Conjecture de Scholz — Wikipédia
En mathématiques, la conjecture de Scholz, parfois appelée conjecture de Scholz-Brauer ou conjecture de Brauer-Scholz, fut proposée en 1937. Elle prétend que
où l(n) est la longueur de la plus courte chaîne d'additions qui produit n, c'est-à-dire le plus petit entier m pour lequel il existe une suite telle que , , et chaque est de la forme avec .
Elle a été démontrée dans de nombreux cas, mais pas dans le cas général.
Par exemple pour n = 5 on a égalité, car l(5)=3 (puisque 1+1=2, 2+2=4, 4+1=5 et il n'existe pas de chaîne plus courte), l(31)=7 (1+1=2, 2+1=3, 3+3=6, 6+6=12, 12+12=24, 24+6=30, 30+1=31), et
- .
Des considérations élémentaires sur la nature des chaînes d'additions et le codage binaire permettent d'établir l'inégalité suivante, plus faible (en) :
- ,
mais une preuve qui permettrait de remplacer par l'un des deux « » du majorant n'a pas encore été trouvée.
Liens externes
[modifier | modifier le code]- (en) Shortest Addition Chains par Achim Flammenkamp, à l'université de Bielefeld
- (en) Suite
A003313 de l'OEIS
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Scholz conjecture » (voir la liste des auteurs).
- (de) Arnold Scholz, « Aufgabe 252 », Jahresber. Deutsche Math. Vereinigung, vol. 47 « Aufgaben und Lösungen », , p. 41-42 (lire en ligne)
- (en) Alfred Brauer, « On addition chains », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 45, , p. 736-739 (lire en ligne)