Una matriz antisimétrica es una matriz cuadrada A cuya traspuesta es igual a su opuesta, es decir vale la relación AT = -A.
Una matriz de m × n elementos (m = filas, n = columnas) :
![{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&a_{m3}&\cdots &a_{mn}\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95f170a4f492d829eafd92e2515ac2e74f43c8fa)
es antisimétrica (o hemisimétrica), si es una matriz cuadrada (m = n) y
para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia,
para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:
![{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccccc}0&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\-a_{12}&0&a_{23}&\cdots &a_{2n}\\-a_{13}&-a_{23}&0&\cdots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1n}&-a_{2n}&-a_{3n}&\cdots &0\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d31f2c20ee391891d272182e48057d3bca2da539)
La matriz
![{\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrr}{0}&{-2}&{4}\\{2}&{0}&{2}\\{-4}&{-2}&{0}\\\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/281db94e6b075ed44629e59a1a549d42e98be7eb)
es antisimétrica, ya que
![{\displaystyle A^{T}=\left[{\begin{array}{rrr}{0}&{2}&{-4}\\{-2}&{0}&{-2}\\{4}&{2}&{0}\\\end{array}}\right]=-A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16afdf6907434e9811ae77c0399fbdd4fadf9ba)
La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al opuesto. Nótese que la matriz traspuesta de la matriz antisimétrica A es -A, y que la antisimetría es respecto a la diagonal principal.
Si n=m es impar el determinante de la matriz siempre será 0
Descomposición en matriz simétrica y antisimétrica
[editar] Sea A una matriz cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simétrica y antisimétrica de la siguiente forma:
![{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left(A+A^{T}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb5e9d4f44a41015c90f35f2418637551e714b0)
donde la parte antisimétrica es
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(A-A^{T}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de15617105741956ff60ec8c08fa7e8acf5f8fba)
Demostración |
Se utilizan las propiedades de la transposición.
Queda entonces demostrado por definición que es antisimétrica. |