فاصله - ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد

فاصِله یک کمیت عددی برای تعیین مقدار دوری یا نزدیکی دو چیز است.

«فاصله» در زمینه‌های مختلفی تعریف می‌شود. به عنوان مثال، فاصلهٔ دو جسم از هم یا فاصلهٔ دو روز از سال.

در هندسهٔ اقلیدسی، انواع مختلفی از فاصله تعریف می‌شود؛ امّا به طور کلّی منظور از «فاصله» همان فاصلهٔ اقلیدسی است.

به طول کوتاه‌ترین خط بین دو نقطه‌ی ${\displaystyle A}$ و ${\displaystyle B}$ فاصلهٔ اقلیدسی (با نماد ${\displaystyle {\overline {AB}}}$^[۱]) گفته می‌شود.

در هندسهٔ تحلیلی فاصلهٔ بین دو نقطه‌ی ${\displaystyle A=(A_{x},A_{y})}$ و ${\displaystyle B=(B_{x},B_{y})}$ را می‌توان به کمک قضیهٔ فیثاغورث پیدا کرد که به فرمول زیر می‌رسد^[۲]:

${\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}={\sqrt {(A_{x}-B_{x})^{2}+(A_{y}-B_{y})^{2}}}}$

این فرمول را می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد؛ یعنی اگر ${\displaystyle A=(A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})}$ و ${\displaystyle B=(B_{1},B_{2},\dots ,B_{n})}$:

${\displaystyle {\overline {AB}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{(\Delta A_{i})^{2}}}}={\sqrt {(A_{1}-B_{1})^{2}+(A_{2}-B_{2})^{2}+\dots +(A_{n}-B_{n})^{2}}}}$

فاصله میان نقطه (${\displaystyle P=(x_{p},y_{p}}$ و خط ${\displaystyle l}$، از طریق نقاط ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ و ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ برابر است با:

${\displaystyle d(P,l)={\sqrt {(x_{p}-x_{0}-\lambda _{q}(x_{1}-x_{0}))^{2}+(y_{p}-y_{0}-\lambda _{q}(y_{1}-y_{0}))^{2}}}}$

که در آن:

${\displaystyle \lambda _{q}={\frac {(x_{1}-x_{0})(x_{p}-x_{0})+(y_{1}-y_{0})(y_{p}-y_{0})}{(x_{1}-x_{0})^{2}+(y_{1}-y_{0})^{2}}}}$

اگر مقدار ${\displaystyle \lambda _{q}}$ میان ۰ و ۱ باشد نقطهٔ تقاطع ${\displaystyle l}$ و خط گذرنده از ${\displaystyle P}$ و عمود بر ${\displaystyle l}$ بین نقاط ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ و ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ جای می‌گیرد.

نام این نوع فاصله از منهتن در نیویورک آمریکا الهام گرفته شده؛ به این دلیل که نقشهٔ جادّه‌های آنجا بلوک‌بندی شده. فاصلهٔ منهتنی دو خانه برابر مسافتی ست که یک تاکسی باید طی کند تا به مقصد برسد.

فاصلهٔ منهتنی دو نقطه‌ی ${\displaystyle A=(A_{x},A_{y})}$ و ${\displaystyle B=(B_{x},B_{y})}$ (با نماد ${\displaystyle d_{1}}$) با فرمول زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \mathrm {d_{1}} (A,B)=\left\vert \Delta x\right\vert +\left\vert \Delta y\right\vert }$

این فرمول را نیز می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.

این نوع فاصله به این دلیل شطرنجی نامیده شده که در شطرنج برابر تعداد نوبت‌های مورد نیاز شاه برای رسیدن به مقصدش می‌باشد.

فاصلهٔ شطرنجی دو نقطه‌ی ${\displaystyle A=(A_{x},A_{y})}$ و ${\displaystyle B=(B_{x},B_{y})}$ (با نماد ${\displaystyle d_{1}}$) با فرمول زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \mathrm {d_{\infty }} (A,B)=\max\{\Delta x,\Delta y\}}$

این فرمول را نیز می‌توان به ابعاد بالاتر تعمیم داد.

در فضای ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ فاصلهٔ مینکوفسکی از مرتبهٔ ${\displaystyle p}$ (یا p-نُرم با نماد ${\displaystyle \mathrm {d} _{p}}$) بین دو نقطه‌ی ${\displaystyle A=(A_{1},A_{2},\dots ,A_{n})}$ و ${\displaystyle B=(B_{1},B_{2},\dots ,B_{n})}$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}\left|A_{i}-B_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}$

فاصلهٔ منهتنی معادل ۱-نرم، فاصلهٔ شطرنجی معادل ∞-نرم و فاصلهٔ اقلیدسی معادل ۲-نرم (${\displaystyle \mathrm {d} _{2}}$) هستند.

در نظریّهٔ گراف‌ها، فاصلهٔ دو رأس (با نماد ${\displaystyle d}$) برابر طول کوتاه‌ترین مسیر بین دو آن دو تعریف می‌شود^[۳].

مجموعه‌ای از گفتاوردهای مربوط به فاصله در ویکی‌گفتاورد موجود است.

این یک مقالهٔ خرد ریاضیات است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید.