Nombre de Bernoulli — Wikipédia

En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés B_n (ou parfois b_n pour ne pas les confondre avec les polynômes de Bernoulli ou avec les nombres de Bell), constituent une suite de nombres rationnels.

Il existe deux conventions pour la définition de ces nombres qui ne diffèrent que par le signe du terme d'indice 1. La convention prise dans la suite de l'article est de considérer le terme d'indice 1 comme négatif.

Ces nombres ont d'abord été étudiés par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes, dites sommes de Faulhaber, du type:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}k^{m}=0^{m}+1^{m}+2^{m}+\cdots +{(n-1)}^{m}.}$

Pour des valeurs entières de m, cette somme s'écrit comme un polynôme de la variable n dont les premiers termes sont :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}k^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(n^{m+1}-{\frac {1}{2}}{m+1 \choose 1}{n^{m}}+{\frac {1}{6}}{m+1 \choose 2}{n^{m-1}}-{\frac {1}{30}}{m+1 \choose 4}{n^{m-3}}+{\frac {1}{42}}{m+1 \choose 6}{n^{m-5}}+\ldots \right).}$

C'est-à-dire, qu'il existe une suite ${\displaystyle (B_{i})}$ de rationnels, les nombres de Bernoulli, tels que, pour tout ${\displaystyle m}$ et tout ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}k^{m}={\frac {1}{m+1}}\sum _{i=0}^{m}{m+1 \choose i}B_{i}n^{m+1-i}.}$

Les premiers nombres de Bernoulli sont donnés par la table suivante :

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Bn	1	–1/2[1]	1/6	0	–1/30	0	1/42	0	–1/30	0	5/66	0	–691/2730	0	7/6

On peut les définir par l'intermédiaire du développement en série entière (convergent si |x| < 2π) :

${\displaystyle {\frac {x}{{\rm {e}}^{x}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}\,{\frac {x^{k}}{k!}}=1-{\frac {1}{2}}\,x+{\frac {1}{6}}\,{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {1}{30}}\,{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {1}{42}}\,{\frac {x^{6}}{6!}}-{\frac {1}{30}}\,{\frac {x^{8}}{8!}}+{\frac {5}{66}}\,{\frac {x^{10}}{10!}}-{\frac {691}{2\;730}}\,{\frac {x^{12}}{12!}}+{\frac {7}{6}}\,{\frac {x^{14}}{14!}}+\ldots }$

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans de très nombreuses applications, depuis la formule d'Euler-Maclaurin :

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}f(k)\approx \int _{0}^{n}f(x)\,{\rm {d}}x-{\frac {1}{2}}(f(n)-f(0))+{\frac {1}{6}}{\frac {f'(n)-f'(0)}{2!}}-{\frac {1}{30}}{\frac {f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0)}{4!}}+{\frac {1}{42}}{\frac {f^{(5)}(n)-f^{(5)}(0)}{6!}}+\ldots }$,

ou les sommes définissant la fonction zêta de Riemann, dues à Leonhard Euler :

${\displaystyle \zeta (2p)=1+{\frac {1}{2^{2p}}}+{\frac {1}{3^{2p}}}+{\frac {1}{4^{2p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2p}}}+\cdots =|B_{2p}|{\frac {2^{2p-1}}{(2p)!}}\pi ^{2p},}$

jusqu'à l'approche par Kummer du dernier théorème de Fermat.

Les nombres A = 1/6, B = –1/30, C = 1/42, D = – 1/30, ... apparaissent dans Ars Conjectandi de Bernoulli, 1713, page 97.

Les nombres de Bernoulli avec ${\displaystyle B_{1}=1/2}$ au lieu de ${\displaystyle -1/2}$ sont la transformée binomiale des premiers et s'obtiennent à partir des nombres de Worpitzky ou, ce qui est équivalent, en appliquant l'algorithme d'Akiyama-Tanigawa^[2] à 1/(n+1). À la suite de l'article « The Bernoulli Manifesto » de Peter Luschny, Donald Knuth a adopté la valeur ${\displaystyle B_{1}=1/2}$, aussi dans les récentes réimpressions du livre Concrete Mathematics^[3],[4] ; Knuth présente les nouvelles versions dans un texte à part^[5].

