Calcul fraccional d'ensembles — Wikipédia
Le Calcul Fraccional des Ensembles (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mentionné pour la première fois dans l'article intitulé "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods"[1], est une méthodologie dérivée du Calcul Fraccional[2]. Le concept principal derrière le FCS est la caractérisation des éléments du calcul fraccional en utilisant des ensembles en raison du grand nombre d'opérateurs fraccionals disponibles[3],[4],[5]. Cette méthodologie est née du développement de la méthode de Newton-Raphson Fraccional [6] et des travaux ultérieurs connexes[7],[8],[9].
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Ensemble d'Opérateurs Fraccionals
[modifier | modifier le code]Le calcul fraccional, une branche des mathématiques qui traite des dérivées d'ordre non entier, a émergé presque simultanément avec le calcul traditionnel. Cette émergence était en partie due à la notation de Leibniz pour les dérivées d'ordre entier : . Grâce à cette notation, L’Hôpital a pu demander dans une lettre à Leibniz l'interprétation de prendre dans une dérivée. À ce moment-là, Leibniz n'a pas pu fournir une interprétation physique ou géométrique pour cette question, il a donc simplement répondu à L’Hôpital dans une lettre que "... c'est une apparente paradoxe de laquelle, un jour, on dérivera des conséquences utiles".
Le nom "calcul fraccional" provient d'une question historique, car cette branche de l'analyse mathématique étudie les dérivées et intégrales d'un certain ordre . Actuellement, le calcul fraccional manque d'une définition unifiée de ce qui constitue une dérivée fraccional. En conséquence, lorsqu'il n'est pas nécessaire de spécifier explicitement la forme d'une dérivée fraccional, on la note typiquement de la manière suivante :
Les opérateurs fraccionals ont plusieurs représentations, mais l'une de leurs propriétés fondamentales est qu'ils retrouvent les résultats du calcul traditionnel à mesure que . Considérant une fonction scalaire et la base canonique de désignée par , l'opérateur fraccional suivant d'ordre est défini en utilisant la notation d'Einstein[10]:
Désignant comme la dérivée partielle d'ordre par rapport au -ième composant du vecteur , l'ensemble d'opérateurs fraccionals suivant est défini :
dont le complément est :
En conséquence, l'ensemble suivant est défini :
Extension aux Fonctions Vectorielles
[modifier | modifier le code]Pour une fonction , l'ensemble est défini comme suit :
où désigne le -ième composant de la fonction .
Ensemble d'Opérateurs Fraccionals
[modifier | modifier le code]L'ensemble des opérateurs fraccionals considérant des ordres infinis est défini comme suit :
où sous le produit de Hadamard classique[11] on a :
Opérateurs Fraccionals Matriciels
[modifier | modifier le code]Pour chaque opérateur , l'opérateur matriciel fraccional est défini comme suit :
et pour chaque opérateur , on peut définir la matrice suivante, correspondant à une généralisation de la Matrice Jacobienne[12]:
où .
Produit de Hadamard Modifié
[modifier | modifier le code]Considérant que, en général, , le produit de Hadamard modifié suivant est défini :
avec lequel on obtient le théorème suivant :
Théorème : Groupe Abélien d'Opérateurs Matriciels Fraccionals
[modifier | modifier le code]Soit un opérateur fraccional tel que . Considérant le produit de Hadamard modifié, l'ensemble suivant d'opérateurs matriciels fraccionals est défini :
qui correspond au Groupe Abélien[13] généré par l'opérateur .
