Moyenne quasi-arithmétique — Wikipédia
En mathématiques et en statistiques, les moyennes quasi-arithmétiques, ou moyennes de Kolmogorov ou encore moyennes selon une fonction f [1] constituent une généralisation de la moyenne (de Hölder) d'ordre p (qui est elle-même une généralisation des moyennes usuelles : arithmétique, géométrique, etc.). Elles sont paramétrées par une fonction f.
Définition
[modifier | modifier le code]Soit une fonction d'un intervalle dans les nombres réels, continue et injective.
La moyenne selon la fonction f des nombres est définie par , que l'on peut aussi écrire
Il est nécessaire que soit injective pour que son inverse soit définie. Comme est définie sur un intervalle, appartient au domaine de définition de .
Comme est injective et continue, elle est strictement monotone, d'où il découle que la moyenne selon f est toujours comprise entre le minimum et le maximum des nombres en argument :
Exemples
[modifier | modifier le code](Dans les exemples suivants, ou )
- Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne arithmétique quels que soient et (voir la propriété d'invariance d'échelle infra).
- Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne géométrique quelle que soit la base du logarithme dès lors que celle-ci est positive et différente de 1.
- Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne harmonique.
- Pour , alors la moyenne selon f correspond à la moyenne d'ordre .
- Pour , alors la -moyenne est la moyenne dans le demi-anneau logarithmique (en), qui est une version décalée d'une constante de la fonction softmax: . Le correspond à une division par .
- Par contre, la moyenne logarithmique n'est pas une moyenne quasi-arithmétique [2].
Propriétés
[modifier | modifier le code]Les propriétés suivantes sont vraies pour toute fonction satisfaisant à la définition ci-dessus:
Symétrie : La valeur de est invariante par permutation de ses arguments.
Point fixe : .
Croissance : est croissante en chacun de ses arguments (puisque et sont monotones de même sens).
Continuité : est continue en chacun de ses arguments (puisque est continue).
Substitution : n'importe quel sous-ensemble de arguments peut être remplacé par sa -moyenne répétée fois, sans changer le résultat de la -moyenne globale. Si l'on note on a ainsi:
Partitionnement (ou associativité) : Le calcul de la moyenne selon f peut être séparée en plusieurs calculs de sous-ensembles de même taille :
Auto-distributivité : Pour toute moyenne de Kolmogorov de deux arguments, on a :
- .
Médialité : Pour toute moyenne de Kolmogorov de deux arguments, on a :
- .
Équilibrage : Pour toute moyenne de Kolmogorov de deux arguments, on a :
- .
Théorème central limite : Sous conditions de régularité et pour un échantillon suffisamment grand, suit approximativement une loi normale[3].
Invariance d'échelle : La moyenne de Kolmogorov est invariante par translation et homothétie de la fonction :
- .
Caractérisation
[modifier | modifier le code]Il existe plusieurs ensembles de propriétés qui caractérisent la moyenne de Kolmogorov (c'est-à-dire que pour toute fonction satisfaisant ces propriétés, il existe une fonction telle que ).
- La médialité est essentiellement suffisante pour caractériser une moyenne de Kolmogorov[4]:chapitre 17.
- L'auto-distributivité est essentiellement suffisante pour caractériser une moyenne de Kolmogorov[4]:chapitre 17.
- Kolmogorov a démontré que les cinq propriétés de symétrie, point fixe, monotonicité, continuité et substitution caractérisent entièrement une moyenne de Kolmogorov [5].
- Équilibrage: Une question intéressante consiste à savoir si cette propriété peut remplacer celle de substitution dans l'ensemble de Kolmogorov, c'est-à-dire si les cinq propriétés de symétrie, point fixe, monotonicité, continuité et équilibrage suffisent à caractériser une moyenne de Kolmogorov. Georg Aumann (en) a démontré dans les années 1930 que la réponse, en général, est non [6], mais qu'il suffit d'ajouter l'hypothèse que soit analytique pour que ce soit le cas[7].
Homogénéité
[modifier | modifier le code]Les moyennes sont habituellement homogènes, mais pour presque toutes les fonctions , la moyenne selon f ne l'est pas. En fait, les seules moyennes de Kolmogorov homogènes sont les moyennes d'ordre p (Hardy–Littlewood–Pólya).
La propriété d'homogénéité peut cependant être obtenue en normalisant les arguments par une moyenne (homogène) .
Cependant, cette modification peut violer les propriétés de monotonicité et de partitionnement.
Références
[modifier | modifier le code]- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Quasi-arithmetic mean » (voir la liste des auteurs).
- Xavier Gourdon, Les maths en tête, Analyse, Ellipses, , p. 111
- J.B. Hiriart-Urruty, « Il y a encore du TAF », Losanges, , p. 41 (lire en ligne
)
- (en) Miguel de Carvalho, « Mean, what do you Mean? », The American Statistician, vol. 70, no 3, , p. 764‒776 (DOI 10.1080/00031305.2016.1148632, lire en ligne)
- (en) Aczél, J.; Dhombres, J. G., Functional equations in several variables. With applications to mathematics, information theory and to the natural and social sciences. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 31., Cambridge, Cambridge Univ. Press,
- (en) Anton Grudkin, « Characterization of the quasi-arithmetic mean », sur Math stackexchange,
- (de) Georg Aumann, « Vollkommene Funktionalmittel und gewisse Kegelschnitteigenschaften », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 1937, no 176, , p. 49–55 (DOI 10.1515/crll.1937.176.49)
- (de) Georg Aumann, « Grundlegung der Theorie der analytischen Analytische Mittelwerte », Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, , p. 45–81
Voir aussi
[modifier | modifier le code]Bibliographie
[modifier | modifier le code]- (en) Andrey Kolmogorov, Selected Works I : Mathematics and Mechanics, Springer, (ISBN 978-94-010-5347-1), « On the Notion of Mean »
- Andrey Kolmogorov, « Sur la notion de la moyenne », Atti Reale Accademia Nazionale dei Lincei, vol. 12, , p. 388–391
- (en) John Bibby, « Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences », Glasgow Mathematical Journal, vol. 15, , p. 63–65
- (en) G.H. Hardy, J.E. Littlewood et G. Pólya, Inequalities, Cambridge, Cambridge Univ. Press, .