Les nombres de Bernoulli ont été découverts à peu près en même temps et indépendamment par le mathématicien suisse Jacques Bernoulli, dont ils portent le nom, et par le mathématicien japonais Seki Takakazu. La découverte de Seki a été publiée à titre posthume en 1712^[6] dans son ouvrage Katsuyō Sanpō ; celle de Bernoulli, également à titre posthume, dans son Ars Conjectandi publié en 1713. Ada Lovelace, en 1842, traduisant et annotant une description de la machine analytique de Babbage publiée par le mathématicien italien Louis-Frédéric Ménabréa en français dans un journal suisse^[7], décrit dans la note G un algorithme permettant de générer des nombres de Bernoulli avec cette machine^[8]. Par conséquent, les nombres de Bernoulli ont la particularité de faire l'objet du premier programme informatique complexe publié^[9].

Jacques Bernoulli connaissait quelques formules comme^{[10],[11],[12]} :

${\displaystyle {\begin{aligned}1+2+3+\cdots +(n-1)&={\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {n}{2}}&&={\frac {n(n-1)}{2}}\,;\\1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +{(n-1)}^{2}&={\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {n}{6}}&&={\frac {n(n-1)(2n-1)}{6}}\,;\\1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +{(n-1)}^{3}&={\frac {1}{4}}n^{4}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}&&={\frac {n^{2}(n-1)^{2}}{4}}\,;\\1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +{(n-1)}^{4}&={\frac {1}{5}}n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {n}{30}}&&={\frac {n(n-1)(2n-1)(3n^{2}-3n-1)}{30}}\,;\\1^{5}+2^{5}+3^{5}+\cdots +{(n-1)}^{5}&={\frac {1}{6}}n^{6}-{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {5}{12}}n^{4}-{\frac {1}{12}}n^{2}&&={n^{2}(n-1)^{2}(2n^{2}-2n-1) \over 12}.\end{aligned}}}$

Bernoulli observa que l'expression

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}=0^{m}+1^{m}+2^{m}+\cdots +{(n-1)}^{m}}$

est toujours un polynôme en n, de degré m + 1, de terme constant nul, dont le monôme dominant (de degré m + 1) est n^m+1/m+1 et le monôme de degré m est, si m > 0^[13], –1/2n^m.

On démontre (voir plus bas le paragraphe « Formules de récurrence ») que plus généralement, pour 0 ≤ k ≤ m, le coefficient de n^m+1–k est le produit de m!/(m + 1 – k)! par un nombre rationnel B_k qui dépend seulement de k et pas de m. On peut donc définir les nombres de Bernoulli B_k par :

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {m!}{(m+1-k)!}}{\frac {B_{k}}{k!}}\,n^{m+1-k}={1 \over {m+1}}\sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose k}B_{k}\,n^{m+1-k}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}B_{k}\,{\frac {n^{m+1-k}}{m+1-k}}.}$

En particulier, le coefficient de n dans le polynôme S_m(n) est le nombre B_m.

En donnant à m la valeur 0, on obtient (avec 0⁰ = 1) : pour tout entier n > 0,

${\displaystyle B_{0}n=S_{0}(n)=0^{0}+1^{0}+\cdots +(n-1)^{0}=n,}$

ce qui montre que B₀ = 1.

En donnant à m la valeur 1, on obtient :

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}n)=S_{1}(n)=0+1+2+\ldots +(n-1)={\frac {1}{2}}(n^{2}-n),}$

ce qui confirme que B₀ = 1 et montre que B₁ = –1/2.

En donnant à m la valeur 2, on obtient :

${\displaystyle {\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}n^{2}+3B_{2}n)=S_{2}(n)=0^{2}+1^{2}+2^{2}+\ldots +(n-1)^{2}={\frac {1}{3}}\left(n^{3}-{\frac {3}{2}}n^{2}+{\frac {n}{2}}\right),}$

ce qui montre de plus que B₂ = 1/6.

