La derivación , matemáticamente, es un concepto esencial para determinar los espacios sobre variedades diferenciables , sus cualidades, sus propiedades y sus consecuencias.
Es una pieza fundamental, clave en el desarrollo de la teoría para la geometría diferencial tal y como está estructurada actualmente.
Definición de derivación[ editar ] Sea M {\displaystyle M_{}^{}} una variedad diferenciable y p ∈ M {\displaystyle p\in M} , llamaremos derivación en el punto p {\displaystyle p_{}^{}} a
∀ δ p : F ( M ) ⟶ R {\displaystyle \forall \delta _{p}:{\mathcal {F}}(M)\longrightarrow {}\mathbb {R} } aplicación R − {\displaystyle \mathbb {R} -} lineal, es decir: ∀ f , g ∈ F ( M ) , ∀ λ ∈ R , {\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M),\forall \lambda \in \mathbb {R} ,} δ p ( g + f ) = δ p ( g ) + δ p ( f ) , {\displaystyle \delta _{p}^{}(g+f)=\delta _{p}(g)+\delta _{p}(f)^{},} δ p ( λ f ) = λ δ p ( f ) . {\displaystyle \delta _{p}^{}(\lambda f)=\lambda \delta _{p}(f)^{}.} y tal que δ p ( f ⋅ g ) = {\displaystyle \delta _{p}(f\cdot g)=} δ p ( f ) g | p + f | p δ p ( g ) , {\displaystyle \delta _{p}(f)g_{|p}+f_{|p}\delta _{p}(g),} ∀ f , g ∈ F ( M ) {\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)} , es decir, que cumple la regla de Leibniz. Observación F ( M ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(M)} es el conjunto de funciones diferenciables en M {\displaystyle M_{}^{}} , y es un R − {\displaystyle \mathbb {R} -} álgebra conmutativa, (es un R − {\displaystyle \mathbb {R} -} espacio vectorial). f | p {\displaystyle f_{|p}^{}} es equivalente a f ( p ) {\displaystyle f(p)_{}^{}} , es decir, f {\displaystyle f_{}^{}} evaluado en el punto p . {\displaystyle p_{}^{}.} Ejemplos de derivación[ editar ] Sea M = R n {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}} y p ∈ M {\displaystyle p\in M} , veamos que la aplicación siguiente es derivación:
∂ ⋅ ∂ x i | p : F ( M ) ⟶ R . f ↦ ∂ f ∂ x i | p {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\partial \;\cdot }{\partial x_{i}}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \;.\\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}\end{matrix}}} Demostración Veamos primero que es R − {\displaystyle \mathbb {R} -} lineal, es decir, que ∀ f , g ∈ F ( M ) y ∀ λ ∈ R {\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)\;y\;\forall \lambda \in \mathbb {R} } vemos que: ∂ ( f + g ) ∂ x i | p = ∂ f ∂ x i | p + ∂ g ∂ x i | p , {\displaystyle {\frac {\partial (f+g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}+{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p},} ∂ ( λ g ) ∂ x i | p = λ ∂ g ∂ x i | p . {\displaystyle {\frac {\partial (\lambda g)}{\partial x_{i}}}_{|p}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.} Veamos finalmente que es una derivación: ∂ ( f ⋅ g ) ∂ x i | p = ∂ f ∂ x i | p g | p + f | p ∂ g ∂ x i | p . {\displaystyle {\frac {\partial (f\cdot g)}{\partial x_{i}}}_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}_{|p}g_{|p}+f_{|p}{\frac {\partial g}{\partial x_{i}}}_{|p}.} Queda, así, demostrado que la derivada parcial es una derivación. La derivada direccional [ editar ] Sea M = R n , p ∈ M y v ∈ M : | | v | | = 1 {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n},\;p\in M\;y\;v\in M:||v||=1} , de igual modo que el ejemplo anterior se puede ver que la aplicación siguiente es derivación:
∂ ⋅ ∂ v | p : F ( M ) ⟶ R f ↦ ∂ f ∂ v | p . {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\partial \cdot }{\partial v}}_{|p}:&{{\mathcal {F}}(M)}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&{f}&\mapsto &{\frac {\partial f}{\partial v}}_{|p}\end{matrix}}.} Derivación en variedades[ editar ] Sea M {\displaystyle M_{}^{}} una variedad diferenciable y p ∈ M {\displaystyle p\in M} , llamaremos espacio tangente a M {\displaystyle M_{}^{}} en p {\displaystyle p_{}^{}} al R − {\displaystyle \mathbb {R} -} espacio vectorial de las derivaciones de M {\displaystyle M_{}^{}} en p {\displaystyle p_{}^{}} , notado por T p M {\displaystyle {\mathcal {T}}_{p}M} , y sus elementos se llamaran vectores tangentes a M {\displaystyle M_{}^{}} en p . {\displaystyle p_{}^{}.}
