Calcul fraccional d'ensembles — Wikipédia

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Le Calcul Fraccional des Ensembles (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mentionné pour la première fois dans l'article intitulé "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods"^[1], est une méthodologie dérivée du Calcul Fraccional^[2]. Le concept principal derrière le FCS est la caractérisation des éléments du calcul fraccional en utilisant des ensembles en raison du grand nombre d'opérateurs fraccionals disponibles^[3]^,^[4]^,^[5]. Cette méthodologie est née du développement de la méthode de Newton-Raphson Fraccional ^[6] et des travaux ultérieurs connexes^[7]^,^[8]^,^[9].

Ensemble $O_{x,\alpha }^{n}(h)$ d'Opérateurs Fraccionals

Le calcul fraccional, une branche des mathématiques qui traite des dérivées d'ordre non entier, a émergé presque simultanément avec le calcul traditionnel. Cette émergence était en partie due à la notation de Leibniz pour les dérivées d'ordre entier : ${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}$ . Grâce à cette notation, L’Hôpital a pu demander dans une lettre à Leibniz l'interprétation de prendre $n={\frac {1}{2}}$ dans une dérivée. À ce moment-là, Leibniz n'a pas pu fournir une interprétation physique ou géométrique pour cette question, il a donc simplement répondu à L’Hôpital dans une lettre que "... c'est une apparente paradoxe de laquelle, un jour, on dérivera des conséquences utiles".

Le nom "calcul fraccional" provient d'une question historique, car cette branche de l'analyse mathématique étudie les dérivées et intégrales d'un certain ordre $\alpha \in \mathbb {R}$ . Actuellement, le calcul fraccional manque d'une définition unifiée de ce qui constitue une dérivée fraccional. En conséquence, lorsqu'il n'est pas nécessaire de spécifier explicitement la forme d'une dérivée fraccional, on la note typiquement de la manière suivante :

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}.

Les opérateurs fraccionals ont plusieurs représentations, mais l'une de leurs propriétés fondamentales est qu'ils retrouvent les résultats du calcul traditionnel à mesure que $\alpha \to n$ . Considérant une fonction scalaire $h:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ et la base canonique de $\mathbb {R} ^{m}$ désignée par $\{{\hat {e}}_{k}\}_{k\geq 1}$ , l'opérateur fraccional suivant d'ordre $\alpha$ est défini en utilisant la notation d'Einstein^[10]:

o_{x}^{\alpha }h(x):={\hat {e}}_{k}o_{k}^{\alpha }h(x).

Désignant $\partial _{k}^{n}$ comme la dérivée partielle d'ordre $n$ par rapport au $k$ -ième composant du vecteur $x$ , l'ensemble d'opérateurs fraccionals suivant est défini :

$O_{x,\alpha }^{n}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x){\text{ et }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)=\partial _{k}^{n}h(x)\ \forall k\geq 1\right\},$

dont le complément est :

$O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:\exists o_{k}^{\alpha }h(x)\ \forall k\geq 1{\text{ et }}\lim _{\alpha \to n}o_{k}^{\alpha }h(x)\neq \partial _{k}^{n}h(x){\text{ pour au moins un }}k\geq 1\right\}.$

En conséquence, l'ensemble suivant est défini :

O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^{n}(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).

Extension aux Fonctions Vectorielles

Pour une fonction $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$ , l'ensemble est défini comme suit :

{}_{m}O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\left\{o_{x}^{\alpha }:o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h]_{k})\ \forall k\leq m\right\},

où $[h]_{k}:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ désigne le $k$ -ième composant de la fonction $h$ .

Ensemble ${}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)$ d'Opérateurs Fraccionals

L'ensemble des opérateurs fraccionals considérant des ordres infinis est défini comme suit :

{}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h):=\bigcap _{k\in \mathbb {Z} }{}_{m}O_{x,\alpha }^{k,u}(h),

où sous le produit de Hadamard classique^[11] on a :

o_{x}^{0}\circ h(x):=h(x)\quad \forall o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h).

