Un ejemplo de movimiento caótico de un péndulo doble. En general, un péndulo doble o doble péndulo es un sistema compuesto por dos péndulos , con el segundo colgando del extremo del primero. En el caso más simple, se trata de dos péndulos simples , con el inferior colgando de la masa pendular del superior.
Normalmente se sobreentiende que nos referimos a un péndulo doble plano , con dos péndulos planos coplanarios. Este sistema físico posee dos grados de libertad y exhibe un rico comportamiento dinámico. Su movimiento está gobernado por dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. Por encima de cierta energía, su movimiento es caótico .
Análisis del movimiento del péndulo doble plano[ editar ] Movimiento de un péndulo doble. En la cinemática solo estamos interesados en encontrar las expresiones de la posición, la velocidad, la aceleración y en términos de las variables que especifican el estado del péndulo doble, sin interesarnos por las fuerzas actuantes. Nos serviremos de las siguientes coordenadas:
x,y = posición horizontal y vertical de la masa de un péndulo θ = ángulo de un péndulo respecto a la vertical (0 = vertical hacia abajo, antihorario es positivo) l = longitud de la varilla (constante) Asociaremos al péndulo superior el subíndice 1, y al de abajo el subíndice 2. Pondremos el origen de coordenadas en el punto de pivote del péndulo superior. El sentido de las ordenadas crecientes se toma hacia arriba.
A partir de consideraciones trigonométricas escribimos las expresiones de las posiciones x1 , y1 , x2 , y2 en términos de los ángulos θ1 , θ2 :
x 1 = l 1 sen θ 1 {\displaystyle x_{1}=l_{1}\operatorname {sen} \theta _{1}\,} y 1 = − l 1 cos θ 1 {\displaystyle y_{1}=-l_{1}\cos \theta _{1}\,} x 2 = x 1 + l 2 sen θ 2 {\displaystyle x_{2}=x_{1}+l_{2}\operatorname {sen} \theta _{2}\,} y 2 = y 1 − l 2 cos θ 2 {\displaystyle y_{2}=y_{1}-l_{2}\cos \theta _{2}\,} Derivando con respecto al tiempo obtenemos:
x ˙ 1 = θ ˙ 1 l 1 cos θ 1 {\displaystyle {\dot {x}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}l_{1}\cos \theta _{1}} y ˙ 1 = θ ˙ 1 l 1 sen θ 1 {\displaystyle {\dot {y}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}l_{1}\operatorname {sen} \theta _{1}} x ˙ 2 = x ˙ 1 + θ ˙ 2 l 2 cos θ 2 {\displaystyle {\dot {x}}_{2}={\dot {x}}_{1}+{\dot {\theta }}_{2}l_{2}\cos \theta _{2}} y ˙ 2 = y ˙ 1 + θ ˙ 2 l 2 sen θ 2 {\displaystyle {\dot {y}}_{2}={\dot {y}}_{1}+{\dot {\theta }}_{2}l_{2}\operatorname {sen} \theta _{2}} Y derivando una segunda vez:
x ¨ 1 = − θ ˙ 1 2 l 1 sen θ 1 + θ ¨ 1 l 1 cos θ 1 {\displaystyle {\ddot {x}}_{1}=-{\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}\operatorname {sen} \theta _{1}+{\ddot {\theta }}_{1}l_{1}\cos \theta _{1}} y ¨ 1 = θ ˙ 1 2 l 1 cos θ 1 + θ ¨ 1 l 1 sen θ 1 {\displaystyle {\ddot {y}}_{1}={\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}\cos \theta _{1}+{\ddot {\theta }}_{1}l_{1}\operatorname {sen} \theta _{1}} x ¨ 2 = x ¨ 1 − θ ˙ 2 2 l 2 sen θ 2 + θ ¨ 2 l 2 cos θ 2 {\displaystyle {\ddot {x}}_{2}={\ddot {x}}_{1}-{\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{2}\operatorname {sen} \theta _{2}+{\ddot {\theta }}_{2}l_{2}\cos \theta _{2}} y ¨ 2 = y ¨ 1 + θ ˙ 2 2 l 2 cos θ 2 + θ ¨ 2 l 2 sen θ 2 {\displaystyle {\ddot {y}}_{2}={\ddot {y}}_{1}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{2}\cos \theta _{2}+{\ddot {\theta }}_{2}l_{2}\operatorname {sen} \theta _{2}} Definimos las variables:
Símbolo Nombre T {\displaystyle T} Tensión en la varilla M {\displaystyle M} Masa del péndulo g {\displaystyle g} Aceleración de la gravedad
Usaremos la ley de Newton F = m a {\displaystyle F=ma} , escribiendo por separado las ecuaciones de las componentes verticales y horizontales de las fuerzas.
