En arithmétique, un nombre de Lucas-Carmichael est un entier positif composé n tel que si p est un facteur premier de n, alors p + 1 est un diviseur de n + 1.
Par convention, on ne considère un entier comme étant un nombre de Lucas-Carmichael que s'il est sans facteur carré, sinon tous les cubes de nombres premiers tels que 8 ou 27 seraient des nombres de Lucas-Carmichael (car n3 + 1 = (n + 1)(n2 − n + 1) est toujours divisible par n + 1).
399 = 3 × 7 × 19 est un nombre de Lucas-Carmichael car 399 + 1 = 400 et 3 + 1, 7 + 1 ainsi que 19 + 1 sont tous des diviseurs de 400.
Le plus petit nombre de Lucas-Carmichael est 399. Le plus petit à 5 facteurs est 588 455 = 5 × 7 × 17 × 23 × 43.
On ne sait pas s'il existe un nombre de Lucas-Carmichael qui soit aussi un nombre de Carmichael.
Les 92 premiers nombres de Lucas-Carmichael sont (suite A006972 de l'OEIS) :
399 | = 3 × 7 × 19 | 935 | = 5 × 11 × 17 | 2 015 | = 5 × 13 × 31 | 2 915 | = 5 × 11 × 53 | 4 991 | = 7 × 23 × 31 | 5 719 | = 7 × 19 × 43 | 7 055 | = 5 × 17 × 83 | 8 855 | = 5 × 7 × 11 × 23 | 12 719 | = 7 × 23 × 79 | 18 095 | = 5 × 7 × 11 × 47 | 20 705 | = 5 × 41 × 101 | 20 999 | = 11 × 23 × 83 | 22 847 | = 11 × 31 × 67 | 29 315 | = 5 × 11 × 13 × 41 | 31 535 | = 5 × 7 × 17 × 53 | 46 079 | = 11 × 59 × 71 | 51 359 | = 7 × 11 × 23 × 291 | 60 059 | = 19 × 29 × 109 | 63 503 | = 11 × 23 × 251 | 67 199 | = 11 × 41 × 149 | 73 535 | = 5 × 7 × 11 × 191 | 76 751 | = 23 × 47 × 71 | 80 189 | = 17 × 53 × 89 | | 81 719 | = 11 × 17 × 19 × 23 | 88 559 | = 19 × 59 × 79 | 90 287 | = 17 × 47 × 113 | 104 663 | = 13 × 83 × 97 | 117 215 | = 5 × 7 × 17 × 197 | 120 581 | = 17 × 41 × 173 | 147 455 | = 5 × 7 × 11 × 383 | 152 279 | = 29 × 59 × 89 | 155 819 | = 19 × 59 × 139 | 162 687 | = 3 × 7 × 61 × 127 | 191 807 | = 7 × 11 × 47 × 53 | 194 327 | = 7 × 17 × 23 × 71 | 196 559 | = 11 × 107 × 167 | 214 199 | = 23 × 67 × 139 | 218 735 | = 5 × 11 × 41 × 97 | 230 159 | = 47 × 59 × 83 | 265 895 | = 5 × 7 × 71 × 107 | 357 599 | = 11 × 19 × 29 × 59 | 388 079 | = 23 × 47 × 359 | 390 335 | = 5 × 11 × 47 × 151 | 482 143 | = 31 × 103 × 151 | 588 455 | = 5 × 7 × 17 × 23 × 43 | 653 939 | = 11 × 13 × 17 × 269 | | 663 679 | = 31 × 79 × 271 | 676 799 | = 19 × 179 × 199 | 709 019 | = 17 × 179 × 233 | 741 311 | = 53 × 71 × 197 | 760 655 | = 5 × 7 × 103 × 211 | 761 039 | = 17 × 89 × 503 | 776 567 | = 11 × 227 × 311 | 798 215 | = 5 × 11 × 23 × 631 | 880 319 | = 11 × 191 × 419 | 895 679 | = 17 × 19 × 47 × 59 | 913 031 | = 7 × 23 × 53 × 107 | 966 239 | = 31 × 71 × 439 | 966 779 | = 11 × 179 × 491 | 973 559 | = 29 × 59 × 569 | 1 010 735 | = 5 × 11 × 17 × 23 × 47 | 1 017 359 | = 7 × 23 × 71 × 89 | 1 097 459 | = 11 × 19 × 59 × 89 | 1 162 349 | = 29 × 149 × 269 | 1 241 099 | = 19 × 83 × 787 | 1 256 759 | = 7 × 17 × 59 × 179 | 1 525 499 | = 53 × 107 × 269 | 1 554 119 | = 7 × 53 × 59 × 71 | 1 584 599 | = 37 × 113 × 379 | | 1 587 599 | = 13 × 97 × 1259 | 1 659 119 | = 7 × 11 × 29 × 743 | 1 707 839 | = 7 × 29 × 47 × 179 | 1 710 863 | = 7 × 11 × 17 × 1307 | 1 719 119 | = 47 × 79 × 463 | 1 811 687 | = 23 × 227 × 347 | 1 901 735 | = 5 × 11 × 71 × 487 | 1 915 199 | = 11 × 13 × 59 × 227 | 1 965 599 | = 79 × 139 × 179 | 2 048 255 | = 5 × 11 × 167 × 223 | 2 055 095 | = 5 × 7 × 71 × 827 | 2 150 819 | = 11 × 19 × 41 × 251 | 2 193 119 | = 17 × 23 × 71 × 79 | 2 249 999 | = 19 × 79 × 1499 | 2 276 351 | = 7 × 11 × 17 × 37 × 47 | 2 416 679 | = 23 × 179 × 587 | 2 581 319 | = 13 × 29 × 41 × 167 | 2 647 679 | = 31 × 223 × 383 | 2 756 159 | = 7 × 17 × 19 × 23 × 53 | 2 924 099 | = 29 × 59 × 1709 | 3 106 799 | = 29 × 149 × 719 | 3 228 119 | = 19 × 23 × 83 × 89 | 3 235 967 | = 7 × 17 × 71 × 383. | |