Interpretación geométrica del funcional de Minkowski
En matemáticas, en el campo del análisis funcional, un funcional de Minkowski (en referencia al matemático alemán Hermann Minkowski) o función de calibre es una aplicación que establece una noción de distancia en un espacio lineal.
donde el ínfimo del conjunto vacío se define como el infinito positivo, (que no es un número real, por lo que no tendría entonces un valor real).
A menudo se supone (o se elige) que el conjunto tenga algunas propiedades determinadas, como ser un disco absorbente en , lo que garantiza que será una seminorma de valor real en .
De hecho, cada seminorma en es igual al funcional de Minkowski (es decir, ) de cualquier subconjunto de que satisfaga que (donde los tres conjuntos son necesariamente absorbentes en y el primero y el último también son discos).
Así, cada seminorma (que es una función definida por propiedades puramente algebraicas) puede asociarse (de forma no única) con un disco absorbente (que es un conjunto con ciertas propiedades geométricas) y, a la inversa, cada disco absorbente puede asociarse con su funcional de Minkowski (que necesariamente será una seminorma).
Estas relaciones entre seminormas, funcionales de Minkowski y discos absorbentes son una de las principales razones por las que los funcionales de Minkowski se estudian y utilizan en el análisis funcional. En particular, a través de estas relaciones, los funcionales de Minkowski permiten traducir ciertas propiedades geométricas de un subconjunto de y asociarlas con ciertas propiedades algebraicas de una función en .
La función de Minkowski siempre es no negativa (es decir, ). Esta propiedad de ser no negativa contrasta con otras clases de funciones, como la función sublineal y el funcional lineal real, que sí permiten valores negativos. Sin embargo, es posible que no tenga un valor real, ya que para cualquier , dado, el valor es un número real si y solo si no es vacío.
En consecuencia, generalmente se supone que tiene propiedades (como ser absorbente en , por ejemplo) que garantizarán que tenga un valor real.
Sea un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo . Se define el calibre de o el funcional de Minkowski asociado o inducido por como la función , valorada en los números reales extendidos, definida por
donde se debe recordar que el ínfimo del conjunto vacío es , (es decir, ). Aquí, es la abreviatura de .
Para cualquier , si y solo si no está vacío. Las operaciones aritméticas en se pueden extender para operar en , donde para todos los reales distintos de cero. Los productos y permanecen sin definir.
Algunas condiciones que hacen que un calibre tenga valor real
En el campo del análisis de convexidad, que la aplicación tome el valor de , no es necesariamente un problema. Sin embargo, en el análisis funcional casi siempre tiene un valor real (es decir, nunca toma el valor de ,), lo que ocurre si y solo si el conjunto no está vacío para cada .
Para que tenga valor real basta con que el origen de pertenezca al interior algebraico o núcleo de en .[1]
Si es absorbente en , debe recordarse que esto implica que , entonces el origen pertenece al interior algebraico de en y, por lo tanto, tiene un valor real.
A continuación se detallan las caracterizaciones de cuándo tiene un valor real.
Considérese un espacio vectorial normado, con la norma y sea la bola unitaria en . Entonces, para cada , . Por lo tanto, el funcional de Minkowski es solo la norma en .
Ejemplo 2
Sea un espacio vectorial sin topología con campo escalar subyacente . Sea cualquier funcional lineal en (no necesariamente continuo). Fijar . Sea el conjunto
y sea el funcional de Minkowski de .
Entonces
.
La función tiene las siguientes propiedades:
Es subaditiva:
Es absolutamente homogénea: para todos los escalares
Es no negativa:
Por lo tanto, es una seminorma sobre , con una topología inducida. Esto es característico de los funcionales de Minkowski definidos mediante conjuntos agradables. Existe una correspondencia uno a uno entre las seminormas y el funcional de Minkowski dado por tales conjuntos. Lo que se entiende precisamente por agradable se analiza en la siguiente sección.
Obsérvese que, a diferencia de un requisito más estricto para una norma, no tiene por qué implicar que . En el ejemplo anterior, se puede tomar un distinto de cero del núcleo de . En consecuencia, la topología resultante no tiene por qué ser de Hausdorff.
Las condiciones comunes que garantizan los calibres son seminormas
Para garantizar que , se asumirá en adelante que .
Para que sea una seminorma, basta con que sea un disco (es decir, convexo y equilibrado) y absorbente en , que son los supuestos más comunes que se le hacen a .
Si es un discoabsorbente en un espacio vectorial , entonces el funcional de Minkowski de , que es la aplicación definida por
es una seminorma en .
