätsanalyse. Der Verlauf der Systemausgangsgröße kann bei gegebener Eingangsgröße durch verschiedene Methoden der inversen z-Transformation in den zeitdiskreten Bereich und dann im Zeitbereich dargestellt werden.
Die z-Transformation wird größtenteils für die digitale Steuer- und Regelungstechnik und zur Berechnung digitaler Filter angewendet. Man kann sie aber auch zur Gewinnung von expliziten Formeln für rekursiv definierte Zahlenfolgen einsetzen.
Einführung in die z-Transformation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Geschichtliche Entwicklung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die grundsätzlichen Ideen zur z-Transformation gehen auf Pierre-Simon Laplace zurück und wurden 1947 von Witold Hurewicz zur Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten verwendet.[Einzelnachweise 1]
Ursprünglich wurde sie als „Laplace-Transformation von Abtastfunktionen“ eingeführt, im Jahr 1952 erfolgte die heute übliche Begriffsfestlegung z-Transformation durch John R. Ragazzini und Lotfi A. Zadeh bei Arbeiten mit zeitdiskreten Daten im Rahmen der Regelungstechnik an der Columbia University.[Einzelnachweise 2][Einzelnachweise 3]
Die Modifizierte z-Transformation geht auf Arbeiten von Eliahu Ibrahim Jury aus dem Jahr 1958 zurück.[Einzelnachweise 4]
Bedeutung der z-Transformation und Anwendung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der z-Bereich ist eine abstrakte mathematische Welt, die eine Reihe von Eigenschaften hat, die bei Untersuchungen von Systemeigenschaften sehr hilfreich ist (Zitat: Vorlesungsskript Uni Wien).
Abgetastete Signale werden benötigt, wenn Computer zeitinvariante dynamische Systeme und Signale zeitdiskret in Form von Differenzengleichungen berechnen sollen. Dabei geht es meist um die Anwendung für die digitale Regelung und Regelstrecken.
Abgetastete Signale im Abstand können mit Hilfe der z-Transformation mathematisch definiert werden. Die zeitkontinuierliche Beschreibung des abgetasteten Signals als modulierte Impulsfolgen mit stellt nur eine mathematische Modellvorstellung dar. Die unendlich hohen und schmalen Dirac-Impulse existieren in Wirklichkeit nicht. In der Realität müssen die zeitlichen Abtastfolgen sehr klein im Verhältnis der Systemzeitkonstanten liegen, anderenfalls wird das Rechenergebnis ungenau. Die rekursiven Differenzengleichungen bilden nur Annäherungen an eine gewünschte Originalfunktion.
Die z-Transformation hat für diskrete Systeme dieselbe Bedeutung, wie die Laplace-Transformation für kontinuierliche Systeme. Das Verständnis der Anwendung der z-Transformation im Gegensatz zur Laplace-Transformation ist ungleich schwieriger, weil die Abtastung bei Einsatz von Mikrocomputern eine Ein-Ausgangshardware mit Zeitverhalten darstellt. Für die Beschreibung dynamischer Systeme z. B. bei Reglern zur Parametrisierung müssen Regelstrecken identifiziert und Differenzengleichungen gebildet werden.
Die Anwendung der z-Transformation erleichtert die Prozedur der Berechnung der zeitdiskreten Signalfolgen mit Differenzengleichungen zu z-Übertragungsfunktionen. Diese werden mit inverser z-Transformation zurück vom z-Bereich in den k-Bereich der abgetasteten Signale transformiert und liefern damit als Ausgangsgröße Signalfolgen im diskreten Zeitbereich.
Mit Hilfe der z-Transformation können aus systembeschreibenden Differenzengleichungen mit zeitdiskreten Signalen zu z-Übertragungsfunktionen als gebrochen rationale Funktionen berechnet werden, die – ähnlich bei der Laplace-Transformation – durch Pole und Nullstellen das Systemverhalten identifizieren. Damit sind algebraische Operationen mit anderen z-transformierten Systemen und z-transformierten Signalen möglich.