Propiedad de la derivación de una función localmente constante[ editar ] Sea M {\displaystyle M_{}^{}} una variedad diferenciable, p ∈ M {\displaystyle p\in M} , ∀ δ p ∈ T p M {\displaystyle \forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M} y f ∈ F ( M ) {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)} tal que ∃ U {\displaystyle \exists {}U_{}^{}} entorno abierto en p {\displaystyle p_{}^{}} donde f ( x ) = λ {\displaystyle f(x)=\lambda } , ∀ x ∈ M {\displaystyle \forall x\in M} , entonces tenemos que δ p f = 0. {\displaystyle \delta _{p}^{}f=0.}
Demostración Por linealidad de δ p {\displaystyle \delta _{p}^{}} tenemos δ p ( f ) = δ p ( λ ) = δ p ( λ ⋅ 1 ) = {\displaystyle \delta _{p}(f)=\delta _{p}(\lambda )=\delta _{p}(\lambda \cdot 1)=} λ δ p ( 1 ) , {\displaystyle \lambda \delta _{p}(1),} aquí aplicando la condición de derivación a δ p ( 1 ) {\displaystyle \delta _{p}^{}(1)} tenemos δ p ( 1 ) = δ p ( 1 ⋅ 1 ) = {\displaystyle \delta _{p}(1)=\delta _{p}(1\cdot 1)=} δ p ( 1 ) 1 + 1 δ p ( 1 ) = {\displaystyle \delta _{p}(1)1+1\delta _{p}^{}(1)=} δ p ( 1 ) + δ p ( 1 ) , {\displaystyle \delta _{p}(1)+\delta _{p}^{}(1),} de simplificar, este último, resulta δ p ( 1 ) = 0 {\displaystyle \delta _{p}^{}(1)=0} aplicadolo al anterior resulta que δ p ( f ) = 0. {\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=0.} Nos interesa que la función localmente constante sea infinitamente diferenciable en todas partes, es decir, de clase C ∞ {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }} :
la función meseta ρ {\displaystyle \rho } asociada a ( p , V ) {\displaystyle (p,V)_{}^{}} , donde ρ ( x ) = 1 , {\displaystyle \rho (x)=1,} ∀ x ∈ k ⊂ V , k {\displaystyle \forall x\in k\subset V,\;k} compacto cuyo interior contiene a p . {\displaystyle p_{}^{}.} Propiedad de la derivación del producto con la función meseta[ editar ] Sea M {\displaystyle M_{}^{}} una variedad diferenciable, p ∈ M , ∀ δ p ∈ T p M {\displaystyle p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M} , f ∈ F ( M ) {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)} y ρ {\displaystyle \rho } una función meseta asociada a ( p , V ) {\displaystyle (p,V)_{}^{}} , tenemos que:
δ p ( ρ ⋅ f ) = δ p ( f ) . {\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(f).} Demostración Aplicando la regla de Leibniz tenemos que δ p ( ρ ⋅ f ) = {\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=} δ p ( ρ ) f ( p ) + ρ ( p ) δ p ( f ) {\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho )f(p)+\rho (p)\delta _{p}(f)} , por la propiedad anterior tenemos que δ p ( ρ ⋅ f ) = {\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=} 0 ⋅ f ( p ) + 1 ⋅ δ p ( f ) = {\displaystyle 0\cdot f(p)+1\cdot \delta _{p}^{}(f)=} δ p ( f ) . {\displaystyle \delta _{p}^{}(f).} Sea M {\displaystyle M_{}^{}} una variedad diferenciable, p ∈ M , ∀ δ p ∈ T p M {\displaystyle p\in M,\;\forall \delta _{p}\in {\mathcal {T}}_{p}M} y f , g ∈ F ( M ) {\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(M)} tal que ∃ V {\displaystyle \exists {}V_{}^{}} entorno abierto en p {\displaystyle p_{}^{}} donde f | V = g | V {\displaystyle f_{|V}^{}=g_{|V}} , entonces tenemos que δ p ( f ) = δ p ( g ) {\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=\delta _{p}(g)} .
Demostración Sea ρ {\displaystyle \rho } una función meseta asociada a ( p , V ) {\displaystyle (p,V)_{}^{}} , tenemos así que ρ ⋅ f = ρ ⋅ g {\displaystyle \rho \cdot f=\rho \cdot g_{}^{}} en todo M {\displaystyle M_{}^{}} también ρ ⋅ f , ρ ⋅ g ∈ F ( M ) {\displaystyle \rho \cdot f,\rho \cdot g\in {\mathcal {F}}(M)} por tanto δ p ( ρ ⋅ f ) = δ p ( ρ ⋅ g ) {\displaystyle \delta _{p}^{}(\rho \cdot f)=\delta _{p}(\rho \cdot g)} y por la propiedad anterior tenemos que δ p ( f ) = δ p ( g ) . {\displaystyle \delta _{p}^{}(f)=\delta _{p}(g).} En geometría diferencial y cálculo elemental se han definido muchos tipos de operadores que de hecho son derivaciones, entre ellas:
Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferencialbles i varietats de Riemann , Ed:UB. 2003.