Además,
De manera más general, si es convexo y el origen pertenece al interior algebraico de , entonces es un funcional sublineal no negativo en , lo que implica en particular que es subaditivo y homogéneo positivo. Si es absorbente en , entonces es homogéneo positivo, lo que significa que para todos los reales donde .[3]
Si es una función de valor real no negativa en que es homogénea positiva, entonces los conjuntos y satisfacen que y Si además es absolutamente homogéneo, entonces tanto como son conjuntos equilibrados. [3]
Podría decirse que los requisitos más comunes impuestos a un conjunto para garantizar que sea una seminorma son que sea un discoabsorbente en . Debido a lo comunes que son estas suposiciones, a continuación se van a investigar las propiedades de un funcional de Minkowski cuando es un disco absorbente. Dado que todos los resultados mencionados anteriormente hacen pocas (si es que hay alguna) suposición sobre , se pueden aplicar en este caso especial.
Teorema
Supóngase que es un subconjunto absorbente de . Entonces, se demuestra que:
Demostración de que el calibre de un disco absorbente es una seminorma:
Convexidad y subaditividad
Un argumento geométrico simple que muestra que la convexidad de implica subaditividad es el siguiente: Supóngase por el momento que . Entonces, para todo , . Dado que es convexo y , entonces también es convexo. Por lo tanto, . Por definición del funcional de Minkowski
Pero el lado izquierdo de la ecuación es , por lo que
.
Dado que era arbitrario, se deduce que , es la desigualdad buscada. El caso general se obtiene tras la modificación obvia.
La convexidad de , junto con el supuesto inicial de que el conjunto no está vacío, implica que es absorbente.
Equilibrio y homogeneidad absoluta
Observe que el hecho de que esté equilibrado implica que
donde es el interior y es la clausura topológica de en .[6] Es importante destacar que no se asumió que era continuo ni que tuviera propiedades topológicas.
Además, el funcional de Minkowski es continuo si y solo si es un entorno del origen en .[6] Si es continuo, entonces[6]
En esta sección se investiga el caso más general del calibre de cualquier subconjunto de . El caso especial más común en el que se supone que es un discoabsorbente en se analizó anteriormente.
Una aplicación se llama homogénea no negativa[7] si para todo y todo no negativo real. Dado que no está definido, una aplicación que toma el infinito como valor no es homogénea no negativa.
Valor real: es el conjunto de todos los puntos en los que tiene un valor real. Entonces tiene valor real si y solo si , en cuyo caso .
Valor en : si y solo si si y solo si .
Núcleo: Si entonces si y solo si si y solo si existe una secuencia divergente de números reales positivos tal que para todo . Además, el conjunto cero de es .
Comparación con una constante: Si entonces para cualquier , si y solo si . Este enunciado se puede reformular como: Si entonces .
Se deduce que si es real entonces , donde el conjunto del lado derecho denota y no su subconjunto . Si entonces estos conjuntos son iguales si y solo si contiene a .
En particular, si o entonces , pero, lo que es más importante, lo contrario no es necesariamente cierto.
Comparación de calibre: Para cualquier subconjunto , si y solo si ; y por lo tanto si y solo si .
La asignación es de orden inverso en el sentido de que si entonces .[8]
Debido a que el conjunto satisface que , se deduce que reemplazar con no cambiará el funcional de Minkowski resultante. Lo mismo ocurre con y con .
Si entonces y tienen la propiedad particularmente conveniente de que si es real entonces si y solo si o .[nota 1] Además, si es real entonces si y solo si .
Subaditividad/desigualdad triangular: es subaditivo si y solo si es convexo. Si es convexo, entonces también lo son y y, además, es subaditivo.
Escalado del conjunto: Si es un escalar, entonces para todos los . Por lo tanto, si es real, entonces .
Función homogénea: para todos los y todos los escalares de longitud unitaria [nota 2] si y solo si para todos los escalares de longitud unitaria , en cuyo caso para todos los y todos los escalares no nulos. Si además también es real-valorado, entonces esto es válido para todos los escalares (es decir, es[nota 3] absolutamente homogéneo).
para todas las longitudes unitarias si y solo si para todas las longitudes unitarias .
para todos los escalares unitarios si y solo si para todos los escalares unitarios si este es el caso, entonces para todos los escalares unitarios .
es simétrico (es decir, para todos los ) si y solo si , lo que ocurre si y solo si .
Absorbente: Si es convexo, o está equilibrado y si entonces es absorbente en .
Si un conjunto es absorbente en y , entonces es absorbiente en .
Si es convexo y entonces , en cuyo caso .
Restricción a un subespacio vectorial: Si es un subespacio vectorial de y si denota el funcional de Minkowski de en , entonces , donde denota la restricción de a .
Demostración
Las demostraciones de estas propiedades básicas son ejercicios sencillos, por lo que solo se dan las pruebas de las afirmaciones más importantes.
La prueba de que un subconjunto convexo que satisface es necesariamente absorbente en es sencilla y se puede encontrar en el artículo sobre conjuntos absorbentes.