Gleichungen und Eigenschaften der z-Transformation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die häufig verwendeten z-Transformationsbeziehungen zwischen dem k- und z-Bereich werden in Tabellenform dargestellt und erleichtern damit die Berechnungen (siehe #Tabelle der Korrespondenzen des Zeitbereichs f(t), des Laplace- und z-Bereichs (Auszüge)).
Definitionen der verwendeten Variablen und Parameter:
= Signal im Bildbereich; = z-Variable; = Abtastzeit, = Abtastfolge = Nummerierung eines Folgegliedes, = Zahl bestimmter Abtastschritte, z. B. bei Verschiebungen.
Bilaterale z-Transformation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die bilaterale z-Transformation eines Signals ist die formale Laurent-Reihe :
- ,
wobei alle ganzen Zahlen durchläuft und im Allgemeinen eine komplexe Zahl der Form:
ist. ist der Betrag von und der Winkel der komplexen Zahl in Polarkoordinaten. Alternativ kann auch in kartesischer Form als Realteil und Imaginärteil beschrieben werden.
Unter gewissen Konvergenzbedingungen ist die z-Transformierte eine holomorphe Funktion auf einem Kreisring in der komplexen Zahlenebene, unter schwächeren Bedingungen immerhin noch eine quadratintegrierbare Funktion auf dem Einheitskreis.
Unilaterale z-Transformation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Substituiert man in der Beschreibung einer Abtastfolge im Laplace-Bereich den Ausdruck durch , so erhält man eine Potenzreihe in :
Dabei ist
Wenn nur nichtnegative Werte hat, kann die unilaterale z-Transformation definiert werden:
In der Signalverarbeitung wird die unilaterale z-Transformation für kausale Signale verwendet.
Eigenschaften wie Linearität, Verschiebung, Faltung, Differentiation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Linearität. Die z-Transformierte von zwei linear verknüpften Signalen ist die lineare Verknüpfung der beiden z-transformierten Signale.
- Verschiebung. Wird das Signal im Zeitbereich um n nach rechts verschoben, so muss die z-Transformierte mit multipliziert werden. Bei der Verschiebung nach links kommen noch weitere Terme hinzu.
- Faltung. Die Faltung von zwei Signalen im Zeitbereich entspricht dem Produkt im Frequenzbereich.
- Differentiation .
Zusätzliche Eigenschaften der unilateralen z-Transformation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Es sei und deren z-Transformierte. Weiter sei folgende Schreibweise für die Transformation der diskreten Zeitfunktion in die Bildebene definiert.
Dann gelten folgende Regeln:
Inverse z-Transformation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die inverse z-Transformation kann mit der Formel
berechnet werden, wobei C eine beliebige geschlossene Kurve um den Ursprung ist, die im Konvergenzbereich von liegt.
Die (unilaterale) z-Transformation ist zeitdiskret und entspricht der Laplace-Transformation für zeitkontinuierliche Signale.
Inverse unilaterale z-Transformation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Voraussetzungen: F(z) ist holomorph in einem Gebiet und .
Mit Residuum
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ,
- für
Mit Laurent-Reihe
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Der Integrand wird in eine Laurent-Reihe entwickelt. Die Zeitfunktion ist dann der Koeffizient −1 der Laurent Reihe, also .
Bei der Entwicklung in eine Reihe sind der binomische Lehrsatz und grundlegende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten nützlich.
Beispiel 1
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ,
- .
Beispiel 2
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ,
- .
Bei wesentlicher Singularität
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- .
Grundlagen der z-Transformation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die z-Transformation ist ein mathematisches Verfahren der Systemtheorie zur Behandlung und Berechnung von kontinuierlich abgetasteten Signalen und linearen zeitinvarianten zeitdiskreten dynamischen Systemen. Ein zeitdiskretes dynamisches System wird durch Differenzengleichungen oder als z-Transformierte beschrieben. Im Gegensatz dazu wird die Laplace-Transformation für kontinuierlichen Signale und Systeme verwendet.
