Límite (teoría de categorías) , la enciclopedia libre

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En teoría de categorías, una rama de la matemática, la noción abstracta de límite captura las propiedades esenciales de las construcciones universales tales como productos y límites inversos. La noción dual de colímite generaliza construcciones tales como uniones disjuntas, sumas directas, coproductos, pushouts y límites directos.

Los límites y colímites, como las nociones fuertemente relacionadas con propiedades universales y funtores adjuntos, requieren un gran nivel de abstracción. De manera que, para entenderlos, es útil estudiar primero los ejemplos específicos de esos conceptos que serán luego objeto de generalización.

Empezamos definiendo el cono de un funtor covariante ${\displaystyle F:J\rightarrow C}$, en el sentido teoría de categorías, ayudándonos del siguiente diagrama, que constará de:

• dos objetos de la categoría ${\displaystyle J}$: ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$,
• un morfismo ${\displaystyle f}$, de dicha categoría, ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$Y,
• las imágenes por ${\displaystyle F}$ de los dos objetos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$,
• la "${\displaystyle F}$-imagen" del morfismo ${\displaystyle f}$ (imagen de ${\displaystyle f}$ por ${\displaystyle F}$: ${\displaystyle F(f)}$),
• un objeto L de la categoría C, "vértice" del "cono", y
• los conjuntos de morfismos X e Y (los llamamos igual que los objetos X e Y), que constan de todos los morfismos desde L a F(X), y desde L hacia F(Y).

Si el objeto en J es X, en la definición de cono que damos decimos "X" también al conjunto de flechas que van del objeto L sobre el que hacemos el cono hacia dicho X. Además, el cono sobre L lo denotaremos así: (L, X), queriendo decir que hacemos la colección de todas las familias de flechas que apuntan desde L, esto es, esos conjuntos de flechas "X" en la categoría codominio del funtor F y que hemos denominado "varias" para sugerir que pueden ser varias.

Un límite del funtor F es entonces un "cono universal". Esto es, decimos que el cono (L, X) es un límite para el funtor F si y sólo si para todo otro cono (N, X) de F, existe un único morfismo u: N ${\displaystyle \rightarrow }$ L tal que X · u = X. Esto es, podemos decir que los morfismos X factorizan a través de L con la factorización única u.

Las definiciones de colímite y de cocono se obtienen considerando la definición dual a las de límite y cono.

• Límite directo
• Límite inverso
• Producto (teoría de categorías)
• Coproducto (teoría de categorías)

• Categories for the Working Mathematician 5 (2nd edición). New York, NY: Springer-Verlag. 1998. ISBN 0-387-98403-8. 

• Limits in Category Theory — Scott Messick (en inglés)