Media-f generalizada , la enciclopedia libre

Una f-media generalizada o media cuasi-aritmética es una generalización del concepto de media que generaliza tanto a la media aritmética, como la media geométrica, la media cuadrática o la media armónica, por medio de una función ${\displaystyle f}$.

También recibe el nombre de media de Kolmogorov en honor al científico ruso Andrey Kolmogorov.

Sea una función ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ que es continua e inyectiva entonces se define la f-media de dos números como:

${\displaystyle x_{1},x_{2}\in I,}$ como ${\displaystyle M_{f}(x_{1},x_{2})=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}\right)}$

Para n números:

${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}$, su f-media es ${\displaystyle M_{f}x=f^{-1}\left({\frac {f(x_{1})+\cdots +f(x_{n})}{n}}\right)}$

La f-media está bien definida gracias a que se ha requerido que f sea inyectiva para asegurar que existe la función inversa ${\displaystyle f^{-1}}$. Además puesto que ${\displaystyle f}$ está definida en un intervalo, ${\displaystyle {\frac {f\left(x_{1}\right)+f\left(x_{2}\right)}{2}}}$ estará en el dominio de ${\displaystyle f^{-1}}$.

Puesto que f es inyectiva y continua, se deduce que f es estrictamente monótona, y por tanto que la f-media está entre el máximo y el mínimo del conjunto de datos:

${\displaystyle \min\{x_{1},x_{2},\dots x_{n}\}\leq f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)\leq \max\{x_{1},x_{2},\dots x_{n}\}}$

• Aczél, J.; Dhombres, J. G. (1989) Functional equations in several variables. With applications to mathematics, information theory and to the natural and social sciences. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1989.
• Andrey Kolmogorov (1930) “Mathematics and mechanics”, Moscow — pp. 136-138. (In Russian)
• Andrey Kolmogorov (1930) Sur la notion de la moyenne. Atti Accad. Naz. Lincei 12, pp. 388-391.
• John Bibby (1974) “Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences,” Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, pp. 63–65.
• Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952) Inequalities. 2nd ed. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1952.