Definition der Formelzeichen und Systemgrößen nachfolgender Systemdarstellungen
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Liste der wichtigsten Formelzeichen und Systemgrößen, die im Folgenden verwendet werden:
Formelzeichen | Erklärung | Bemerkung |
---|---|---|
Eingangssignal | Werden in der Regelungstechnik Regler und Regelstrecke gleichzeitig betrachtet, wird die Eingangsgröße des Reglers als (Regelabweichung) bezeichnet. Die Ausgangsgröße des Reglers ist dann gleichzeitig die Eingangsgröße der Regelstrecke. | |
Ausgangssignal | meist Systemantwort, bei Regelkreisen die Regelgröße. | |
Kleinbuchstaben | Zeitbereich | z. B.: f, u, y |
Großbuchstaben | Bildbereich | z. B.: F, U, Y, G |
Abtastzeit | Zeitlicher Abstand der Abtastungen eines zeitdiskreten Signals. Mit der Frequenz wird ein kontinuierliches Signal abgetastet. | |
Zeitintervall | ist ein Parameter der diskreten Zeit, keine reale Zeit. In Verbindung mit Abtastung kann sein. wird z. B. bei der Berechnung der Differenzengleichungen verwendet. | |
Abtastfolge | in einer unendlichen oder einer endlichen Folge. wird auch für die Nummerierung der Werte in einer Folge verwendet. | |
Abtastschritte | . (n ist auch eine Bezeichnung für die Potenz der s-Variablen eines Nennerpolynoms) | |
Wertefolge | Eine Folge der Werte: | |
Signal im Zeitbereich | Zeitsignal (allgemein) | |
Zeitdiskretes Signal | Wert des Signals zum Zeitpunkt . Vereinfachte Schreibweise ist z. B. oder . | |
Laplace Variable | ||
e | Eulersche Zahl | e = Eulersche Zahl ≈ 2,71828. |
Laplace-Transformiert | Laplace-Transformiertes Signal für kontinuierliche Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad: und Nennergrad: | |
Laplace-Transformiert | Laplace-Übertragungsfunktion für kontinuierliche Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad: und Nennergrad: | |
z-Variable | ||
, | z-transformiert | z-transformiertes Signal bzw. z-Übertragungsfunktion für diskrete Systeme: Polynomfunktion mit Zählergrad: und Nennergrad: |
Zeitkonstante | Zeitkonstante eines dynamischen Systems. Bei mehreren Zeitkonstanten des dynamischen Systems werden die Zeitkonstanten indiziert: |
Vergleich der diskreten und der kontinuierlichen Übertragungssysteme
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Vergleich | diskretes System | kontinuierliches System |
---|---|---|
Eigenschaften der betrachteten Systeme |
| |
Ein-/Ausgangssignal | reelle Folge, Zeitreihe mit fortlaufendem konstanten Zeitintervalls | kontinuierliches reelles Signal |
Systembeschreibung im Zeitbereich | Differenzengleichung | gewöhnliche Differentialgleichungen |
Transformation in den Bildbereich | mit z-Transformation | mit Laplace-Transformation |
Operator-Schreibweise der Transformation | ||
Inverse Transformation | ||
Systembeschreibung im Bildbereich | z-Übertragungsfunktion | s-Übertragungsfunktion |
Allgemeine Eigenschaften im Bildbereich: Beziehung der Stabilität in der z-Ebene. | Polstellenanalyse für Übertragungsfunktionen G(s), G(z).
|
Grundlagen Differenzengleichungen für lineare zeitinvariante Systeme
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Für die numerische Berechnung des Systemverhaltens eines zeitdiskreten dynamischen Systems können Differenzengleichungen verwendet werden. Mit ihrer Hilfe lässt sich das Systemverhalten (der Verlauf der Systemausgangsgröße ) für ein gegebenes Eingangssignal im zeitdiskreten Bereich berechnen.
Differenzengleichungen entstehen meist aus systembeschreibenden gewöhnlichen Differenzialgleichungen, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Die kontinuierlichen mathematischen Operationen der Integration und Differentiation werden zeitdiskret durch Summen- und Differenzenbildung angenähert.
