تابع انتخاب - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

این مقاله نیازمند ویکی‌سازی است. لطفاً با توجه به راهنمای ویرایش و شیوه‌نامه، محتوای آن را بهبود بخشید.

در نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها اصلی موضوعی موسوم به اصل موضوع انتخاب بیان می‌کند برای هر دسته ناتهی ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ از مجموعه‌های ناتهی، تابعی چون ${\displaystyle f:{\mathcal {C}}\to \cup {\mathcal {C}}}$ وجود دارد که بری هر ${\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}$ داریم ${\displaystyle f(A)\in A}$ این تابع را تابع انتخاب می‌گوییم.

اجمالاً تابع انتخاب، انتخاب‌های هم‌زمان از اعضای دسته ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ انجام می‌دهد و اعضای انتخاب شده را در برد خود قرار می‌دهد.

نکته‌ای که جالب و جنجال بر انگیز است این است که تنها وجودِ این تابع به‌وسیله اصل موضوع انتخاب تضمین می‌شود حتی اگر تعداد مجموعه‌های دسته مفروض ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ نامتناهی باشد، و هیچ روشی برای نحوه این انتخاب ارائه نمی‌کند به عبارت دیگر برای این تابع ضابطه‌ای در نظر نمی‌گیرد. این تابع به ما امکان انتخاب‌های نامتناهی را هم می‌دهد که این امر برای اثبات بسیاری از قضایای نظریه مجموعه‌ها، خصوصاً قضیه خوشترتیبی و لم زرن لازم است.^[۱][۲]

1. ↑ "Here, moreover, we come upon a very remarkable circumstance, namely, that all of these transfinite axioms are derivable from a single axiom, one that also contains the core of one of the most attacked axioms in the literature of mathematics, namely, the axiom of choice: ${\displaystyle A(a)\to A(\varepsilon (A))}$, where ${\displaystyle \varepsilon }$ is the transfinite logical choice function." Hilbert (1925), “On the Infinite”, excerpted in Jean van Heijenoort, From Frege to Gödel, p. 382. From nCatLab.
2. ↑ John Harrison, "The Bourbaki View" eprint.