Momento central , la enciclopedia libre

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En estadística el momento central o centrado de orden ${\displaystyle k}$ de una variable aleatoria ${\displaystyle X}$ es la esperanza ${\displaystyle \operatorname {E} [(X-E[X])^{k}]}$ donde ${\displaystyle \operatorname {E} }$ es el operador de la esperanza. Si una variable aleatoria no tiene media, el momento central es indefinido. También se puede definir como:

${\displaystyle \mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)\,dx.}$

Normalmente la letra griega para el momento central es μ. El primer momento central es cero y el segundo se llama varianza (σ²) donde σ es la desviación estándar. El tercer y cuarto momentos centrales sirven para definir los momentos estándar denominados de asimetría y de curtosis.

Las fórmulas de los momentos centrados y no centrados se pueden obtener a partir de la fórmula de la esperanza matemática. Si la desarrollamos, obtenemos que los momentos no centrados son:

Orden 0: ${\displaystyle E[x^{0}]=1}$

Orden 1: ${\displaystyle E[x]={\frac {\sum _{i}x_{i}}{n}}=m=\alpha }$

Orden 2: ${\displaystyle E[x^{2}]={\frac {\sum _{i}x_{i}^{2}}{n}}=\alpha _{2}}$

Orden 3: ${\displaystyle E[x^{3}]={\frac {\sum _{i}x_{i}^{3}}{n}}=\alpha _{3}}$

Orden 4: ${\displaystyle E[x^{4}]={\frac {\sum _{i}x_{i}^{4}}{n}}=\alpha _{4}}$

Mientras que los centrados son:

Orden 0: ${\displaystyle E[(x-m)^{0}]=1}$

Orden 1: ${\displaystyle E[(x-m)]=\alpha -\alpha =0}$

Orden 2: ${\displaystyle E[(x-m)^{2}]=\alpha _{2}-\alpha ^{2}=\sigma ^{2}=\mu _{2}}$

Orden 3: ${\displaystyle E[(x-m)^{3}]=\alpha _{3}-3\alpha \alpha _{2}+2\alpha ^{3}=\mu _{3}}$

Orden 4: ${\displaystyle E[(x-m)^{4}]=\alpha _{4}-4\alpha \alpha _{3}+6\alpha ^{2}\alpha _{2}-3\alpha ^{4}=\mu _{4}}$

• [1] Simulación de la esperanza, varianza, momentos centrados y no centrados de una variable continua con R (lenguaje de programación).