En théorie des nombres , le lemme LTE (Lifting The Exponent), ou lemme de Manea donne des formules pour calculer la valuation p -adique ν p {\displaystyle \nu _{p}} de certaines expressions entières.
D'après [ 1] , le lemme LTE sous sa forme actuelle est dû au mathématicien roumain Mihai Manea[ 2] . Cependant, plusieurs idées clés utilisées dans sa démonstration étaient connues de Gauss et référencées dans ses Disquisitiones Arithmeticae [ 3] . Bien qu'il soit principalement utilisé dans les compétitions mathématiques , il est parfois appliqué à des sujets de recherche, tels que les courbes elliptiques [ 4] , [ 5] .
Étant donné des entiers x , y {\displaystyle x,y} , un entier strictement positif n {\displaystyle n} , et un nombre premier p {\displaystyle p} tel que p ∤ x {\displaystyle p\nmid x} et p ∤ y {\displaystyle p\nmid y} , on a :
Si p {\displaystyle p} est impair: Si p ∣ ( x − y ) {\displaystyle p\mid (x-y)} , alors ν p ( x n − y n ) = ν p ( x − y ) + ν p ( n ) {\displaystyle \nu _{p}(x^{n}-y^{n})=\nu _{p}(x-y)+\nu _{p}(n)} . Si p ∣ ( x + y ) {\displaystyle p\mid (x+y)} et n {\displaystyle n} est impair, alors ν p ( x n + y n ) = ν p ( x + y ) + ν p ( n ) {\displaystyle \nu _{p}(x^{n}+y^{n})=\nu _{p}(x+y)+\nu _{p}(n)} . Si p = 2 {\displaystyle p=2} : Si 2 ∣ ( x − y ) {\displaystyle 2\mid (x-y)} et n {\displaystyle n} est pair, alors ν 2 ( x n − y n ) = ν 2 ( x − y ) + ν 2 ( x + y ) + ν 2 ( n ) − 1 {\displaystyle \nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)+\nu _{2}(x+y)+\nu _{2}(n)-1} . Si 2 ∣ ( x − y ) {\displaystyle 2\mid (x-y)} et n {\displaystyle n} est impair alors ν 2 ( x n − y n ) = ν 2 ( x − y ) {\displaystyle \nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)} . Corollaire: Si 4 ∣ ( x − y ) {\displaystyle 4\mid (x-y)} , alors ν 2 ( x + y ) = 1 {\displaystyle \nu _{2}(x+y)=1} , et ν 2 ( x n − y n ) = ν 2 ( x − y ) + ν 2 ( n ) {\displaystyle \nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)+\nu _{2}(n)} . Pour tout p {\displaystyle p} : Si p ∤ n {\displaystyle p\nmid n} et p ∣ x − y {\displaystyle p\mid x-y} , alors ν p ( x n − y n ) = ν p ( x − y ) {\displaystyle \nu _{p}(x^{n}-y^{n})=\nu _{p}(x-y)} . Si p ∤ n {\displaystyle p\nmid n} , p ∣ x + y {\displaystyle p\mid x+y} et n {\displaystyle n} est impair, alors ν p ( x n + y n ) = ν p ( x + y ) {\displaystyle \nu _{p}(x^{n}+y^{n})=\nu _{p}(x+y)} . On montre d'abord le cas où p ∤ n {\displaystyle p\nmid n} .
Si p ∤ x {\displaystyle p\nmid x} , p ∤ y {\displaystyle p\nmid y} , p ∤ n {\displaystyle p\nmid n} et p ∣ x − y {\displaystyle p\mid x-y} , alors x ≡ y ( mod p ) {\displaystyle x\equiv y{\pmod {p}}} , donc
x n − 1 + x n − 2 y + x n − 3 y 2 + ⋯ + y n − 1 ≡ n x n − 1 ≢ 0 ( mod p ) {\displaystyle x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+\dots +y^{n-1}\equiv nx^{n-1}\not \equiv 0{\pmod {p}}\ } . La formule de Bernoulli : x n − y n = ( x − y ) ( x n − 1 + x n − 2 y + x n − 3 y 2 + ⋯ + y n − 1 ) {\displaystyle x^{n}-y^{n}=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+x^{n-3}y^{2}+\dots +y^{n-1})} permet donc d'affirmer que ν p ( x n − y n ) = ν p ( x − y ) {\displaystyle \nu _{p}(x^{n}-y^{n})=\nu _{p}(x-y)} .
La formule ν p ( x n + y n ) = ν p ( x + y ) {\displaystyle \nu _{p}(x^{n}+y^{n})=\nu _{p}(x+y)} pour n {\displaystyle n} impair est obtenue de manière similaire.
On commence par le cas n = p {\displaystyle n=p} , où l'on doit montrer que ν p ( x p − y p ) = ν p ( x − y ) + 1 {\displaystyle \nu _{p}(x^{p}-y^{p})=\nu _{p}(x-y)+1} ; on a cette fois x p − 1 + x p − 2 y + ⋯ + y n − 1 ≡ p x p − 1 ≡ 0 ( mod p ) {\displaystyle x^{p-1}+x^{p-2}y+\dots +y^{n-1}\equiv px^{p-1}\equiv 0{\pmod {p}}} . Via la formule du binôme , en effectuant la substitution y = x + k p {\displaystyle y=x+kp} , on montre que x p − 1 + x p − 2 y + ⋯ + y n − 1 {\displaystyle x^{p-1}+x^{p-2}y+\dots +y^{n-1}} n'est pas multiple de p 2 {\displaystyle p^{2}} d'où le résultat[ 6] . De même, ν p ( x p + y p ) = ν p ( x + y ) + 1 {\displaystyle \nu _{p}(x^{p}+y^{p})=\nu _{p}(x+y)+1} .