Démonstration
[modifier | modifier le code]Étant donné que l'ensemble dans l'équation (1) est défini en appliquant uniquement le produit de Hadamard de type vertical entre ses éléments, pour tous , on a que :
avec lequel il est possible de démontrer que l'ensemble (1) satisfait les propriétés suivantes d'un groupe Abélien :
Ensemble d'Opérateurs Fraccionals
[modifier | modifier le code]Soit l'ensemble . Si et , alors il est possible de définir la notation suivante notation multi-indice:
Alors, considérant une fonction et l'opérateur fraccional :
le suivant ensemble d'opérateurs fraccionals est défini comme suit :
D'où il découle les résultats suivants :
En conséquence, considérant une fonction , le suivant ensemble d'opérateurs fraccionals est défini comme suit :
Ensemble d'Opérateurs Fraccionals
[modifier | modifier le code]Considérant une fonction et le suivant ensemble d'opérateurs fraccionals :
Alors, en prenant une boule , il est possible de définir le suivant ensemble d'opérateurs fraccionals :
ce qui permet de généraliser l'expansion en série de Taylor d'une fonction vectorielle en notation multi-indice. En conséquence, il est possible d'obtenir le résultat suivant :
Méthode de Newton-Raphson Fraccional
[modifier | modifier le code]Soit une fonction avec un point tel que . Alors, pour un certain et un opérateur fraccional , il est possible de définir un type d'approximation linéaire de la fonction autour de comme suit :
ce qui peut être exprimé de manière plus compacte comme :
où désigne une matrice carrée. D'autre part, si et étant donné que , on en déduit ce qui suit :
En conséquence, en définissant la matrice :
il est possible de définir la méthode itérative fraccional suivante :
ce qui correspond au cas le plus général de la méthode de Newton-Raphson fraccional.
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L'utilisation des opérateurs fractionnaires dans les méthodes de point fixe a été largement étudiée et citée dans diverses sources académiques. Des exemples de cela peuvent être trouvés dans plusieurs articles publiés dans des revues de renom, tels que ceux présentés dans ScienceDirect (1), (2), Springer (3), World Scientific (4), et MDPI (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12). On trouve également des études dans Taylor & Francis (Tandfonline) (13), Cubo (14), Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas (15), Journal of Research and Creativity (16), MQR (17), et Актуальные вопросы науки и техники (18). Ces travaux soulignent la pertinence et l'applicabilité des opérateurs fractionnaires dans la résolution de problèmes.
Références
[modifier | modifier le code]- Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods
- Applications of fractional calculus in physics
- A review of definitions for fractional derivatives and integral
- A review of definitions of fractional derivatives and other operators
- How many fractional derivatives are there?
- Fractional Newton-Raphson Method
- Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers
- Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming
- Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications
- Einstein summation for multidimensional arrays
- The Hadamard product
- Jacobians of matrix transformation and functions of matrix arguments
- Abelian groups
Bibliographie
[modifier | modifier le code]- Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods. Fractal Fract. 2021, 5, 240. DOI: 10.3390/fractalfract5040240
- Oliveira, E.C.D.; Machado, J.A.T. A review of definitions for fractional derivatives and integral. Math. Probl. Eng. 2014, 2014, 238459. DOI: 10.1155/2014/238459
- Teodoro, G.S.; Machado, J.A.T.; Oliveira, E.C.D. A review of definitions of fractional derivatives and other operators. J. Comput. Phys. 2019, 388, 195–208. DOI: 10.1016/j.jcp.2019.03.008
- Valério, D.; Ortigueira, M.D.; Lopes, A.M. How many fractional derivatives are there? Mathematics 2022, 10, 737. DOI: 10.3390/math10050737
- Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. Fractional Newton-Raphson Method. Appl. Math. Sci. Int. J. (MathSJ) 2021, 8, 1–13. DOI: 10.5121/mathsj.2021.8101
- Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Montufar-Chaveznava, R. Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers. Applied Mathematics and Computation 2022, Volume 429, 127231. DOI: 10.1016/j.amc.2022.127231
- Torres-Hernandez, A. Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming. Appl. Math. Sci. Int. J. (MathSJ) 2022, 9, 17–24. DOI: 10.5121/mathsj.2022.9103
- Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Ramirez-Melendez, R. Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications. En Operator Theory, IntechOpen, 2022. DOI: 10.5772/intechopen.107263
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- Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Edalatpanah, S.A. Fractional Caputo-type simultaneous scheme for finding all polynomial roots. Recent Trends in Fractional Calculus and Its Applications 2024, 261–272. DOI: 10.1016/B978-0-44-318505-2.00021-0
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