En donnant à m la valeur 3, on obtient :

${\displaystyle {\frac {1}{4}}(B_{0}n^{4}+4B_{1}n^{3}+6B_{2}n^{2}+4B_{3}n)=S_{3}(n)=0^{3}+1^{3}+2^{3}+\ldots +(n-1)^{3}={\frac {1}{4}}(n^{4}-2n^{3}+n^{2}),}$

ce qui montre aussi que B₃ = 0.

À partir de la condition initiale B₀ = 1, on peut calculer les nombres de Bernoulli par récurrence en utilisant le fait que

${\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} ^{*}\quad {\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose k}B_{k}=S_{m}(1)=\sum _{k=0}^{0}k^{m}=0^{m}=0,}$

ce qui peut se voir comme une relation de récurrence^[13] :

${\displaystyle (m+1)B_{m}=-\sum _{k=0}^{m-1}{m+1 \choose k}B_{k}.}$

Cette suite d'équations linéaires^[14]

${\displaystyle 1+2B_{1}=0,}$

${\displaystyle 1+3B_{1}+3B_{2}=0,}$

${\displaystyle 1+4B_{1}+6B_{2}+4B_{3}=0,}$

${\displaystyle 1+5B_{1}+10B_{2}+10B_{3}+5B_{4}=0,}$ etc.

donne successivement B₁ = –1/2, B₂ = 1/6, B₃ = 0, B₄ = –1/30, etc. Par exemple, le détail du calcul de B₄ est :

${\displaystyle 5B_{4}=-(1+5B_{1}+10B_{2}+10B_{3})=-\left(1-{\frac {5}{2}}+{\frac {10}{6}}\right)=-{\frac {1}{6}}.}$

Les polynômes de Bernoulli B_m(X) sont reliés aux nombres de Bernoulli par

${\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}B_{k}\,x^{m-k}.}$

Ils vérifient les relations :

• ${\displaystyle B_{0}(X)=1}$ ;
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad B'_{n+1}(X)=(n+1)B_{n}(X)}$ ;
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \int _{0}^{1}B_{n}(x){\rm {d}}x=0}$ ;
• B_m (0) = B_m si m ≥ 0 (le terme constant du polynôme de Bernoulli est égal au nombre de Bernoulli de même indice) ;
• B_m (1) = B_m si m ≠ 1.

Les polynômes S_m(n) sont également liés aux polynômes de Bernoulli :

${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} \quad S_{m}(n)={\frac {B_{m+1}(n)-B_{m+1}(0)}{m+1}}.}$

De

${\displaystyle B'_{n+1}=(n+1)B_{n},}$

on déduit que

${\displaystyle S'_{m}(X)={\frac {B'_{m+1}(X)}{m+1}}=B_{m}(X).}$

Par conséquent, les polynômes S_m sont les primitives des polynômes de Bernoulli qui s'annulent en zéro :

${\displaystyle S_{m}(x)=\int _{0}^{x}B_{m}(t){\rm {d}}t=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}B_{k}\,{\frac {x^{m+1-k}}{m+1-k}}.}$

On utilise parfois la notation b_n pour distinguer les nombres de Bernoulli des nombres de Bell.

La définition employée dans cet article vérifie B_m = B_m(0) où B_m(x) désigne le polynôme de Bernoulli.

On rencontre également la convention B_m = B_m(1), où B_m(x) désigne le polynôme de Bernoulli.

Les deux conventions ne diffèrent que pour le signe de B₁ ; on a :

${\displaystyle B_{1}(0)=-{\frac {1}{2}}\qquad \,;\qquad B_{1}(1)=+{\frac {1}{2}}.}$

Une autre notation, utilisée en topologie^[15], est de considérer les termes pairs sans leur signe (on a b_2k = (–1)^k–1|b_2k|) :

${\displaystyle b_{m}=B_{m}(0)\qquad \,;\,\qquad B_{m}=|b_{2m}|.}$

Les nombres de Bernoulli peuvent aussi être définis par l'intermédiaire d'une fonction génératrice. La série génératrice exponentielle associée à la suite est x / (e^x – 1), de telle sorte que

${\displaystyle {\frac {x}{{\rm {e}}^{x}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}}$

pour tout x de valeur absolue inférieure à 2π (le rayon de convergence de cette série entière).