Opérateurs Fraccionals Matriciels

Pour chaque opérateur $o_{x}^{\alpha }$ , l'opérateur matriciel fraccional est défini comme suit :

A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })=\left([A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })]_{jk}\right)=\left(o_{k}^{\alpha }\right),

et pour chaque opérateur $o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)$ , on peut définir la matrice suivante, correspondant à une généralisation de la Matrice Jacobienne^[12]:

A_{h,\alpha }:=A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })\circ A_{\alpha }^{T}(h),

où $A_{\alpha }(h):=\left([A_{\alpha }(h)]_{jk}\right)=\left([h]_{k}\right)$ .

Produit de Hadamard Modifié

Considérant que, en général, $o_{x}^{p\alpha }\circ o_{x}^{q\alpha }\neq o_{x}^{(p+q)\alpha }$ , le produit de Hadamard modifié suivant est défini :

$o_{i,x}^{p\alpha }\circ o_{j,x}^{q\alpha }:=\left\{{\begin{array}{cl}o_{i,x}^{p\alpha }\circ o_{j,x}^{q\alpha },&{\text{si }}i\neq j\ ({\text{produit de Hadamard de type horizontal}})\\o_{i,x}^{(p+q)\alpha },&{\text{si }}i=j\ ({\text{produit de Hadamard de type vertical}})\end{array}}\right.,$

avec lequel on obtient le théorème suivant :

Théorème : Groupe Abélien d'Opérateurs Matriciels Fraccionals

Soit $o_{x}^{\alpha }$ un opérateur fraccional tel que $o_{x}^{\alpha }\in {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)$ . Considérant le produit de Hadamard modifié, l'ensemble suivant d'opérateurs matriciels fraccionals est défini :

${\begin{array}{c}{}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })):=\left\{A_{\alpha }^{\circ r}=A_{\alpha }(o_{x}^{r\alpha }):r\in \mathbb {Z} \ {\text{ et }}\ A_{\alpha }^{\circ r}=\left([A_{\alpha }^{\circ r}]_{jk}\right):=\left(o_{k}^{r\alpha }\right)\right\},\end{array}}\quad (1)$

qui correspond au Groupe Abélien^[13] généré par l'opérateur $A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })$ .

Démonstration

Étant donné que l'ensemble dans l'équation (1) est défini en appliquant uniquement le produit de Hadamard de type vertical entre ses éléments, pour tous $A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))$ , on a que :

$A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}=\left([A_{\alpha }^{\circ p}]_{jk}\right)\circ \left([A_{\alpha }^{\circ q}]_{jk}\right)=\left(o_{k}^{(p+q)\alpha }\right)=\left([A_{\alpha }^{\circ (p+q)}]_{jk}\right)=A_{\alpha }^{\circ (p+q)},$

avec lequel il est possible de démontrer que l'ensemble (1) satisfait les propriétés suivantes d'un groupe Abélien :

$\left\{{\begin{array}{l}\forall A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q},A_{\alpha }^{\circ r}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ \left(A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}\right)\circ A_{\alpha }^{\circ r}=A_{\alpha }^{\circ p}\circ \left(A_{\alpha }^{\circ q}\circ A_{\alpha }^{\circ r}\right)\\\exists A_{\alpha }^{\circ 0}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))\ {\text{tel que}}\ \forall A_{\alpha }^{\circ p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ A_{\alpha }^{\circ 0}\circ A_{\alpha }^{\circ p}=A_{\alpha }^{\circ p}\\\forall A_{\alpha }^{\circ p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ \exists A_{\alpha }^{\circ -p}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha }))\ {\text{tel que}}\ A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ -p}=A_{\alpha }^{\circ 0}\\\forall A_{\alpha }^{\circ p},A_{\alpha }^{\circ q}\in {}_{m}G(A_{\alpha }(o_{x}^{\alpha })),\ A_{\alpha }^{\circ p}\circ A_{\alpha }^{\circ q}=A_{\alpha }^{\circ q}\circ A_{\alpha }^{\circ p}\end{array}}\right..$

