Ellipsoïde de révolution — Wikipédia

L'aire est donnée par la formule : ${\displaystyle A=4\pi \int _{0}^{\pi /2}q\cos \theta {\sqrt {q^{2}\sin ^{2}\theta +p^{2}\cos ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta }$ donc à l'aide du changement de variable ${\displaystyle u=\sin \theta }$ avec ${\displaystyle \mathrm {d} u=\cos \theta \mathrm {d} \theta }$, ${\displaystyle A=4\pi q\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {q^{2}u^{2}+p^{2}(1-u^{2})}}\ \mathrm {d} u=4\pi q\int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {(q^{2}-p^{2})u^{2}+p^{2}}}\ \mathrm {d} u.}$ La suite des calculs dépend du signe de la différence q² – p² pour appliquer les formules des primitives de fonctions irrationnelles.

• Si q > p : avec les égalités q = a et p = b, l'intégrale s'écrit :${\displaystyle \int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {b^{2}+(a^{2}-b^{2})u^{2}}}\ \mathrm {d} u={\frac {a}{2}}+{\frac {b^{2}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\operatorname {artanh} {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}$donc l'aire se réécrit :${\displaystyle A=2\pi a^{2}+2\pi b^{2}{\frac {\operatorname {artanh} e}{e}}=2\pi a^{2}+{\frac {\pi b^{2}}{e}}\ln {\frac {1+e}{1-e}}.}$
• Si q < p : avec les égalités p = a et q = b, l'intégrale s'écrit :${\displaystyle \int _{0}^{1}\!\!{\sqrt {a^{2}-(a^{2}-b^{2})u^{2}}}\ \mathrm {d} u={\frac {b}{2}}+{\frac {a^{2}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\arcsin {\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}}$donc l'aire se réécrit :${\displaystyle A=2\pi b^{2}+2\pi ab{\frac {\arcsin e}{e}}.}$