Groupe d'homotopie — Wikipédia
En mathématiques, et plus particulièrement en topologie algébrique, les groupes d'homotopie sont des invariants qui généralisent la notion de groupe fondamental aux dimensions supérieures.
Définition
[modifier | modifier le code]Il y a plusieurs définitions équivalentes possibles.
- Première définition
Soit X un espace topologique et un point de X. Soit la boule unité de dimension i de l'espace euclidien . Son bord est la sphère unité de dimension .
Le i-ième groupe d'homotopie supérieur est l'ensemble des classes d'homotopie relative à d'applications continues telle que : .
Un élément de est donc représenté par une fonction continue de la i-boule vers X, qui envoie la -sphère vers le point de référence , la fonction étant définie modulo homotopie relative à .
- Deuxième définition
En identifiant le bord de la boule à un point , on obtient une sphère et chaque élément de se définit par les classes d'homotopie des applications par lesquelles le point base de la sphère se transforme en . On peut dire que les éléments du groupe sont les composantes connexes de l'espace topologique des applications pour lesquelles on a : .
Produit sur l'ensemble des classes d'homotopie
[modifier | modifier le code]Pour définir une opération sur les classes d'homotopie, il est utile d'identifier la boule avec le cube de dimension i dans ℝi.
La définition du produit est la suivante : La somme de deux applications du cube est l'application définie par la formule :
et
Lorsque l'on passe aux classes d'homotopie, la loi de composition obtenue est associative, unifère, tout élément admet un inverse et la loi est commutative si i ≥ 2.
On définit donc un groupe commutatif si i ≥ 2 (cf. Argument de Eckmann-Hilton (en)).
On obtient le groupe fondamental si i = 1.
Propriétés et outils
[modifier | modifier le code]Groupes d'homotopie relatifs et suite exacte longue d'homotopie d'un couple
[modifier | modifier le code]On a une généralisation des groupes d'homotopie.
Soient X un espace topologique, A ⊂ X et x un point de X.
Soient Ir = [0, 1]r et Jr = (∂Ir-1 × I) ∪ (Ir-1 × {1}) = ∂Ir \ int(Ir-1 × {0}).
Le r-ième groupe d'homotopie relatif est l'ensemble des classes d'homotopie d'applications continues telles que : , , , avec des homotopies de même forme.
- donc les groupes d'homotopie sont des cas particuliers des groupes d'homotopie relatifs.
- De même que pour les groupes d'homotopie, on définit un groupe commutatif si r > 2.
- On a une suite exacte longue :
où i et j sont les inclusions et d provient de la restriction de à .
Suite exacte longue d'homotopie d'une fibration
[modifier | modifier le code]Soit p : E → B une fibration de fibre F ; si B est connexe par arcs, alors on a une suite exacte longue d'homotopie :
- .
Homologie et homotopie : le théorème d'Hurewicz
[modifier | modifier le code]Pour un espace topologique X, on a deux familles de groupes associés à X : les groupes d'homotopie (relatifs) notés et les groupes d'homologie singulière (relatifs) notés . Les groupes d'homologie sont plus faciles à calculer que les groupes d'homotopie, et on s'interroge sur le lien entre ces deux familles de groupes.
On a un morphisme de groupes naturel .
Si sont connexes par arcs et si le couple (X, A) est n-1-connexe pour alors :
- d'une part le théorème d'Hurewicz relatif affirme que (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un épimorphisme dont le noyau est engendré par les éléments avec et ; en particulier, si , alors est un isomorphisme ;
- d'autre part le théorème d'Hurewicz absolu (A=*) affirme que si X est n-1-connexe, , on a (i<n) et que le morphisme de Hurewicz est un isomorphisme.
Pour n = 1, voir « Théorème d'Hurewicz ».
Le théorème de Whitehead pour les CW-complexes (complexes cellulaires)
[modifier | modifier le code]Théorèmes de périodicité de Bott
[modifier | modifier le code]Espaces asphériques, espaces d'Eilenberg MacLane et théorie de l'obstruction
[modifier | modifier le code]Un espace est dit asphérique ou un K(π, 1) si ses groupes d'homotopies sont triviaux sauf son π1.
Méthodes de calcul
[modifier | modifier le code]Contrairement au groupe fondamental (i = 1) et aux groupes d'homologie et de cohomologie, il n'y a pas de méthode simple de calcul des groupes d'homotopie dès que i ≥ 2 (il manque un analogue des théorèmes d'excision et de Van-Kampen).
Groupes d'homotopie des sphères
[modifier | modifier le code]Cas des groupes de Lie
[modifier | modifier le code]Le groupe fondamental d'un groupe de Lie, ou plus généralement d'un H-espace, est commutatif et l'action du π1 sur les πi est triviale.
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Articles connexes
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]- Boris Doubrovine (de), Anatoli Fomenko et Sergueï Novikov, Géométrie contemporaine - Méthodes et applications, [détail des éditions], vol. 2 et 3
- Jean Dieudonné, Éléments d'Analyse, Jacques Gabay, vol. 9
- (en) Allen Hatcher, Algebraic Topology, New York, Cambridge University Press, , 544 p. (ISBN 978-0-521-79540-1, lire en ligne)