Polyèdre de Császár — Wikipédia

En géométrie, le polyèdre de Császár (prononciation en hongrois : [ˈtʃaːsaːɾ]) est un polyèdre toroïdal (en) ayant 14 faces triangulaires ; avec le tétraèdre, c'est le seul polyèdre connu sans diagonales, autrement dit tel que deux sommets quelconques soient toujours reliés par une arête

L'ensemble des sommets et des arêtes du polyèdre de Császár forme un graphe complet (noté ${\displaystyle K_{7}}$). Plus généralement, si un polyèdre ayant s sommets, a arêtes et f faces correspond à une surface à t « trous » (autrement dit si sa caractéristique d'Euler s-a+ f est égale à 2-2t), et si ses sommets et arêtes forment un graphe complet, il possède a = s(s-1)/2 arêtes, chaque face est un triangle et donc a = 3f/2, et on obtient finalement ${\displaystyle t={\frac {(s-3)(s-4)}{12}}}$. t étant entier, on doit avoir s congru à 0, 3, 4, ou 7 modulo 12.

Cette équation est vérifiée pour le tétraèdre (avec t = 0 et s = 4), et pour le polyèdre de Császár (avec t = 1 et s = 7). La solution suivante, t = 6 et s = 12, correspondrait à un polyèdre à 44 faces et 66 arêtes, mais un tel polyèdre n'existe pas, et en fait on ne connait aucun polyèdre pour des valeurs de t supérieures^[1].

Le polyèdre de Császár a été découvert en 1949 par le topologue hongrois Ákos Császár^[2]. Son dual, le polyèdre de Szilassi, ne fut découvert qu'en 1977 par Lajos Szilassi (en) ; il a 14 sommets, 21 arêtes, et 7 faces hexagonales, chacune étant adjacente à toutes les autres faces ; il est également homéomorphe à un tore.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Császár polyhedron » (voir la liste des auteurs).

• (en) Eric W. Weisstein, « Csaszar Polyhedron », sur MathWorld

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