Ensemble ${}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)$ d'Opérateurs Fraccionals

Soit $\mathbb {N} _{0}$ l'ensemble $\mathbb {N} \cup \{0\}$ . Si $\gamma \in \mathbb {N} _{0}^{m}$ et $x\in \mathbb {R} ^{m}$ , alors il est possible de définir la notation suivante notation multi-indice:

$\left\{{\begin{array}{c}{\begin{array}{ccc}\displaystyle \gamma !:=\prod _{k=1}^{m}[\gamma ]_{k}!,&|\gamma |:=\displaystyle \sum _{k=1}^{m}[\gamma ]_{k},&\displaystyle x^{\gamma }:=\prod _{k=1}^{m}[x]_{k}^{[\gamma ]_{k}}\end{array}}\\\displaystyle {\frac {\partial ^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}}:={\frac {\partial ^{[\gamma ]_{1}}}{\partial [x]_{1}}}{\frac {\partial ^{[\gamma ]_{2}}}{\partial [x]_{2}}}\cdots {\frac {\partial ^{[\gamma ]_{m}}}{\partial [x]_{m}}}\end{array}}\right..$

Alors, considérant une fonction $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ et l'opérateur fraccional :

$s_{x}^{\alpha \gamma }\left(o_{x}^{\alpha }\right):=o_{1}^{\alpha [\gamma ]_{1}}o_{2}^{\alpha [\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{\alpha [\gamma ]_{m}},$

le suivant ensemble d'opérateurs fraccionals est défini comme suit :

$S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\left\{s_{x}^{\alpha \gamma }=s_{x}^{\alpha \gamma }\left(o_{x}^{\alpha }\right)\ :\ \exists s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)\ {\text{ avec }}\ o_{x}^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{s}(h)\ \forall s\leq n^{2}\ {\text{ et }}\ \lim _{\alpha \to k}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)={\frac {\partial ^{k\gamma }}{\partial x^{k\gamma }}}h(x)\ \forall \alpha ,|\gamma |\leq n\right\}.$

D'où il découle les résultats suivants :

${\text{Si }}s_{x}^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)\ \Rightarrow \ \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle \lim _{\alpha \to 0}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{0}o_{2}^{0}\cdots o_{m}^{0}h(x)=h(x)\\\displaystyle \lim _{\alpha \to 1}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{[\gamma ]_{1}}o_{2}^{[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{\gamma }}{\partial x^{\gamma }}}h(x)\ \forall |\gamma |\leq n\\\displaystyle \lim _{\alpha \to q}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{q[\gamma ]_{1}}o_{2}^{q[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{q[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{q\gamma }}{\partial x^{q\gamma }}}h(x)\ \forall q|\gamma |\leq qn\\\displaystyle \lim _{\alpha \to n}s_{x}^{\alpha \gamma }h(x)=o_{1}^{n[\gamma ]_{1}}o_{2}^{n[\gamma ]_{2}}\cdots o_{m}^{n[\gamma ]_{m}}h(x)={\frac {\partial ^{n\gamma }}{\partial x^{n\gamma }}}h(x)\ \forall n|\gamma |\leq n^{2}\end{array}}\right..$

En conséquence, considérant une fonction $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$ , le suivant ensemble d'opérateurs fraccionals est défini comme suit :

${}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h):=\left\{s_{x}^{\alpha \gamma }\ :\ s_{x}^{\alpha \gamma }\in S_{x,\alpha }^{n,\gamma }\left([h]_{k}\right)\ \forall k\leq m\right\}.$

Ensemble ${}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)$ d'Opérateurs Fraccionals