Cette définition peut être montrée équivalente à la précédente à l'aide d'un raisonnement par récurrence : le premier terme de la série est clairement B₀ (par prolongement par continuité).

Pour obtenir la relation de récurrence, on multiplie les deux côtés de l'équation par e^x – 1. Alors, en utilisant les séries de Taylor pour la fonction exponentielle, ${\displaystyle x=\left(\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {x^{j}}{j!}}\right)\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {B_{k}x^{k}}{k!}}\right).}$

En développant ceci en produit de Cauchy et en réarrangeant légèrement, on obtient

${\displaystyle x=\sum _{m=0}^{\infty }\left(\sum _{j=0}^{m}{m+1 \choose j}B_{j}\right){\frac {x^{m+1}}{(m+1)!}}.}$

Il est clair, à partir de cette dernière égalité, que les coefficients dans cette série entière satisfont la même relation de récurrence que les nombres de Bernoulli (voir paragraphe : « Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence »).

Les premiers nombres de Bernoulli sont les suivants :

Nombres de Bernoulli

n Bn Valeur décimale 0 1 1 −1 / 2 = −0,5 2 1 / 6 ≈ 0,166 7 3 0 4 −1 / 30 ≈ −0,033 3 5 0 6 1 / 42 ≈ 0,023 81 7 0 8 −1 / 30 ≈ −0,033 3 9 0 10 5 / 66 ≈ 0,075 76 11 0 12 −691 / 2 730 ≈ −0,253 1 13 0 14 7 / 6 ≈ 1,166 7 15 0 16 −3 617 / 510 ≈ −7,092 2

n Bn Valeur décimale 17 0 18 43 867 / 798 ≈ 54,971 2 19 0 20 −174 611 / 330 ≈ −529,124 21 0 22 854 513 / 138 ≈ 6 192,12 23 0 24 −236 364 091 / 2 730 ≈ −86 580,3 25 0 26 8 553 103 / 6 ≈ 1 425 517 27 0 28 −23 749 461 029 / 870 ≈ −27 298 231 29 0 30 8 615 841 276 005 / 14 322 ≈ 601 580 874 31 0 32 −7 709 321 041 217 / 510 ≈ −15 116 315 767 33 0

À l'aide de la fonction génératrice, on peut démontrer que B_n = 0 lorsque n est impair et différent de 1, et que les signes des B_n alternent pour n pair. On a donc :

${\displaystyle B_{2k}=(-1)^{k-1}|B_{2k}|.}$

On justifie ici la définition des nombres de Bernoulli annoncée dans l'introduction. Repartons des sommes

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=0}^{n-1}k^{m}}$

pour tous entiers naturels m et n (en particulier, S_m(0) = 0).

On remarque que (d'après la formule du binôme après réindexation) :

${\displaystyle S_{m+1}(n+1)=\sum _{k=1}^{n}k^{m+1}=\sum _{k=0}^{n-1}(k+1)^{m+1}=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{j=0}^{m+1}{\binom {m+1}{j}}k^{j}=\sum _{j=0}^{m+1}{\binom {m+1}{j}}S_{j}(n)=S_{m+1}(n)+\sum _{j=0}^{m}{\binom {m+1}{j}}S_{j}(n),}$

${\displaystyle n^{m+1}=S_{m+1}(n+1)-S_{m+1}(n)=\sum _{j=0}^{m}{\binom {m+1}{j}}S_{j}(n)=(m+1)S_{m}(n)+\sum _{j=0}^{m-1}{\binom {m+1}{j}}S_{j}(n)}$

et l'on obtient finalement :

${\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} \quad S_{m}(n)={\frac {n^{m+1}}{m+1}}-m!\sum _{j=0}^{m-1}{\frac {S_{j}(n)}{j!(m+1-j)!}},}$

ce qu'on peut voir comme une définition des S_m(n) par récurrence sur m (incluant l'initialisation S₀(n) = n). C'est cette approche qui permet de démontrer par récurrence que les coefficients de S_m(n) sont bien de la forme donnée dans l'introduction : ${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{i=0}^{m}{\frac {m!}{(m+1-i)!}}{\frac {B_{i}}{i!}}\,n^{m+1-i}}$.