Para cualquier real
de modo que tomando el mínimo de ambos lados se comprueba que
.
Esto demuestra que los funcionales de Minkowski son estrictamente homogéneos positivos. Para que esté bien definido, es necesario y suficiente que , por lo tanto, para todo y todo valor real no negativo si y solo si tiene un valor real.
La hipótesis del enunciado (7) permite concluir que para todo y todos los escalares que satisfacen . Todo escalar tiene la forma para algún real donde y son reales si y solo si es real. Los resultados de la afirmación sobre la homogeneidad absoluta se derivan inmediatamente de la conclusión antes mencionada, de la estricta homogeneidad positiva de , y de la homogeneidad positiva de cuando tiene un valor real.
Si es una colección no vacía de subconjuntos de , entonces para todos los , donde .
Por lo tanto, para todos los .
Si es una colección no vacía de subconjuntos de y satisface
entonces para todos los .
Los siguientes ejemplos muestran que la inclusión podría ser adecuada.
Ejemplo: Si y entonces pero , lo que demuestra que es posible que sea un subconjunto propio de cuando .
El siguiente ejemplo muestra que la inclusión puede ser propia cuando . El ejemplo se puede generalizar a cualquier real. Suponiendo que , el siguiente ejemplo es representativo de cómo sucede que satisface pero .
Ejemplo: Sea distinto de cero y para que y . De se deduce que . Que se deduce de observar que para cada , , que contiene a . Así, y . Sin embargo, para que , sea lo deseado.
La homogeneidad positiva caracteriza a los funcionales de Minkowski
El siguiente teorema muestra que los funcionales de Minkowski son exactamente aquellas funciones que tienen cierta propiedad puramente algebraica que se encuentra comúnmente.
Teorema
Sea cualquier función. Las siguientes declaraciones son equivalentes:
Si es válido para todos los y real, entonces de modo que .
Sólo (1) implica que (3) será demostrado porque después, el resto del teorema se sigue inmediatamente de las propiedades básicas de los funcionales de Minkowski descritas anteriormente, propiedades que en adelante se utilizarán sin comentarios.
Entonces, supóngase que es una función tal que para todo y todo real, y sea .
Para todos los , reales, tomando por ejemplo, se deduce que o que .
Sea . Entonces, queda por demostrar que .
A continuación se demuestra que si o entonces , de modo que en particular se sigue que . Entonces, supóngase que o en cualquier caso para todos los reales. Ahora bien, si , entonces esto implica que ese es para todo real (desde ), lo que implica que , tal como se quería comprobar. De manera similar, si entonces para todos los reales, lo que implica que . Por lo tanto, en adelante se supondrá que es un número real positivo y que (sin embargo, es importante destacar que aún no se ha descartado la posibilidad de que sea o ).
Recuérdese que al igual que , la función satisface que para todos los reales. Puesto que , si y solo si se asume sin pérdida de generalidad que y queda por demostrar que . Dado que , , esto implica que (en particular, está garantizado). Queda por demostrar que , que debe recordarse que ocurre si y solo si . Así que supóngase, para obtener una contradicción, que y sean y tales que , donde debe tenerse en cuenta que implica que . Entonces .
Este teorema se puede ampliar para caracterizar ciertas clases de aplicaciones con valores (por ejemplo, la función sublineal con valores reales) en términos de funcionales de Minkowski. Por ejemplo, se puede utilizar para describir cómo cada función homogénea real (como los funcionales lineales) se puede escribir en términos de un funcional de Minkowski único que tiene una determinada propiedad.
Caracterización de los funcionales de Minkowski en los conjuntos con forma de estrella
Sea cualquier función y cualquier subconjunto. Las siguientes declaraciones son equivalentes:
es (estrictamente) homogéneo positivo, , y
.
es el funcional de Minkowski de (es decir, ), contiene el origen y tiene forma de estrella respecto al origen.
El conjunto tiene forma de estrella respecto al origen si y solo si siempre que y . Un conjunto que tiene forma de estrella respecto al origen a veces se denomina conjunto en estrella.[10]
Caracterización de los funcionales de Minkowski que son seminormas
En el siguiente teorema, que se sigue inmediatamente de las afirmaciones anteriores, se supone que no es absorbente en y, en cambio, se deduce que es absorbente cuando es una seminorma. Tampoco se supone que sea equilibrado (que es una propiedad que a menudo se requiere que tenga ). En su lugar, está la condición más débil de que para todos los escalares que satisfacen que . El requisito común de que sea convexo también se reduce a exigir únicamente que sea convexo.
Teorema
Sea un subconjunto de un espacio vectorial real o complejo . Entonces, es una seminorma en si y solo si se cumplen todas las condiciones siguientes: