Fonction de von Mangoldt — Wikipédia
En mathématiques, la fonction de von Mangoldt est une fonction arithmétique nommée en l'honneur du mathématicien allemand Hans von Mangoldt.
Définition
[modifier | modifier le code]La fonction de von Mangoldt, traditionnellement notée , est définie sur par
Cette importante fonction arithmétique n'est ni multiplicative, ni additive.
Elle satisfait l'identité[1]
- ou, ce qui est équivalent, ,
où les sommes sont prises sur tous les entiers naturels d qui divisent n et où désigne la fonction de Möbius.
Fonction de Tchebychev
[modifier | modifier le code]La « fonction sommatoire de von Mangoldt » , aussi connue comme la deuxième fonction de Tchebychev, est définie par
- .
Von Mangoldt a fourni une preuve rigoureuse d'une formule explicite (en) pour , impliquant une somme sur les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann[2]. Ce fut une partie importante de la première démonstration du théorème des nombres premiers, qui équivaut à .
Séries de Dirichlet
[modifier | modifier le code]La fonction de von Mangoldt joue un rôle important dans la théorie des séries de Dirichlet, en particulier la fonction zêta de Riemann. Son logarithme est
pour . Sa dérivée logarithmique est donc :
- .
Plus généralement[3], sur le demi-plan de convergence d'une série de Dirichlet , on a
- et si est complètement multiplicative, on en déduit
- .
Transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev
[modifier | modifier le code]La transformation de Mellin de la fonction de Tchebychev peut être trouvée en appliquant la formule sommatoire d'Abel :
qui reste vraie pour .
Série exponentielle
[modifier | modifier le code]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d6/Mangoldt-series.png/220px-Mangoldt-series.png)
L'équivalent (voir supra) se réécrit :
- .
Hardy et Littlewood ont examiné la série[4]
- .
Ils ont démontré sous l'hypothèse de Riemann que
et que
- .
Ainsi (si l'hypothèse de Riemann est vraie) cette fonction est oscillatoire, avec des oscillations divergentes: il existe une valeur telle que chacune des inégalités
- et
est vraie infiniment souvent dans chaque voisinage de 0. Le graphe sur la droite montre que ce comportement n'est pas facile à illustrer : les oscillations ne sont clairement visibles que lorsque les 100 premiers millions de termes de la série ont été sommés, et pour .
La moyenne de Riesz
[modifier | modifier le code]La moyenne de Riesz de la fonction de von Mangoldt est donnée par
- .
Ici, et sont des nombres caractérisant la moyenne de Riesz. On doit prendre . La somme sur est la somme sur les zéros de la fonction zêta de Riemann, et on peut montrer que la série converge pour .
Voir aussi
[modifier | modifier le code]- Fonction de compte des nombres premiers
- Théorème de Vinogradov
- Théorème de Bombieri-Vinogradov
- Lien avec la constante d'Euler-Mascheroni
Références
[modifier | modifier le code]- Voir (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, , 340 p. (ISBN 978-0-387-90163-3, lire en ligne), p. 32-33, th. 2.10 et 2.11, ou .
- (en) Allan Gut, « Some remarks on the Riemann zeta distribution », Rev. Roumaine Math. Pures et Appl., vol. 51, , p. 205-217 (lire en ligne).
- C'est plutôt par cette méthode qu'Apostol 1976, p. 236, calcule ζ'/ζ, après s'être assuré (p. 228-229) que sur son demi-plan de convergence, ζ ne s'annule pas.
- (en) G. H. Hardy et J. E. Littlewood, « Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes », Acta Mathematica, vol. 41, 1916, p. 119-196.