Considérant une fonction $h:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$ et le suivant ensemble d'opérateurs fraccionals :

${}_{m}S_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(h):=\lim _{n\to \infty }{}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h).$

Alors, en prenant une boule $B(a;\delta )\subset \Omega$ , il est possible de définir le suivant ensemble d'opérateurs fraccionals :

${}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h):=\left\{t_{x}^{\alpha ,\infty }=t_{x}^{\alpha ,\infty }\left(s_{x}^{\alpha \gamma }\right)\ :\ s_{x}^{\alpha \gamma }\in {}_{m}S_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(h)\ {\text{ et }}\ t_{x}^{\alpha ,\infty }h(x):=\sum _{|\gamma |=0}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\right\},$

ce qui permet de généraliser l'expansion en série de Taylor d'une fonction vectorielle en notation multi-indice. En conséquence, il est possible d'obtenir le résultat suivant :

${\text{Si }}t_{x}^{\alpha ,\infty }\in {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)\Rightarrow \left\{{\begin{array}{rl}t_{x}^{\alpha ,\infty }h(x)=&\displaystyle {\hat {e}}_{j}[h]_{j}(a)+\sum _{|\gamma |=1}{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }+\sum _{|\gamma |=2}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\\=&\displaystyle h(a)+\sum _{k=1}^{n}{\hat {e}}_{j}o_{k}^{\alpha }[h]_{j}(a)\left[(x-a)\right]_{k}+\sum _{|\gamma |=2}^{\infty }{\frac {1}{\gamma !}}{\hat {e}}_{j}s_{x}^{\alpha \gamma }[h]_{j}(a)(x-a)^{\gamma }\end{array}}\right..$

Méthode de Newton-Raphson Fraccional

Soit $f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m}$ une fonction avec un point $\xi \in \Omega$ tel que $\|f(\xi )\|=0$ . Alors, pour un certain $x_{i}\in B(\xi ;\delta )\subset \Omega$ et un opérateur fraccional $t_{x}^{\alpha ,\infty }\in {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(x_{i},f)$ , il est possible de définir un type d'approximation linéaire de la fonction $f$ autour de $x_{i}$ comme suit :

$t_{x}^{\alpha ,\infty }f(x)\approx f(x_{i})+\sum _{k=1}^{m}{\hat {e}}_{j}o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\left[(x-x_{i})\right]_{k},$

ce qui peut être exprimé de manière plus compacte comme :

$t_{x}^{\alpha ,\infty }f(x)\approx f(x_{i})+\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)(x-x_{i}),$

où $\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)$ désigne une matrice carrée. D'autre part, si $x\to \xi$ et étant donné que $\|f(\xi )\|=0$ , on en déduit ce qui suit :

$0\approx f(x_{i})+\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)(\xi -x_{i})\quad \Rightarrow \quad \xi \approx x_{i}-\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x_{i})\right)^{-1}f(x_{i}).$

En conséquence, en définissant la matrice :

$A_{f,\alpha }(x)=\left([A_{f,\alpha }]_{jk}(x)\right):=\left(o_{k}^{\alpha }[f]_{j}(x)\right)^{-1},$

il est possible de définir la méthode itérative fraccional suivante :

$x_{i+1}:=\Phi (\alpha ,x_{i})=x_{i}-A_{f,\alpha }(x_{i})f(x_{i}),\quad i=0,1,2,\cdots ,$

ce qui correspond au cas le plus général de la méthode de Newton-Raphson fraccional.