Die Differenzengleichungen beschreiben mit dem Approximationsalgorithmus für ein kleines Zeitintervall die Signaländerungen nach jedem Zeitintervall als Funktion des betreffenden Teilsystems (Linearfaktoren im s-Bereich) und des Eingangssignals. Mit der fortlaufenden Wiederholung der Berechnung mit dem Zeitintervall und Addition der Änderungsergebnisse zum vorherigen Ergebnis ergibt sich der Signalverlauf eines Systems über die Zeit .
Es bestehen verschiedene mathematische Verfahren, zeitkontinuierliche Systeme in zeitdiskrete Systeme zu beschreiben und umzuwandeln.
Differenzengleichungen der einfachsten Art beziehen sich auf die den Linearfaktoren der Übertragungsfunktion zugehörigen Differenzialgleichungen erster Ordnung, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Diese Beziehung ist von großer Bedeutung, weil nur 4 verschiedene Typen von Differenzengleichungen erster Ordnung existieren, mit denen alle Formen von linearen Übertragungssystemen gebildet werden können, auch solche mit Schwingungsanteilen mit konjugiert komplexen Polen oder Nullstellen. Diese Teilsysteme können beliebig multiplikativ, additiv, zurück gekoppelt oder strukturell vermascht sein und gelten sowohl für den s-Bereich wie auch im diskreten Zeitbereich.
Meistens wird zur Aufstellung der Differenzengleichungen das Euler-Streckenzugverfahren nach dem Rückwärts- oder Vorwärts-Differenzenquotienten als einfachstes numerisches Verfahren verwendet. Nach diesem Verfahren können aus den zugehörigen Differenzialgleichungen der 4 Elementarsysteme erster Ordnung der Übertragungsfunktionen Differenzengleichungen gebildet werden, indem z. B. an Stelle des Differenzialquotienten mit der Rückwärts-Differenzenquotient
näherungsweise eingeführt wird.
In der Regel wird davon ausgegangen, dass die inneren Systemspeicher des Übertragungssystems sich im Ruhezustand befinden und die Anfangswerte bei für und alle Ableitungen von Null sind.
Beispiel der Entwicklung der Differenzengleichung der Integration (I-Glied) aus der Differenzialgleichung:
Die Übertragungsfunktion des I-Gliedes lautet: Die zugehörige Differenzialgleichung lautet: Der Differenzenquotient wird an Stelle des Differenzialquotienten eingesetzt. Anstelle der kontinuierlichen Systemgrößen und treten die aktuellen zeitdiskreten Werte und : Damit lautet die nach umgestellte Differenzengleichung des I-Gliedes: In gleicher Weise können die Differenzengleichungen von Systemen erster Ordnung aus den zugehörigen Differenzialgleichungen abgeleitet werden. |
Elementarsysteme | P-Glied | I-Glied | D-Glied | PD1-Glied | PT1-Glied |
---|---|---|---|---|---|
Übertragungsfunktion | |||||
Differenzengleichungen |
(Mit = Verstärkungsfaktor, = aktuelle Ausgangsgröße, = vorherige Ausgangsgröße, = Zeitkonstante, = aktuelle Eingangsgröße)
Die einmalige Anwendung einer Differenzengleichung zum Zeitpunkt ergibt für eine gegebene Eingangsfolge ein Folgeglied der Ausgangsfolge . Jedes Folgeglied bezieht sich auf eine zurückliegende Folge . Deshalb wird eine solche Differenzengleichung als Rekursionsgleichung bezeichnet, weil jedes Folgeglied eine Funktion des vorherigen Folgegliedes ist.
Die rekursive Anwendung von Differenzengleichungen zur Berechnung von Eingangs-Wertefolgen zu Ausgangs-Wertefolgen bedeutet die angenäherte Lösung der systembeschreibenden Differentialgleichung des Systemausgangssignals von Wertefolgen (Berechnungspunkten) .