Pour tout j ≥ 0, notons B_j le coefficient de n dans S_j(n), ${\displaystyle S_{j}(n)=B_{j}n+\sum _{k<j}c_{k,j}n^{j+1-k}}$, et déduisons de la formule de récurrence des S_m(n) ci-dessus, par récurrence sur j, que le coefficient c_k,j de n^j+1–k dans S_j(n) est le produit de j!/(j + 1 – k)! par B_k/k! non seulement pour k = j, mais aussi pour tout entier naturel k < j (ce qui est immédiat pour k = 0). En supposant la propriété vraie pour tout j < m, on trouve comme coefficient c_m,i de n^m+1–i dans S_m(n), pour 0 < i < m :

${\displaystyle c_{m,i}=-m!\sum _{{j<m,\,k\geqslant 0} \atop {j+1-k=m+1-i}}{1 \over j!(m+1-j)!}{j! \over (j+1-k)!}{B_{k} \over k!}={m! \over (m+1-i)!}\sum _{k=0}^{i-1}{-B_{k} \over (i+1-k)!k!}={m! \over (m+1-i)!}{B_{i} \over i!},}$

la première égalité résultant de l'hypothèse de récurrence et la dernière égalité résultant du § Calcul des nombres de Bernoulli par récurrence :

${\displaystyle B_{i}=-{\frac {1}{i+1}}\sum _{k=0}^{i-1}{i+1 \choose k}B_{k}=-\sum _{k=0}^{i-1}{\frac {i!}{(i+1-k)!k!}}B_{k}.}$

La première relation a été obtenue par Leonhard Euler^[16],[17] sous la forme suivante

${\displaystyle B_{2n}=(-1)^{n+1}{\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\left[1+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots \;\right].}$

(On peut l'obtenir comme corollaire du calcul de la série de Fourier des polynômes de Bernoulli.)

La relation s'écrit en utilisant la fonction zêta de Riemann :

${\displaystyle B_{2n}=(-1)^{n-1}{\frac {2\,(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\;\zeta (2n),}$

relation qui entraîne (pour n > 0) :

${\displaystyle 2\,\zeta (2n)={\frac {(2\pi )^{2n}}{(2n)!}}\,|B_{2n}|.}$

L'apparition de B₁₂ = –691/2730 semble montrer que les valeurs des nombres de Bernoulli ne peuvent pas être décrites simplement ; en fait, ce sont essentiellement des valeurs de la fonction ζ de Riemann pour des valeurs entières négatives de la variable, puisque

${\displaystyle \zeta (-n)=(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

et l'on sait que cette dernière est d'étude difficile (voir hypothèse de Riemann).

Il est possible d'exprimer les nombres de Bernoulli grâce à la fonction zêta de Riemann de la façon suivante :

${\displaystyle B_{n}=-n\zeta (1-n)\quad n>1}$

et

${\displaystyle B_{1}=\zeta (0).}$

En particulier :

${\displaystyle \zeta (0)=B_{1}=-{\frac {1}{2}}\,,\qquad \zeta (-1)=-{\frac {1}{12}},\qquad \zeta (-3)={\frac {1}{120}},\!\qquad \zeta (-5)=-{\frac {1}{252}},\!\qquad \zeta (-7)={\frac {1}{240}}.}$

On a l'égalité suivante pour les nombres de Bernoulli d'indice pair :

${\displaystyle |B_{2n}|={\frac {(2n)!\zeta (2n)}{2^{2n-1}\pi ^{2n}}}.}$

De la définition de la fonction zêta de Riemann, on déduit que ζ(2n) > 1 (si n > 0,5). Par conséquent, on a l'encadrement :

${\displaystyle {\frac {2\;(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}<|B_{2n}|\leqslant {\frac {2\zeta (2)\;(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}.}$

De l'inégalité ${\displaystyle {\rm {e}}^{2n}>{\frac {(2n)^{2n}}{(2n)!}}}$ (si n > 0), on déduit que : ${\displaystyle (2n)!>\left({\frac {2n}{\rm {e}}}\right)^{2n}}$ (si n > 0) , donc :

${\displaystyle |B_{2n}|>2\left({\frac {n}{\pi {\rm {e}}}}\right)^{2n}.}$

Par conséquent :

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|B_{2n}|=+\infty .}$

On a l'équivalent :

${\displaystyle B_{2n}\sim (-1)^{n-1}{\frac {2\;(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}}$.