En écrivant n {\displaystyle n} sous la forme p a b {\displaystyle p^{a}b} où p ∤ b {\displaystyle p\nmid b} , le cas de base donne ν p ( x n − y n ) = ν p ( ( x p a ) b − ( y p a ) b ) = ν p ( x p a − y p a ) {\displaystyle \nu _{p}(x^{n}-y^{n})=\nu _{p}((x^{p^{a}})^{b}-(y^{p^{a}})^{b})=\nu _{p}(x^{p^{a}}-y^{p^{a}})} . Par récurrence sur a {\displaystyle a} ,
ν p ( x p a − y p a ) = ν p ( ( ( … ( x p ) p … ) ) p − ( ( … ( y p ) p … ) ) p ) (exponentiation utilisée a fois dans chaque terme) = ν p ( x − y ) + a {\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{p}(x^{p^{a}}-y^{p^{a}})&=\nu _{p}(((\dots (x^{p})^{p}\dots ))^{p}-((\dots (y^{p})^{p}\dots ))^{p})\ {\text{(exponentiation utilisée }}a{\text{ fois dans chaque terme)}}\\&=\nu _{p}(x-y)+a\end{aligned}}} Un argument similaire peut être appliqué à ν p ( x n + y n ) {\displaystyle \nu _{p}(x^{n}+y^{n})} .
La preuve précédente ne peut pas être appliquée directement lorsque p = 2 {\displaystyle p=2} car le coefficient binomial ( p 2 ) = p ( p − 1 ) 2 {\displaystyle {\binom {p}{2}}={\frac {p(p-1)}{2}}} n'est un multiple de p {\displaystyle p} que lorsque p {\displaystyle p} est impair.
Cependant, on peut montrer que ν 2 ( x n − y n ) = ν 2 ( x − y ) + ν 2 ( n ) {\displaystyle \nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)+\nu _{2}(n)} quand 4 ∣ ( x − y ) {\displaystyle 4\mid (x-y)} en écrivant n = 2 a b {\displaystyle n=2^{a}b} où a {\displaystyle a} et b {\displaystyle b} sont des entiers avec b {\displaystyle b} impair et notant que
ν 2 ( x n − y n ) = ν 2 ( ( x 2 a ) b − ( y 2 a ) b ) = ν 2 ( x 2 a − y 2 a ) = ν 2 ( ( x 2 a − 1 + y 2 a − 1 ) ( x 2 a − 2 + y 2 a − 2 ) ⋯ ( x 2 + y 2 ) ( x + y ) ( x − y ) ) = ν 2 ( x − y ) + a {\displaystyle {\begin{aligned}\nu _{2}(x^{n}-y^{n})&=\nu _{2}((x^{2^{a}})^{b}-(y^{2^{a}})^{b})\\&=\nu _{2}(x^{2^{a}}-y^{2^{a}})\\&=\nu _{2}((x^{2^{a-1}}+y^{2^{a-1}})(x^{2^{a-2}}+y^{2^{a-2}})\cdots (x^{2}+y^{2})(x+y)(x-y))\\&=\nu _{2}(x-y)+a\end{aligned}}} puisque comme x ≡ y ≡ ± 1 ( mod 4 ) {\displaystyle x\equiv y\equiv \pm 1{\pmod {4}}} , chaque facteur de la forme x 2 k + y 2 k {\displaystyle x^{2^{k}}+y^{2^{k}}} est congru à 2 modulo 4.
L'énoncé plus fort ν 2 ( x n − y n ) = ν 2 ( x − y ) + ν 2 ( x + y ) + ν 2 ( n ) − 1 {\displaystyle \nu _{2}(x^{n}-y^{n})=\nu _{2}(x-y)+\nu _{2}(x+y)+\nu _{2}(n)-1} quand 2 ∣ ( x − y ) {\displaystyle 2\mid (x-y)} se prouve de manière analogue[ 6] .
↑ Mohammed Aassila, 1000 challenges mathématiques, Algèbre , Ellipses, 2016 , p. 133 ↑ (en) Mihai Manea, « ... », Mathematics Magazine , vol. 79, no 2, avril 2006 , p. 140-145 ↑ (la) C. F. Gauss, « Disquisitiones arithmeticae, Articles 86–87 », 1801 ↑ Geretschläger, R. (2020). Engaging Young Students in Mathematics through Competitions – World Perspectives and Practices. World Scientific. https://books.google.com/books?id=FNPkDwAAQBAJ&pg=PP1 ↑ Heuberger, C. and Mazzoli, M. (2017). Elliptic curves with isomorphic groups of points over finite field extensions. Journal of Number Theory, 181 , 89–98. https://doi.org/10.1016/j.jnt.2017.05.028 ↑ a et b (en) Amir Hossein Parvardi, « Lifting The Exponent Lemma (LTE) », 11 juillet 2020