Sobre la masa m 1 {\displaystyle m_{1}} actúan la tensión en la parte superior de la varilla T 1 {\displaystyle T_{1}} , la tensión en la parte inferior de la varilla T 2 {\displaystyle T_{2}} , y la gravedad -m1 g :
m 1 x ¨ 1 = − T 1 sen θ 1 + T 2 sen θ 2 {\displaystyle m_{1}{\ddot {x}}_{1}=-T_{1}\operatorname {sen} \theta _{1}+T_{2}\operatorname {sen} \theta _{2}} m 1 y ¨ 1 = T 1 cos θ 1 − T 2 cos θ 2 − m 1 g {\displaystyle m_{1}{\ddot {y}}_{1}=T_{1}\cos \theta _{1}-T_{2}\cos \theta _{2}-m_{1}g} Sobre la masa m 2 {\displaystyle m_{2}} , actúan la tensión T 2 {\displaystyle T_{2}} y la gravedad –m2 g :
m 2 x ¨ 2 = − T 2 sen θ 2 {\displaystyle m_{2}{\ddot {x}}_{2}=-T_{2}\operatorname {sen} \theta _{2}} m 2 y ¨ 2 = T 2 cos θ 2 − m 2 g {\displaystyle m_{2}{\ddot {y}}_{2}=T_{2}\cos \theta _{2}-m_{2}g} Ecuaciones de movimiento [ editar ] A partir de las ecuaciones anteriores, tras realizar numerosas operaciones algebraicas con la finalidad de encontrar las expresiones de θ 1 ¨ {\displaystyle {\ddot {\theta _{1}}}} , θ 2 ¨ {\displaystyle {\ddot {\theta _{2}}}} en términos de θ 1 {\displaystyle \theta _{1}\,} , θ 1 ˙ {\displaystyle {\dot {\theta _{1}}}\,} , θ 2 {\displaystyle \theta _{2}\,} , θ 2 ˙ {\displaystyle {\dot {\theta _{2}}}\,} , llegaríamos a las ecuaciones de movimiento para el péndulo doble:
θ ¨ 1 = − g ( 2 m 1 + m 2 ) sen θ 1 − m 2 g sen ( θ 1 − 2 θ 2 ) − 2 sen ( θ 1 − θ 2 ) m 2 ( θ ˙ 2 2 l 2 + θ ˙ 1 2 l 1 cos ( θ 1 − θ 2 ) ) l 1 ( 2 m 1 + m 2 − m 2 cos ( 2 θ 1 − 2 θ 2 ) ) {\displaystyle {\ddot {\theta }}_{1}={\frac {-g(2m_{1}+m_{2})\operatorname {sen} \theta _{1}-m_{2}g\operatorname {sen}(\theta _{1}-2\theta _{2})-2\operatorname {sen}(\theta _{1}-\theta _{2})m_{2}({\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{2}+{\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}\cos(\theta _{1}-\theta _{2}))}{l_{1}(2m_{1}+m_{2}-m_{2}\cos(2\theta _{1}-2\theta _{2}))}}} θ ¨ 2 = 2 sen ( θ 1 − θ 2 ) ( θ ˙ 1 2 l 1 ( m 1 + m 2 ) + g ( m 1 + m 2 ) cos θ 1 + θ ˙ 2 2 l 2 m 2 cos ( θ 1 − θ 2 ) ) l 2 ( 2 m 1 + m 2 − m 2 cos ( 2 θ 1 − 2 θ 2 ) ) {\displaystyle {\ddot {\theta }}_{2}={\frac {2\operatorname {sen}(\theta _{1}-\theta _{2})({\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}(m_{1}+m_{2})+g(m_{1}+m_{2})\cos \theta _{1}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{2}m_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2}))}{l_{2}(2m_{1}+m_{2}-m_{2}\cos(2\theta _{1}-2\theta _{2}))}}} La energía cinética viene expresada por:
T = 1 2 m 1 ( x ˙ 1 2 + y ˙ 1 2 ) + 1 2 m 2 ( x ˙ 2 2 + y ˙ 2 2 ) = 1 2 m 1 l 1 2 θ ˙ 1 2 + 1 2 m 2 [ l 1 2 θ ˙ 1 2 + l 2 2 θ ˙ 2 2 + 2 l 1 l 2 θ ˙ 1 θ ˙ 2 cos ( θ 1 − θ 2 ) ] {\displaystyle T={\frac {1}{2}}m_{1}({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {y}}_{1}^{2})+{\frac {1}{2}}m_{2}({\dot {x}}_{2}^{2}+{\dot {y}}_{2}^{2})={\frac {1}{2}}m_{1}l_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}[l_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+l_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+2l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})]} La energía potencial :
V = m 1 g y 1 + m 2 g y 2 = − ( m 1 + m 2 ) g l 1 cos θ 1 − m 2 g l 2 cos θ 2 {\displaystyle V=m_{1}gy_{1}+m_{2}gy_{2}=-(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos \theta _{1}-m_{2}gl_{2}\cos \theta _{2}\,} . Por tanto, el movimiento se regirá por la lagrangiana