En utilisant la formule de Stirling pour écrire un équivalent de (2n)!, on démontre l'équivalent quand n tend vers l'infini :

${\displaystyle \left|B_{2n}\right|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi {\rm {e}}}}\right)^{2n}}$.

Les nombres de Bernoulli apparaissent dans le développement en série de Taylor des fonctions tangentes (circulaire et hyperbolique), dans la formule d'Euler-Maclaurin ainsi que dans des expressions de certaines valeurs de la fonction zêta de Riemann.

Soit a un nombre réel et N un entier naturel. Si f est une application de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ (avec k ≥ 1) sur [a, a + N].

${\displaystyle f(a)+f(a+1)+f(a+2)+\cdots +f(a+N-1)=\int _{a}^{a+N}f(x)\,{\rm {d}}x+\sum _{j=1}^{k}B_{j}{\frac {f^{(j-1)}(a+N)-f^{(j-1)}(a)}{j!}}+R_{k,a,N}}$

avec

${\displaystyle R_{k,a,N}={\frac {(-1)^{k-1}}{k!}}\int _{a}^{a+N}f^{(k)}(x){\tilde {B_{k}}}(x-a)\,{\rm {d}}x}$

où ${\displaystyle {\tilde {B_{k}}}(x)}$ est la fonction périodique de période 1 égale à B_k(x), le polynôme de Bernoulli d'indice k, sur l'intervalle [0 ; 1[.

${\displaystyle {\tilde {B_{k}}}(t)=B_{k}(t-\lfloor t\rfloor )}$

où ⌊t⌋ désigne la partie entière de t.

À partir de la fonction génératrice,

${\displaystyle {\frac {x}{{\rm {e}}^{x}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}=1-{\dfrac {x}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},|x|<2\pi }$,

on démontre les formules suivantes^[18] :

${\displaystyle 1-{\frac {x}{2}}\;\operatorname {cotan} {\frac {x}{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {x^{2n}}{(2n)!}},|x|<2\pi ,}$ ${\displaystyle x\;\operatorname {cotan} x=1-\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<\pi ,}$ ${\displaystyle \operatorname {cotan} x={\dfrac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|<\pi ,}$ ${\displaystyle {\dfrac {1}{\sin x}}={\dfrac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|<\pi ,}$ ${\displaystyle \tan x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2,}$

${\displaystyle {\dfrac {2}{{\rm {e}}^{x}+1}}=1-\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {2(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi ,}$ ${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\;{\dfrac {{\rm {e}}^{x}+1}{{\rm {e}}^{x}-1}}={\dfrac {1}{2}}\,\operatorname {coth} ({\frac {x}{2}})={\dfrac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {x^{2n-1}}{(2n)!}},0<|x|<2\pi ,}$ ${\displaystyle \operatorname {coth} x={\frac {{\rm {e}}^{x}+{\rm {e}}^{-x}}{{\rm {e}}^{x}-{\rm {e}}^{-x}}}={\dfrac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|<\pi ,}$ ${\displaystyle {\dfrac {1}{\operatorname {sh} x}}={\dfrac {1}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {2(2^{2n-1}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},0<|x|<\pi ,}$ ${\displaystyle \operatorname {th} x=\sum _{n=1}^{\infty }B_{2n}{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2.}$

Les nombres ${\displaystyle T_{n}=|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{2n}}}$ sont des nombres entiers appelés nombres tangents ou nombres d'Euler de deuxième espèce^[19].

