Sea el polinomio
perteneciente a C[z], de grado k y coeficientes en el cuerpo ℂ de los números complejos, y sean sus k raíces
(pertenecientes a C [1]), entonces se satisfacen exactamente las siguientes k distintas igualdades :
Cada ecuación sumará todos los posibles productos que se formarán con j raíces y lo igualará el cociente (con su signo correspondiente) entre el coeficiente j-ésimo del polinomio y el coeficiente principal del polinomio.
Estas relaciones sirven sobre todo para obtener determinados polinomios conocidas sus raíces. Cabe destacar que si conocemos k raíces de un polinomio de grado k, podremos encontrar a partir de estas relaciones un único polinomio de grado k que posea estas raíces (a menos de una constante multiplicativa).
Factorizamos el polinomio:
Y realizamos el producto del miembro de la derecha y comparamos los coeficientes de cada término
, donde
:
De aquí ya se obtienen de inmediato las fórmulas de Cardano-Vieta.
- ↑ Por ser ℂ algebraicamente cerrado y por el Teorema fundamental del álgebra