L = T − V = 1 2 ( m 1 + m 2 ) l 1 2 θ ˙ 1 2 + 1 2 m 2 l 2 2 θ ˙ 2 2 + m 2 l 1 l 2 θ ˙ 1 θ ˙ 2 cos ( θ 1 − θ 2 ) + ( m 1 + m 2 ) g l 1 cos θ 1 + m 2 g l 2 cos θ 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2})l_{1}^{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}l_{2}^{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}+m_{2}l_{1}l_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})gl_{1}\cos \theta _{1}+m_{2}gl_{2}\cos \theta _{2}} Ecuaciones de movimiento de Lagrange [ editar ] Usando las ecuaciones de Lagrange en este caso particular son:
d d t ( ∂ L ∂ θ ˙ 1 ) − ∂ L ∂ θ 1 = 0 , d d t ( ∂ L ∂ θ ˙ 2 ) − ∂ L ∂ θ 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}_{1}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta _{1}}}=0,\qquad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}_{2}}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta _{2}}}=0}
Calculando explícitamente las derivadas de la expresión anterior se llega a:
{ ( m 1 + m 2 ) l 1 2 θ ¨ 1 + m 2 θ ¨ 2 l 1 l 2 cos ( θ 1 − θ 2 ) − m 2 θ ˙ 2 l 1 l 2 ( θ ˙ 1 − θ ˙ 2 ) sen ( θ 1 − θ 2 ) + m 2 θ ˙ 1 θ ˙ 2 l 1 l 2 sen ( θ 1 − θ 2 ) + ( m 1 + m 2 ) g l 1 sen θ 1 = 0 m 2 l 2 2 θ ¨ 2 + m 2 θ ¨ 1 l 1 l 2 cos ( θ 1 − θ 2 ) − m 2 θ ˙ 1 l 1 l 2 ( θ ˙ 1 − θ ˙ 2 ) sen ( θ 1 − θ 2 ) − m 2 θ ˙ 1 θ ˙ 2 l 1 l 2 sen ( θ 1 − θ 2 ) + m 2 g l 2 sen θ 2 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}(m_{1}+m_{2})l_{1}^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}{\ddot {\theta }}_{2}l_{1}l_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-m_{2}{\dot {\theta }}_{2}l_{1}l_{2}({\dot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{2})\operatorname {sen}(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}l_{1}l_{2}\operatorname {sen}(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})gl_{1}\operatorname {sen} \theta _{1}=0\\m_{2}l_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+m_{2}{\ddot {\theta }}_{1}l_{1}l_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-m_{2}{\dot {\theta }}_{1}l_{1}l_{2}({\dot {\theta }}_{1}-{\dot {\theta }}_{2})\operatorname {sen}(\theta _{1}-\theta _{2})-m_{2}{\dot {\theta }}_{1}{\dot {\theta }}_{2}l_{1}l_{2}\operatorname {sen}(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}gl_{2}\operatorname {sen} \theta _{2}=0\end{cases}}}
Simplificando obtenemos:
{ ( m 1 + m 2 ) l 1 2 θ ¨ 1 + m 2 θ ¨ 2 l 1 l 2 cos ( θ 1 − θ 2 ) + m 2 θ ˙ 2 2 l 1 l 2 sen ( θ 1 − θ 2 ) + ( m 1 + m 2 ) g l 1 sen θ 1 = 0 m 2 l 2 2 θ ¨ 2 + m 2 θ ¨ 1 l 1 l 2 cos ( θ 1 − θ 2 ) − m 2 θ ˙ 1 2 l 1 l 2 sen ( θ 1 − θ 2 ) + m 2 g l 2 sen θ 2 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}(m_{1}+m_{2})l_{1}^{2}{\ddot {\theta }}_{1}+m_{2}{\ddot {\theta }}_{2}l_{1}l_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}{\dot {\theta }}_{2}^{2}l_{1}l_{2}\operatorname {sen}(\theta _{1}-\theta _{2})+(m_{1}+m_{2})gl_{1}\operatorname {sen} \theta _{1}=0\\m_{2}l_{2}^{2}{\ddot {\theta }}_{2}+m_{2}{\ddot {\theta }}_{1}l_{1}l_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})-m_{2}{\dot {\theta }}_{1}^{2}l_{1}l_{2}\operatorname {sen}(\theta _{1}-\theta _{2})+m_{2}gl_{2}\operatorname {sen} \theta _{2}=0\end{cases}}}
Estas son las ecuaciones de Lagrange para un péndulo doble en el que hemos escogido como coordenadas generalizadas las polares y en el que hay dos ligaduras( l 1 {\displaystyle l_{1}} y l 2 {\displaystyle l_{2}} constantes).
Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas . Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8 .