On a le développement suivant : ${\displaystyle \operatorname {tan} x=\sum _{n=1}^{\infty }T_{n}{\frac {x^{2n-1}}{(2n-1)!}},|x|<\pi /2.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|B_{2n}|&={\frac {(2n)!}{2^{2n-1}\pi ^{2n}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}\\&={\frac {2(2n)!}{(2^{2n}-1)\pi ^{2n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{2n}}}\\&={\frac {(2n)!}{(2^{2n-1}-1)\pi ^{2n}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{2n}}}.\end{aligned}}}$

Les propriétés de divisibilité des numérateurs des nombres de Bernoulli sont liées aux groupes des classes d'idéaux des corps cyclotomiques par un théorème de Kummer. En 1847, Kummer démontrait que le dernier théorème de Fermat était vrai pour un certain ensemble de nombres premiers appelés nombres premiers réguliers. On dit qu'un nombre premier impair est « régulier » s'il ne divise pas le nombre de classes de ℚ(ζ_p), sinon on dit que p est irrégulier. Kummer découvrit un lien avec les propriétés de divisibilité des numérateurs des nombres de Bernoulli : un nombre premier p impair est régulier si, et seulement si, p ne divise le numérateur d'aucun des nombres B₂, B₄, … , B_p–3. Le nombre premier 3 est régulier. Les premiers nombres premiers irréguliers sont : 37, 59, 67, 101, 103, 149 et 157. Si p est régulier, alors l'équation x^p + y^p = z^p n'a pas de solution entière (à part 1, 0 et 1). C'est la raison pour laquelle les nombres de Bernoulli possèdent des propriétés arithmétiques profondes.

Le théorème de Kummer a été renforcé par le théorème de Herbrand-Ribet. Les nombres de Bernoulli sont également liés aux nombres de classes des corps quadratiques par la congruence d'Ankeny-Artin-Chowla.

Il existe aussi un lien avec la K-théorie algébrique : une conséquence de la conjecture de Quillen-Lichtenbaum (en) est le résultat suivant^[20] :

• si n = 4k – 2 et c_k est le numérateur de B_2k/k, alors l'ordre de K_n(ℤ) est |c_k| si k est pair (n ≡ 6 mod 8), et 2c_k si k est impair (n ≡ 2 mod 8) ;
• si n = 4k – 1 et d_k est le dénominateur de B_2k/k, alors l'ordre de K_n(ℤ) est 4d_k si k est pair (n ≡ 7 mod 8), et 8d_k si k est impair (n ≡ 3 mod 8).

Le théorème de von Staudt-Clausen est aussi relié à la divisibilité. Il énonce ceci :

si l'on ajoute à B_n les inverses ¹⁄_p pour chaque nombre premier p tel que p − 1 divise n, on obtient, si n = 1 ou n est pair non nul, un nombre entier.

Ce fait permet immédiatement de caractériser les dénominateurs des nombres de Bernoulli non entiers B_n comme le produit de tous les nombres premiers p tels que p − 1 divise n. En conséquence, si 2n est un entier non nul, le dénominateur du nombre de Bernoulli B_2n est sans carré et divisible par 6.

Exemples

${\displaystyle B_{1}+{\frac {1}{2}}=0\qquad ;\qquad B_{2}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}=1\qquad ;\qquad B_{4}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}=1}$

${\displaystyle B_{6}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}=1\qquad ;\qquad B_{10}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{11}}=1}$

${\displaystyle B_{12}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{13}}=1\qquad ;\qquad B_{14}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}=2\qquad ;\qquad B_{16}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{17}}=-6.}$

La propriété se traduit par : pB_2m ≡ −1 mod p si p – 1 divise 2m. (La notation a ≡ b mod p signifie que p divise le numérateur de a – b mais pas son dénominateur.)

La conjecture d'Agoh-Giuga postule que p est un nombre premier si et seulement si pB_p−1 ≡ −1 mod p.

Une propriété de congruence, dite congruence de Kummer, spécialement importante des nombres de Bernoulli peut être caractérisée comme une propriété de continuité p-adique. Si p, m et n sont des nombres entiers positifs tels que m et n ne sont pas divisibles par p − 1 et ${\displaystyle m\equiv n\,{\bmod {\,}}p^{b-1}(p-1),}$ alors

${\displaystyle (1-p^{m-1}){B_{m} \over m}\equiv (1-p^{n-1}){B_{n} \over n}\,{\bmod {\,}}p^{b}.}$

(La notation a ≡ b mod p^k signifie que p^k divise le numérateur de a – b mais pas son dénominateur.)

