مختصات دوقطبی - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

مختصات دوقطبی (انگلیسی: Bipolar coordinates) یک دستگاه مختصات متعامد در فضای دوبعدی است. دو گونهٔ معمول دستگاه مختصات دوقطبی تعریف می‌شود. اولی بر اساس دوایر آپولونیوسی است. منحنی‌های ثابت σ و τ دایره‌هایی هستند که در زوایای راست همدیگر را قطع می‌کنند. دستگاه مختصات دو کانون ${\displaystyle F_{1}}$ و ${\displaystyle F_{2}}$ دارد که به ترتیب در (−a, 0) و (a, 0)، روی محور xهای دستگاه مختصات دکارتی ثابتند. گونهٔ دوم دستگاه مختصات دوقطبی دومرکزی است. گونهٔ سومی هم هست که بر اساس دو قطب ایجاد می‌شود و به مختصات دوزاویه‌ای موسوم است.

عبارت دوقطبی گاه برای توصیف منحنی‌هایی که دو کانون دارند (مثل بیضی و هذلولی) به کار می‌رود. بااین‌حال عبارت مختصات دوقطبی صرفاً برای دستگاهی که شرح آن رفت به کار می‌رود و برای اشاره به دستگاه‌های مختصات مرتبط با دیگر منحنی‌ها (مانند دستگاه مختصات دائرةالبروجی که بر اساس بیضی است) به کار نمی‌رود.

معمول‌ترین تعریف مختصات دوقطبی (σ, τ) عبارت است از:

${\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

${\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}$

که در آن مختصات σ نقطهٔ P برابر زاویه F₁ P F₂ است، و مختصات τ آن برابر لگاریتم طبیعی نسبت فاصله d₁ و d₂ به کانون

${\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}$

(فراموش نشود که F₁ و F₂ به‌ترتیب در (−a, 0) و (a, 0)قرار دارند) توجه شود که بازه σ از -π/۲ تا π/۲است و بازه τ از ${\displaystyle -\infty }$ تا ${\displaystyle \infty }$. همین‌طور

${\displaystyle x+iy=ai\cot \left({\frac {\sigma +i\tau }{2}}\right)}$

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Bipolar coordinates». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۹ دسامبر ۲۰۱۸.