Mit Hilfe eines Personal Computers kann das Systemverhalten eines dynamischen Systems oder eines Regelkreises mit Differenzengleichungen vollständig simuliert werden. Dabei wird eine endliche Anzahl von Berechnungsfolgen (Wertefolgen) festgelegt und die Rechenergebnisse der Teilsysteme – das Systemverhalten – tabellarisch und grafisch als Berechnungspunkte im Abstand dargestellt. Die Differenzengleichung enthält bereits die Lösungsvorschrift der Systemausgangsgröße in Annäherung an die systembeschreibende Differentialgleichung.
Handelt es sich bei dem dynamischen System um eine Hardware mit einer im zeitlichen Abstand abgetasteten Eingangsfolge , die über einen Mikrocomputer mit Differenzengleichungen zu einer Ausgangsfolge berechnet wird, kann mit Hilfe eines Haltegliedes eine treppenförmig gestufte quasi kontinuierliche Ausgangsgröße y(t) als Beispiel der prinzipiellen Funktion eines digitalen Reglers erreicht werden. Regelstrecken liegen in der Praxis meist als kontinuierliche Systeme vor, die eine kontinuierliche Stellgröße benötigen.
Differenzengleichungen höherer Ordnung
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Differenzengleichungen können auch aus gewöhnlichen Differenzialgleichungen höherer Ordnung entwickelt werden, wenn ab dem Zeitpunkt die letzten vergangenen Ausgangs-Wertefolgen mit und die Eingangs-Wertefolgen mit bekannt sind.
Zeitkontinuierliche lineare Systeme werden im Zeitbereich durch die gewöhnlichen Differenzialgleichungen -ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für beschrieben. Dabei sind und die höchsten Ableitungen der Ausgangssignale und Eingangssignale .
Eine gegebene gewöhnliche Differentialgleichung wird durch den Koeffizienten dividiert, um freistellen zu können. Diese Form der Differentialgleichung wird entsprechend der dargestellten Koeffizienten wie folgt neu geordnet.
- .
Diese Differentialgleichung kann in eine Differenzengleichung überführt werden:
- wird vereinfacht als geschrieben und entspricht einem aktuellen Folgeglied.
- Die kontinuierlichen Systemgrößen und werden zeitdiskret dargestellt.
- Die Ableitungen im Zeitbereich werden entsprechend der Ordnung durch Differenzenquotienten der zugehörigen Ordnung ersetzt.
- Jede Ableitung der Systemgrößen wird im zeitdiskreten Bereich entsprechend der Ordnung als zurückliegende Folgeglieder der Eingangs- und Ausgangsfolgen k-1 bis k-n oder k-m berücksichtigt.
Daraus folgt die Differenzengleichung:
- .
Damit kann die allgemeine Form der Differenzengleichung nach aufgelöst werden:
- .
Für die numerische Berechnung eines dynamischen Systems wird die s-Übertragungsfunktion oder die zugehörige Differentialgleichung benötigt. Die Umsetzung einer systembeschreibenden Differentialgleichung in eine angenäherte Differenzengleichung zur Beschreibung von Eingangsfolgen und Ausgangsfolgen eines dynamischen Systems wird ermöglicht, wenn die Differentiale der Differentialgleichung durch Rückwärts-Differenzenquotienten über die Abtastperiode ersetzt werden.[Einzelnachweise 5]
Die folgenden Ableitungen der Differentialquotienten in Differenzenquotienten der 1. 2. und 3. Ordnung sind gegeben:
Differenzenquotient 1. Ordnung:
Der Differenzenquotient 2. Ordnung entsteht aus Differenzen der Differenz:
Der Differenzenquotient 3. Ordnung lautet:
Nach erfolgtem Einsetzen der Differenzenquotienten in die Differenzengleichung eines dynamischen Systems lassen sich die neuen Koeffizienten aus den Koeffizienten der Differentialgleichung berechnen.
