Intégrale de Stieltjes — Wikipédia

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L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, considérons deux fonctions réelles bornées $f$ et $g$ définies sur un intervalle fermé $[a, b]$ , ainsi qu'une subdivision $a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n = b$ de cet intervalle. Si la somme de Riemann

\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i}){\bigl (}g(x_{i})-g(x_{i-1}){\bigr )},

avec $ξ i \in [x i -1, x i]$ , tend vers une limite $S$ lorsque le pas $max(x i - x i - 1)$ tend vers 0^[1], alors $S$ est appelée l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes^[2]) de la fonction $f$ par rapport à $g$ . On la note

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)

ou simplement $\int b a f d g$ .

Propriétés

Si les fonctions $f$ et $g$ possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas.

Cependant, si $f$ est continue et $g$ à variation bornée, cette intégrale est bien définie^[3]^,^[4]. Elle l'est également si $f$ est seulement Riemann-intégrable mais $g$ est absolument continue, et elle coïncide alors avec l'intégrale de $fg'$ au sens de Lebesgue^[5] (ou de Riemann si de plus $g'$ est Riemann-intégrable) :

\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g\,\!(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x.

De plus, dans ces conditions suffisantes d'existence, $f$ et $g$ sont interchangeables. En effet :

Théorème d'intégration par parties^[6] — Si l'une des deux intégrales de Stieltjes $\int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} g$ ou $\int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} f$ existe alors l'autre aussi, et leur somme est égale à $\left[fg\right]_{a}^{b}:=f(b)g(b)-f(a)g(a).$

Démonstration

Supposons par exemple que la seconde existe. En ajoutant à la « subdivision marquée » ci-dessus les points $\xi _{n+1}=b$ et $\xi _{0}=a$ , on trouve : $\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i}){\bigl (}g(x_{i})-g(x_{i-1}){\bigr )}=f(b)g(b)-f(a)g(a)+\sum _{i=0}^{n}{\bigl (}f(\xi _{i})-f(\xi _{i+1}){\bigr )}g(x_{i}).$ On conclut en utilisant que $max(ξ j - ξ j - 1) \leq 2 max(x i - x i - 1)$ .

Formules de la moyenne^[7] — Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $g$ est monotone, il existe un réel $c$ de $[a, b]$ tel que

Première formule :

\int _{a}^{b}f~\mathrm {d} g=f(c){\bigl (}g(b)-g(a){\bigr )}.

Deuxième formule :

\int _{a}^{b}g~\mathrm {d} f=g(a)\int _{a}^{c}\mathrm {d} f+g(b)\int _{c}^{b}\mathrm {d} f.

La première formule se démontre comme dans le cas où $g$ est continûment dérivable. La deuxième s'en déduit grâce au théorème d'intégration par parties. Un corollaire de cette deuxième formule est : si $h$ est intégrable sur $[a, b]$ et si $g$ est monotone, il existe un $c \in [a, b]$ tel que

\int _{a}^{b}g(x)h(x)~\mathrm {d} x=g(a)\int _{a}^{c}h(x)~\mathrm {d} x+g(b)\int _{c}^{b}h(x)\mathrm {d} x.

Si $g$ est non seulement monotone mais décroissante positive, on peut la rendre nulle en $b$ avant de lui appliquer ce corollaire (cela ne change pas la valeur de $\int b a g (x) h (x) d x$ ).

Notes et références

↑ (en) Tom M. Apostol, Mathematical Analysis, Pearson, 1974, 2^e éd., p. 141-142 (Def. 7.1 et Note), donne une autre définition : pour tout réel $ε > 0$ , il existe une subdivision $P ε$ de $[a, b]$ telle que pour tout raffinement $P = (x i)$ de $P ε$ et tout marquage $(ξ i)$ de $P$ , $\left|\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i}){\bigl (}g(x_{i})-g(x_{i-1}){\bigr )}-S\right|\leq \varepsilon$ , et souligne qu'elle n'est pas équivalente à celle donnée ici. Son contre-exemple (p. 174, exercice 7.3.b) est $f = χ] c, b]$ , $g = χ [c, b]$ .
↑ (en) Einar Hille et Ralph S. Phillips, Functional Analysis and Semi-groups, vol. 1, AMS, 1996 (1^re éd. 1957) (lire en ligne), p. 62.
↑ (en) Jie Xiao, Integral and Functional Analysis, Nova Science Publishers, 2008, 287 p. (ISBN 978-1-60021-784-5, lire en ligne), p. 54.
↑ (en) Hugh L. Montgomery et R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory, Cambridge (GB), CUP, 2007, 552 p. (ISBN 978-0-521-84903-6, lire en ligne), « Appendix A: The Riemann–Stieltjes integral », p. 486.
↑ (en) Norman B. Haaser et Joseph A. Sullivan, Real Analysis, Dover, 1991 (présentation en ligne), p. 255.
↑ Hille et Phillips 1996, p. 63.
↑ Xiao 2008, p. 60.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

(en) H. Jeffreys et B. S. Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, CUP, 1988, 3^e éd., 718 p. (ISBN 978-0-521-66402-8, lire en ligne), chap. 1, §10 (« Integration: Riemann, Stieltjes »), p. 26-36
(en) H. Kestelman, Modern Theories of Integration, New York, Dover Publications, 1960, chap. 11 (« Riemann-Stieltjes Integration »), p. 247-269

[1] (en) Tom M. Apostol, Mathematical Analysis, Pearson, 1974, 2^e éd., p. 141-142 (Def. 7.1 et Note), donne une autre définition : pour tout réel $ε > 0$ , il existe une subdivision $P ε$ de $[a, b]$ telle que pour tout raffinement $P = (x i)$ de $P ε$ et tout marquage $(ξ i)$ de $P$ , $\left|\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i}){\bigl (}g(x_{i})-g(x_{i-1}){\bigr )}-S\right|\leq \varepsilon$ , et souligne qu'elle n'est pas équivalente à celle donnée ici. Son contre-exemple (p. 174, exercice 7.3.b) est $f = χ] c, b]$ , $g = χ [c, b]$ .

[2] (en) Einar Hille et Ralph S. Phillips, Functional Analysis and Semi-groups, vol. 1, AMS, 1996 (1^re éd. 1957) (lire en ligne), p. 62.

[3] (en) Jie Xiao, Integral and Functional Analysis, Nova Science Publishers, 2008, 287 p. (ISBN 978-1-60021-784-5, lire en ligne), p. 54.

[4] (en) Hugh L. Montgomery et R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory, Cambridge (GB), CUP, 2007, 552 p. (ISBN 978-0-521-84903-6, lire en ligne), « Appendix A: The Riemann–Stieltjes integral », p. 486.

[5] (en) Norman B. Haaser et Joseph A. Sullivan, Real Analysis, Dover, 1991 (présentation en ligne), p. 255.

[6] Hille et Phillips 1996, p. 63.

[7] Xiao 2008, p. 60.

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