Zurückschneiden durch Rangbetrachtung – Wikipedia
Das Zurückschneiden durch Rangbetrachtung (oder Trunkierung durch Rangbetrachtung oder Lokalisierung durch Rangbetrachtung)[1] ist eine in der Mengenlehre verwendete und von Tarski[2] und Scott 1955 vorgeschlagene Methode, wie man das Studieren einer Klasse auf das Studieren ihrer Teilmengen beschränken kann.[3]
Um dies zu erreichen, definiert man für eine Klasse die Teilklasse , wenn die Rangfunktion ist.[4][5] Die Existenz der Rangfunktion wird entweder durch spezielles Axiom gesichert oder mit Hilfe des Fundierungs- und des Ersetzungaxioms bewiesen.[6] Mit
ist eine Menge, deren Rang höchstens beträgt.
Mittels Zurückschneiden durch Rangbetrachtung lassen sich folgende Sätze beweisen:[4]
- Für jede Relation existiert eine vorgängerkleine Teilrelation mit demselben Definitionsbereich.
- Für jede Relation existiert eine Teilrelation mit demselben Wertebereich, deren inverse Relation vorgängerklein ist.
- Wenn jede nicht leere Menge ein -kleinstes Element hat, dann hat auch jede nicht leere Klasse ein -kleinstes Element und für jede mengentheoretische Formel gilt:
- (Verallgemeinerung des Induktionsprinzipes).
- Für jede Menge und endlich viele Relationen existiert eine für jedes fast -abgeschlossene Menge .
- Für jede Äquivalenzrelation existiert eine Funktion , die
erfüllt.
Weblinks
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994
Einzelnachweise
[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]- ↑ Auf engl.: Cutting Down Classes to Sets, auch bekannt als Scott's trick.
- ↑ Tarski A., General principles of induction and resursion; The Notation of rank in axiomatic set theory and some of its applications, 1955, Bull. Amer. Math., 61, S. 442–443
- ↑ Deiser O., Einführung in die Mengenlehre, Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, 2.6, 2.8
- ↑ a b Levy A., Basic Set Theory, Springer, 1979, ISBN 3-540-08417-7, II.7
- ↑ Gloede, Klaus: Skriptum zur Vorlesung Mengenlehre. SS 2004. Universitär Heidelberg, Mathematisches Institut, S. 181. PDF ( des vom 17. April 2016 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis. , Bei DOCZZ ( des vom 17. April 2018 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis. , Bei Yumpu. Hier Seite 62
- ↑ Zuckerman M., Sets and Transfinite Numbers, Macmillian Publishing Co., 1974, ISBN 0-02-432110-9, 6.1