Collapse (topologie) — Wikipédia

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En topologie, un collapse (litt. « effondrement ») transforme un complexe simplicial en un sous-complexe de même type d'homotopie. Les collapses ont été introduits par le mathématicien J. H. C. Whitehead^[1].

Soit ${\displaystyle K}$ un complexe simplicial abstrait. Un collapse est la suppression de tous les simplexes ${\displaystyle \gamma \in K}$ tels que ${\displaystyle \tau \subseteq \gamma \subseteq \sigma }$ où ${\displaystyle \sigma }$ est l'unique face maximale de ${\displaystyle K}$ contenant ${\displaystyle \tau }$ (on dit que ${\displaystyle \tau }$ est une face libre). Si ${\displaystyle \dim \tau =\dim \sigma -1}$, on parle de collapse élémentaire^[2].

Un complexe simplicial ayant une séquence de collapses aboutissant à un point est dit collapsible. Tout complexe collapsible est contractile (c'est-à-dire homotopiquement équivalent à un point) mais la réciproque est fausse, la house with two rooms (en) de R. H. Bing en constituant un contre-exemple.

Les collapses peuvent être étendus aux CW-complexes^[3].

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