Puisque B_n = –nζ(1–n) ceci peut être aussi écrit

${\displaystyle (1-p^{-u})\zeta (u)\equiv (1-p^{-v})\zeta (v)\,{\bmod {\,}}p^{b}}$

où u = 1 − m et v = 1 − n, si bien que u et v sont négatifs et non congrus à 1 mod p – 1.

Ceci nous indique que la fonction zêta de Riemann avec 1 − p^−s omis dans la formule du produit eulérien, est continue pour les nombres p-adiques sur les nombres entiers négatifs congrus mod p – 1 à un entier fixé ${\displaystyle a\not \equiv 1\,{\bmod {\,}}p-1}$, et peut donc être étendue en une fonction continue ζ_p(s) sur l'anneau topologique ℤ_p des entiers p-adiques : la fonction zêta p-adique.

La formule de Kervaire-Milnor pour l'ordre du groupe cyclique des classes de difféomorphismes des (4n − 1)-sphères exotiques qui bordent des variétés parallélisables pour n ≥ 2 fait intervenir les nombres de Bernoulli : si N_n est le numérateur de B_4n/n, alors le nombre de ces classes de difféomorphisme de sphères exotiques est

${\displaystyle 2^{2n-2}(1-2^{2n-1})N_{n}.}$

La formule donnée dans les articles de topologie diffère car les topologues utilisent une convention différente pour nommer les nombres de Bernoulli (ils notent B_n la suite 1, 1/6, 1/30…).

On peut en fait également définir les B_n sans récurrence : utilisant les nombres de Stirling (de deuxième espèce), on a (pour n > 1)^[21]

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {k!}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}.}$

d'où (en utilisant les formules explicites pour les nombres de Stirling et en simplifiant)

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {k!}{k+1}}\left({\frac {1}{k!}}\sum _{j=1}^{k}(-1)^{k-j}{k \choose j}j^{n}\right)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {k}{j}}j^{n}.}$

On trouve assez souvent dans la littérature l'affirmation selon laquelle des formules explicites pour les nombres de Bernoulli n'existent pas^[22] ; les deux dernières équations montrent qu'il n'en est rien. En fait, dès 1893, Louis Saalschütz (de) recensait un total de 38 formules explicites, donnant généralement des références bien plus anciennes.

Les trois relations suivantes, dues à Ramanujan, fournissent une méthode plus efficace pour le calcul des nombres de Bernoulli :

• ${\displaystyle m\equiv 0\,{\bmod {\,}}6\qquad {{m+3} \choose m}B_{m}={{m+3} \over 3}-\sum _{j=1}^{m/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j},}$
• ${\displaystyle m\equiv 2\,{\bmod {\,}}6\qquad {{m+3} \choose m}B_{m}={{m+3} \over 3}-\sum _{j=1}^{(m-2)/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j},}$
• ${\displaystyle m\equiv 4\,{\bmod {\,}}6\qquad {{m+3} \choose m}B_{m}=-{{m+3} \over 6}-\sum _{j=1}^{(m-4)/6}{m+3 \choose {m-6j}}B_{m-6j}.}$

Si m et n sont des entiers strictement positifs :

${\displaystyle (-1)^{m}\sum _{r=0}^{m}{m \choose r}B_{n+r}=(-1)^{n}\sum _{s=0}^{n}{n \choose s}B_{m+s}}$^[23].

John H. Conway et Richard K. Guy, Le Livre des nombres, Eyrolles, 1998 (ISBN 2-212-03638-8)

• Congruence de Kummer
• Nombre d'Eisenstein-Kronecker (en)

• (en) « Bernoulli numbers », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne)
• Les 498 premiers nombres de Bernoulli sur le Projet Gutenberg
• (en) The Bernoulli Number Page
• (en) Eric W. Weisstein, « Bernoulli Number », sur MathWorld
• (en) Calcul et développement asymptotique des nombres de Bernoulli, par P. Luschny sur le site de l'OEIS

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