Illustration de certaines lignes générées par la méthode de Newton–Raphson fraccional pour la même condition initiale $x_{0}$ , mais avec différents ordres $\alpha$ de l'opérateur fractionnaire implémenté. La méthode de Newton–Raphson fraccional génère généralement des lignes qui ne sont pas tangentes à la fonction $f$ dont les zéros sont recherchés, contrairement à la méthode classique de Newton–Raphson. Source : MDPI

L'utilisation des opérateurs fractionnaires dans les méthodes de point fixe a été largement étudiée et citée dans diverses sources académiques. Des exemples de cela peuvent être trouvés dans plusieurs articles publiés dans des revues de renom, tels que ceux présentés dans ScienceDirect (1), (2), Springer (3), World Scientific (4), et MDPI (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11), (12). On trouve également des études dans Taylor & Francis (Tandfonline) (13), Cubo (14), Revista Mexicana de Ciencias Agrícolas (15), Journal of Research and Creativity (16), MQR (17), et Актуальные вопросы науки и техники (18). Ces travaux soulignent la pertinence et l'applicabilité des opérateurs fractionnaires dans la résolution de problèmes.

Références

Bibliographie

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Teodoro, G.S.; Machado, J.A.T.; Oliveira, E.C.D. A review of definitions of fractional derivatives and other operators. J. Comput. Phys. 2019, 388, 195–208. DOI: 10.1016/j.jcp.2019.03.008

Valério, D.; Ortigueira, M.D.; Lopes, A.M. How many fractional derivatives are there? Mathematics 2022, 10, 737. DOI: 10.3390/math10050737

Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F. Fractional Newton-Raphson Method. Appl. Math. Sci. Int. J. (MathSJ) 2021, 8, 1–13. DOI: 10.5121/mathsj.2021.8101

Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Montufar-Chaveznava, R. Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers. Applied Mathematics and Computation 2022, Volume 429, 127231. DOI: 10.1016/j.amc.2022.127231

Torres-Hernandez, A. Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming. Appl. Math. Sci. Int. J. (MathSJ) 2022, 9, 17–24. DOI: 10.5121/mathsj.2022.9103

Torres-Hernandez, A.; Brambila-Paz, F.; Ramirez-Melendez, R. Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications. En Operator Theory, IntechOpen, 2022. DOI: 10.5772/intechopen.107263

Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Jain, S. Fuzzy fractional Caputo-type numerical scheme for solving fuzzy nonlinear equations. Fractional Differential Equations 2024, 167–175. DOI: 10.1016/B978-0-44-315423-2.00016-3

Shams, M.; Kausar, N.; Agarwal, P.; Edalatpanah, S.A. Fractional Caputo-type simultaneous scheme for finding all polynomial roots. Recent Trends in Fractional Calculus and Its Applications 2024, 261–272. DOI: 10.1016/B978-0-44-318505-2.00021-0

Al-Nadhari, A.M.; Abderrahmani, S.; Hamadi, D.; Legouirah, M. The efficient geometrical nonlinear analysis method for civil engineering structures. Asian Journal of Civil Engineering 2024, 25(4), 3565–3573. DOI: 10.1007/s42107-024-00996-z

Shams, M.; Kausar, N.; Samaniego, C.; Agarwal, P.; Ahmed, S.F.; Momani, S. On efficient fractional Caputo-type simultaneous scheme for finding all roots of polynomial equations with biomedical engineering applications. Fractals 2023, 31(04), 2340075. DOI: 10.1142/S0218348X23400753

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Tverdyi, D.; Parovik, R. Application of the fractional Riccati equation for mathematical modeling of dynamic processes with saturation and memory effect. Fractal and Fractional 2022, 6(3), 163. DOI: 10.3390/fractalfract6030163

Srivastava, H.M. Editorial for the Special Issue “Operators of Fractional Calculus and Their Multidisciplinary Applications”. Fractal and Fractional 2023, 7(5), 415. DOI: 10.3390/fractalfract7050415

Shams, M.; Carpentieri, B. Efficient inverse fractional neural network-based simultaneous schemes for nonlinear engineering applications. Fractal and Fractional 2023, 7(12), 849. DOI: 10.3390/fractalfract7120849