Beispiel der Entwicklung einer Differenzengleichung zur Berechnung der Sprungantwort eines -Gliedes mit konjugiert komplexen Polen:
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/08/PT2-Glied_mit_negativem_Realteil_der_Polpaarlage.png/300px-PT2-Glied_mit_negativem_Realteil_der_Polpaarlage.png)
Gegeben: Übertragungsfunktion im s-Bereich:
Gesucht: Differenzengleichung zur numerischen Bestimmung des System-Zeitverhaltens. Zugehörige Differentialgleichung nach dem Differentiationssatz der Laplace-Transformation: Die Differenzenquotienten für und werden in die nachfolgende Differenzengleichung eingesetzt: Die Brüche werden in einzelne additive Terme aufgelöst, um freistellen zu können:
Berechnungsbeispiel für einige Werte der Ausgangsfolge mit :
|
Diese Differenzengleichung entspricht einem Rekursionsalgorithmus eines dynamischen Systems, der schrittweise mit einem digitalen Rechner gelöst werden kann.
Die rekursive Berechnung der Differenzengleichung 2. Ordnung bezieht sich für die aktuelle Ausgangsfolge durch Einsetzen der zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge und in die Gleichung. Für das 1. Folgeglied der Berechnungsfolge k=0 sind die zurückliegenden Werte der Ausgangsfolge noch nicht verfügbar und damit Null. Die Anzahl der Glieder der Ausgangsfolge wird durch die diskrete Zeit und durch die gewünschte zu beobachtende Gesamtzeit des Einschwingvorgangs bestimmt.
Anwendung zeitdiskreter Signale und dynamischer Systeme
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Die z-Transformation wird auf zeitdiskrete Signale , auf die systembeschreibenden Differenzengleichungen und auf Übertragungsfunktionen des s- und z-Bereiches meist mit Hilfe der Korrespondenztabellen angewendet.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/Aufgeschnittener_digitaler_Regelkreis.png/800px-Aufgeschnittener_digitaler_Regelkreis.png)
Das nebenstehende Bild ist ein Beispiel der Darstellung der Signalarten und Systeme an einem aufgeschnittenen digitalen Regelkreis mit einer kontinuierlichen Regelstrecke.
Abtastsysteme wandeln in Verbindung mit A/D-Wandlern ein kontinuierliches Signal in ein zeitdiskretes Signal als Wertefolge um. D/A-Wandler in Verbindung mit Haltesystemen nullter Ordnung wandeln eine Wertefolge in ein gestuftes zeitkontinuierliches Signal um.
z-Transformation einer Wertefolge (Impulsfolge)
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Eine Wertefolge besteht aus oder vielen Folgegliedern. Das Objekt mit der Nummer i wird i-tes Folgeglied oder i-te Komponente der Folge genannt. Die abgetasteten und digitalisierten Signale entsprechen einer Folge von modulierten impulsförmigen Signalen im Abstand , die erst nach der A/D-Wandlung mit einer Haltestufe zu einem gestuften quasi kontinuierlichem Signal werden.
Die Laplace-Transformation bezieht sich auf die Ableitungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung und ersetzt diese nach dem Laplace-Differentiationssatz durch die komplexe Variable . Ein Exponent von s kennzeichnet die Ordnung der Ableitung.
Die z-Transformation transformiert eine Impulsfolgefunktion oder eine Zahlenfolge in eine Funktion mit der z-Variable .
Da die Berechnungen mit Impulsfunktionen oder Folgen aufwendig sind, ist es sinnvoll, diese durch einfachere Berechnungen im z-Bildbereich auszuführen. Die z-Transformation von Impulsfolgen kann als diskrete Laplace-Transformation aufgefasst werden.[Einzelnachweise 6]
Die zu diskreten Zeitpunkten abgetasteten kontinuierlichen Eingangssignale entsprechen mit der Eingangsgröße modulierten (gewichteten) -Impulsfolgen, die mit der z-Transformation berechnet werden.
