Indice de Voorhoeve — Wikipédia
En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, l'indice de Voorhoeve est un nombre réel positif associé à certaines fonctions à valeurs complexes, introduit par Marc Voorhoeve (en) en 1976. Il permet d'étendre le théorème de Rolle à ces fonctions, en jouant un rôle analogue à celui qui, dans le cas réel, est joué par le nombre de zéros de la fonction sur un intervalle.
Définition
[modifier | modifier le code]Soit f une fonction holomorphe sur un voisinage ouvert de l'intervalle réel . L'indice de Voorhoeve de f, , est un réel positif défini par
(certains auteurs utilisent un facteur de normalisation autre que 1/2π).
Une généralisation du théorème de Rolle
[modifier | modifier le code]Une conséquence du théorème de Rolle est que si f (à valeurs réelles) est continûment différentiable sur I, et que est son nombre de zéros sur cet intervalle, alors .
L'indice de Voorhoeve vérifie la relation analogue , permettant de borner le nombre de zéros d'une fonction holomorphe dans un certain domaine.
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Voorhoeve index » (voir la liste des auteurs).
- (en) Marc Voorhoeve, « On the oscillation of exponential polynomials », Math.Z., vol. 151, , p. 277–294
- (en) A. Khovanskii et S. Yakovenko, « Generalized Rolle theorem in and », J. Dyn. Control Syst., vol. 2, , p. 103–123