Candelario, G.; Cordero, A.; Torregrosa, J.R.; Vassileva, M.P. Solving Nonlinear Transcendental Equations by Iterative Methods with Conformable Derivatives: A General Approach. Mathematics 2023, 11(11), 2568. DOI: 10.3390/math11112568

Shams, M.; Carpentieri, B. On highly efficient fractional numerical method for solving nonlinear engineering models. Mathematics 2023, 11(24), 4914. DOI: 10.3390/math11244914

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Rebollar-Rebollar, S.; Martínez-Damián, M.Á.; Hernández-Martínez, J.; Hernández-Aguirre, P. Óptimo económico en una función Cobb-Douglas bivariada: una aplicación a ganadería de carne semi extensiva. Revista mexicana de ciencias agrícolas 2021, 12(8), 1517–1523. DOI: 10.29312/remexca.v12i8.2915

Mogro, M.F.; Jácome, F.A.; Cruz, G.M.; Zurita, J.R. Sorting Line Assisted by A Robotic Manipulator and Artificial Vision with Active Safety. Journal of Robotics and Control (JRC) 2024, 5(2), 388–396. DOI: 10.18196/jrc.v5i2.20327

Luna-Fox, S.B.; Uvidia-Armijo, J.H.; Uvidia-Armijo, L.A.; Romero-Medina, W.Y. Exploración comparativa de los métodos numéricos de Newton-Raphson y bisección para la resolución de ecuaciones no lineales. MQRInvestigar 2024, 8(2), 642–655. DOI: 10.56048/MQR20225.8.2.2024.642-655

Tvyordyj, D.A.; Parovik, R.I. Mathematical modeling in MATLAB of solar activity cycles according to the growth-decline of the Wolf number. Vestnik KRAUNC. Fiziko-Matematicheskie Nauki 2022, 41(4), 47–64. DOI: 10.26117/2079-6641-2022-41-4-47-65

Portail des mathématiques

[1] Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods

[2] Applications of fractional calculus in physics

[3] A review of definitions for fractional derivatives and integral

[4] A review of definitions of fractional derivatives and other operators

[5] How many fractional derivatives are there?

[6] Fractional Newton-Raphson Method

[7] Acceleration of the order of convergence of a family of fractional fixed-point methods and its implementation in the solution of a nonlinear algebraic system related to hybrid solar receivers

[8] Code of a multidimensional fractional quasi-Newton method with an order of convergence at least quadratic using recursive programming

[9] Sets of Fractional Operators and Some of Their Applications

[10] Einstein summation for multidimensional arrays

[11] The Hadamard product

[12] Jacobians of matrix transformation and functions of matrix arguments

[13] Abelian groups

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Calcul fraccional d'ensembles — Wikipédia

Ensemble O x , α n ( h ) {\displaystyle O_{x,\alpha }^{n}(h)} d'Opérateurs Fraccionals

Extension aux Fonctions Vectorielles

Ensemble m M O x , α ∞ , u ( h ) {\displaystyle {}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)} d'Opérateurs Fraccionals

Opérateurs Fraccionals Matriciels

Produit de Hadamard Modifié

Théorème : Groupe Abélien d'Opérateurs Matriciels Fraccionals

Démonstration

Ensemble m S x , α n , γ ( h ) {\displaystyle {}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)} d'Opérateurs Fraccionals

Ensemble m T x , α ∞ , γ ( a , h ) {\displaystyle {}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)} d'Opérateurs Fraccionals

Méthode de Newton-Raphson Fraccional

Références

Bibliographie

Ensemble $O_{x,\alpha }^{n}(h)$ d'Opérateurs Fraccionals

Ensemble ${}_{m}MO_{x,\alpha }^{\infty ,u}(h)$ d'Opérateurs Fraccionals

Ensemble ${}_{m}S_{x,\alpha }^{n,\gamma }(h)$ d'Opérateurs Fraccionals

Ensemble ${}_{m}T_{x,\alpha }^{\infty ,\gamma }(a,h)$ d'Opérateurs Fraccionals