Beim Übergang von kontinuierlichen Systemen f(t) zu Abtastsystemen mit der Abtastfolge gehen lineare zeitinvariante Differenzialgleichungen in zeitinvariante Differenzengleichungen der Abtastzeit TA beziehungsweise der Abtastfrequenz der Funktion über.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/15/Zeroorderhold.signal.svg/220px-Zeroorderhold.signal.svg.png)
Kontinuierliche Signale z. B. die Regelabweichung eines Regelkreises mit einer analog arbeitenden Regelstrecke werden zu gleichen Zeitabständen abgetastet. Ein Abtaster mit A/D-Wandler erzeugt aus einem zeitkontinuierlichen Regler-Eingangssignal ein zeitdiskretes Signal . Es können sowohl abgetastete Regler-Eingangssignale als auch Differenzengleichungen , die im diskreten Zeitbereich den Regelalgorithmus eines Reglers beschreiben, als z-Übertragungsfunktionen in den z-Bereich transformiert und als algebraische Gleichungen behandelt werden.
Wird eine inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktionen durchgeführt, entsteht die Lösung der zeitdiskreten Differenzengleichung im -Bereich. Mit Hilfe verschiedener Verfahren der Rücktransformation vom z-Bereich in den k-Bereich ergeben sich dann als Lösung die Differenzengleichungen des Regelalgorithmus für den diskreten Bereich .
Für die häufig vorkommenden Transformationen des k- und z-Bereiches stehen in vielen Fachbüchern der Regelungstechnik Transformationstafeln zur Verfügung.
Eine einzelne Abtastung eines kontinuierlichen Signals an einer beliebigen Stelle des Signalverlaufs z. B. zum Zeitpunkt wird als Modulation von mit einem Dirac-Impuls mit beschrieben.[Einzelnachweise 7][Einzelnachweise 8]
Damit ergibt sich für die Multiplikation des Eingangssignals mit dem Dirac-Impuls:
Wird nun periodisch mit zu den Zeitpunkten das Signal abgetastet, kann das abgetastete Signal als Multiplikation einer -Impulsfolge mit betrachtet werden.
Die Impulsfolgefunktion bezieht sich auf die Summengrenzen von zu
Mit dem Übergang der Summengrenzen von zu wird die Impulsfolgefunktion:
Die Impulsfolgefunktion wird der Laplace-Transformation unterzogen:
Mit der z-Variablen und wird die Gleichung vereinfacht zu der z-Transformierten des kontinuierlichen Signals .
Mit wird die s-Ebene auf die z-Ebene abgebildet.
Damit lautet die z-Transformation eines abgetasteten kontinuierlichen Signals mit der Folge und der Wertefolge :
oder allgemein als Funktion :
Rechenregeln der z-Transformation
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Wie die Laplace-Transformation wird die z-Transformation durch Sätze und Rechenregeln definiert, dennoch bestehen in einigen Funktionen große Unterschiede.
Die Transformationen und Rücktransformationen der z-Transformation erfolgen meist mit Hilfe von Transformations-Tabellen. In der Fachliteratur werden in Tabellen die Zeitfunktionen , die Laplace-Transformierten und die z-Transformierten dargestellt. Nicht vorhandene Zeitfunktionen für die inverse z-Transformation können wie bei der Laplace-Transformation durch die Partialbruchzerlegung bestimmt werden.
Die Verfahren der Anwendung der Rechenregeln der z-Transformationen sind umfangreich und können in diesem Abschnitt nur angedeutet werden. Die nachstehenden meist tabellarisch aufgeführten Verfahren sind in jedem guten Fachbuch der Regelungstechnik oder in Vorlesungsmanuskripten der z-Transformation zu finden.
- Diese Rechenregeln beziehen sich auf Linearitätssätze, Multiplikationssatz, Divisionssatz, Ähnlichkeitssätze, Dämpfungssatz, Verschiebungssätze (rechts-links), Differenzensätze (Rückwärts-Vorwärts), Summationssatz, Faltungssatz, Grenzwertsätze.
- Die z-Transformationen und die z-Rücktransformationen können mit Hilfe von Transformations-Tabellen und verschiedenen noch dargestellten Verfahren durchgeführt werden.
