مجموعه‌های مجزا - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

در نظریه مجموعه‌ها دو مجموعهٔ ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ مجموعه‌های مجزا (به انگلیسی: Disjoint sets) هستند، دارای هیچ عضو مشترکی نباشند. چند مجموعه به صورت زوج مجزا هستند اگر هر جفت دوتایی از آن‌ها دارای عضو مشترک نباشد.

مجموعه‌های ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ مجزا هستند، زمانی که اشتراک آن‌ها مجموعهٔ تهی باشد، در این صورت داریم:

${\displaystyle A\cap B=\emptyset }$

یک خانواده ${\displaystyle (M_{i})_{i\in I}}$ (مجموعه‌ای از مجموعه‌ها) زمانی مجزا است که تمامی اعضای آن جفت-جفت مجزا باشند، در این صورت داریم:

${\displaystyle M_{i}\cap M_{j}=\emptyset }$ برای ${\displaystyle \!\,i\neq j}$ و ${\displaystyle i,j\in I}$

اگر اجتماع این مجموعه‌ها را در نظر بگیریم، آنگاه اجتماع مجموعه‌های مجزا به دست می‌آید که به شکل زیر است:

${\displaystyle M={\dot {\bigcup _{i\in I}}}M_{i}}$

اگر اعضای خانواده مجموعهٔ تهی نباشند، در این صورت به افراز مجموعه ${\displaystyle M}$ می‌رسیم.

به صورت همانند می‌توان به جای خانواده مجموعه‌ها از سیستم مجموعه‌ها هم استفاده کرد.

• مجموعه‌های ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$ و ${\displaystyle B=\{7,8,11\}}$ مجزایند، چون هیچ عضو مشترکی ندارد.
• مجموعه‌های ${\displaystyle A=\{1,2,7\}}$ و ${\displaystyle B=\{6,7,8,11\}}$ مجزا نیستند، چون دارای عضو مشترک ${\displaystyle 7}$ هستند.
• سه مجموعهٔ ${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$، ${\displaystyle B=\{4,5\}}$ و ${\displaystyle C=\{5,6,7\}}$ به صورت جفت مجزا نیستند، چون حداقل یکی از اشتراک‌های آن‌ها (${\displaystyle B\cap C}$) مجموعهٔ غیرتهی است.

افراز زیر، افرازی نامتناهی از مجموعه‌های مجزا است که اعداد صحیح را شکل می‌دهند:

${\displaystyle \{0\},\{1,-1\},\{2,-2\},\{3,-3\},\{4,-4\},\ldots }$.

• مجموعه تهی ${\displaystyle \emptyset }$ از هر مجموعهٔ دیگر مجزاست.
• ${\displaystyle \{a\}}$ و ${\displaystyle B}$ حتماً مجزا هستند، اگر ${\displaystyle a\notin B}$.
• قدرت یک اجتماع مجزا متناهی برابر است با جمع تک تک قدرت‌ها. برای اجتماع‌های غیر مجزا به فرمول زیب مراجعه کنید.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Disjunkt». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای آلمانی ، بازبینی‌شده در ۱۴ آوریل ۲۰۱۱.