Die nachfolgenden mathematischen Beziehungen gelten für Systeme mit einem Eingangssignal und einem Ausgangssignal . Für einen digitalen Regler müssen die zugehörigen Größen des Eingangssignals und Ausgangssignals in die Gleichungen eingesetzt werden.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/%C3%9Cbersicht_Laplace-_und_Z-Transformation.svg/400px-%C3%9Cbersicht_Laplace-_und_Z-Transformation.svg.png)
Mit wird die s-Ebene auf die z-Ebene abgebildet.
Die wichtigsten Eigenschaften der z-Transformation:[Einzelnachweise 9]
- Grundlagen der Definitionen im z-Bereich:
- z-Variable:
- z-Transformierte einer Folge :
- Inverse z-Transformation von F(z):
- Für Grenzbetrachtungen treten häufig folgende Fälle auf:
- Für den s-Bildbereich gilt für die s-Variable.
- Für den z-Bildbereich gilt für die z-Variable:
- Anfangswert einer zeitdiskreten Folge:
- Rückwärtsverschiebung (nach rechts):
- Totzeiten innerhalb eines Digitalreglers entstehen durch die Signalabtastung über A/D-Wandler, D/A-Wandler und durch die Rechenzeit des Mikrocomputers. Die Berechnung einer Totzeit einer Abtastfolge entspricht einer Rückwärtsverschiebung (Rechtsverschiebung) der Abtastfolge (Zahlenwerte) um d Abtastschritte von . Diese mathematische Operation bedeutet im s-Bereich für die Totzeit und im z-Bereich:
- Vorwärtsverschiebung (nach links):
- Eine Vorhersage um die Zeit einer Wertefolge entspricht einer Vorwärtsverschiebung nach links um d-Abtastschritte. Diese Operation entspricht der Laplace-Transformierten und bedeutet im z-Bereich:
- Differentiation:
- Die Differenz zweier aufeinander folgender Abtastwerte dividiert durch die Abtastzeit entspricht der Annäherung an einen Differenzialquotienten im Zeitbereich.
- Integration:
- Wird die Summe aller Abtastwerte mit der Abtastzeit TA multipliziert, entsteht in Annäherung an den Zeitbereich die numerische Integration. Im s-Bereich entspricht die Integration 1 / s. Im z-Bereich gilt für die Integration:
- Gewichtsfolge:
- Die z-Übertragungsfunktion G(z) ist die z-Transformierte der Gewichtsfolge g(k).
- In G(z) und g(k) sind alle Eigenschaften eines linearen, zeitdiskreten dynamischen Systems enthalten.
- Multiplikation:
- Ausgangssignal als Funktion des Eingangssignals und der z-Übertragungsfunktion
- Faltung der Impulsfolgen:
Im Bildbereich steht die Multiplikation an Stelle der Faltungssumme, wie bei zeitkontinuierlichen Systemen an Stelle des Faltungsintegrals.
Tabelle der Korrespondenzen des Zeitbereichs f(t), des Laplace- und z-Bereichs (Auszüge)
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Funktion im Zeitbereich f(t) | Laplace-Transformierte im Bildbereich F(s) | Diskrete Laplace-Transformierte nach der z-Transformation |
---|---|---|
δ-Impuls | 1 | 1 |
Einheits- sprung 1 | ||
t | ||
- TA = Abtastzeit, a oder b = Zahlenwert der Nullstelle (Pol) im s-Bereich, T1 = Zeitkonstante der s-Übertragungsfunktion.
Tabelle der Korrespondenzen der zeitdiskreten Funktionen f(k) zum z-Bereich F(z) (Auszüge)
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]Name der Zeitfunktion | Wertefolge | z-Transformierte |
---|---|---|
-Impulsfolge | 1 | |
Sprungfolge | ||
Anstiegsfolge | ||
Potenzfolge | ||
e-Funktionsfolge | ||
Sinusfunktionsfolge | ||
Kosinusfunktionsfolge | ||
Abklingende Sinus- funktionsfolge | ||
Abklingende Cosinus- funktionsfolge |